Корреляционный анализ

 

Результаты расчетов, выполненные в вышеуказанной таблице, позволяют сделать вывод о том, что при переходе слева направо в сторону больших значений факторного признака х соответствующие ряды распределения функционального признака у смещаются сверху вниз, т.е. в сторону меньших значений функций. Следовательно, объем смр находятся в корреляционной зависимости от среднегодовой стоимости производственных фондов.

 

 

1.4 Расчет и построение эмпирической линии регрессии

 

После установления наличия корреляционной зависимости между функциональным и факторным признаками, приступаем к следующему этапу статистического моделирования – к исследованию формы связи.

Под формой корреляционной связи понимают тип аналитической формулы, выражающей зависимость между изучаемыми величинами.

Необходимо установить, какие изменяются средние значения y в связи с изменением x.

Рассчитываем средние величины для каждого ряда распределения по формуле средней взвешенной арифметической величины:

                                                       Σ m y

                                               y =                 

                                                        Σ m

где y – средневзвешенное значение функции;

      у – центральные  значения интервалов по функции;

     m – абсолютные частоты вариантов у.

 

 

 

Для сокращения вычислений при определении средней арифметической можно использовать метод отсчета от условного нуля.

y = y'i iy + cy;

при этом

                                                          y – cy

                                                  y' =

                                                             iy

 

где y' – упрощенные варианты у;

      у – фактические  варианты у;

     сy – новое начало отсчета по оси у (условный нуль);

     iy – интервал группировки по у.

Новое начало отсчета выбираем таким образом, чтобы число наблюдений распределялось примерно поровну между положительным и отрицательным направлениями оси ординат. Условный нуль су = 132 тыс. руб., iy = 8.

 

Расчет эмпирической линии регрессии для зависимости у от х

Объем СМР, тыс. руб.	у'	х у	Среднегодовая стоимость основных фондов тыс. руб.											Итого
			70	76	82	88	94	100	106	112	118	124	130
	6	180	16											1
	5	172		15										1
	4	164			14									1
	3	156												0
	2	148												0
	1	140												0
	0	132												0
	- 1	124							1-1	1-1				2
	- 2	116		1-2					1-2		1-2			3
	- 3	108								1-3		1-3		2
	- 4	100										1-4	1-4	1
№ строки	1	Итого hi	1	2	1	0	0	0	2	2	1	1	1	n = 11
	2	Σ miy'i	6	3	4	0	0	0	-3	-4	-2	-7	-4	Σy’ = -7
	3	y'	6	1,5	2	0	0	0	-1,5	-2	-2	-7	-4
	4	y	180	144	148	132	132	132	120	116	116	76	100

 

 

 

1.5 Расчет и построение теоретической линии регрессии

 

Теоретическая линия регрессии представляет собой такую математически правильную кривую (любую прямую) линию, которая проходит наиболее близко к точкам эмпирической линии регрессии, выражает общую закономерность средних изменений признака в связи со средними изменениями фактора.

В данном случае характер размещения точек на корреляционном поле делает весьма вероятной гипотезу о линейной связи у от х    у = а0 + а1х

Параметры искомой прямой (а0, а1) нахожу из системы уравнений по способу наименьших квадратов:

na'0 + a'1Σx' = Σy'1

        a'0Σx' + a'1Σ(x')2 = Σy'ix'

Исходную информацию для решения данной системы получаем из таблицы «Расчет теоретической линии регрессии для зависимости у от х», которая основана на результатах таблицы «Расчет эмпирической линии регрессии для зависимости у от х».

Для получения упрощенных вариантов по факторному признаку используется метод отсчета от условного нуля. В данном примере сх = 112 чел.,                iх = 6. 

Расчет теоретической линии регрессии для зависимости у от х

Объем СМР, тыс. руб.	Среднегодовая стоимость основных  фондов тыс.руб.													№ столбца
	y'	x'2	25	16	9	4	1	0	1	4	9	16	25	1	2	3	4
		x'	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	li	liy'	y'2	liy'2
		x y	70	76	83	120	122	112	116	115	119	126	130
	6	180	1											1	6	36	36
	5	172		1										1	5	25	25
	4	164												0	0	16	0
	3	156				1								1	3	9	9
	2	148												0	0	4	0
	1	140												0	0	1	1
	0	132												0	0	0	0
	- 1	124								1				1	-1	1	1
	- 2	116								1	1			2	-4	4	8
	- 3	108			1					1		1		3	-9	9	27
	- 4	100										1	1	2	-8	16	32
	1	Итого hi	1	1	1	1	0	0	0	3	1	2	1	n = 11	Σy' = -8	-	Σy'2 = 139
	2	Σ hix'	-5	-4	-3	-2	0	0	0	6	3	8	5	Σ x' = 8
	3	Σ hix'2	25	16	9	4	0	0	0	12	9	32	25	Σ x'2 = 132
	4	Σ miy'i	6	5	-3	3	0	0	0	-6	-2	-7	-4	Σy' = -8
	5	Σ miy'iх'i	-30	-20	9	-6	0	0	0	-12	-6	-28	-20	Σy'х' = -113

 

 

 

 

 

Результаты расчетов приведены в таблице «Расчет теоретической линии регрессии для зависимости у от х».

В систему уравнений подставляем результаты, полученные в таблице «Расчет теоретической линии регрессии для зависимости у от х»:

11a'0 + 8a'1 = -8

        8a'0 + 132 a'1 = –113

В качестве метода решения данной системы принимаем метод Гаусса, который позволяет находить решения последовательно, исключая неизвестные. Для этого 1-ое уравнение системы делим на –8, а 2-ое уравнение – на 132.

       –1,375a'0 – a'1 = 1

            0,061a'0 + a'1 = –0,856

Сложим уравнения полученной системы:

–1,314а'0 = 0,144

Откуда:

а'0 = -0,109

Затем подставляем в уравнение а'0 и находим величину а'1:

–1,375 * (-0,109) – а'1 = 1

а'1 = –0,850

Параметры а'0 и а'1 необходимо преобразовать исходя из фактических значений х и у.

Формулы перевода из упрощенных в реальные координаты:

                                                                           iy

а1 = а'1 *

                       ix

                                     iy 

           a0 = cy + iya'0 – a'1       cx

                                     ix

где iy – интервал группировки по функции;

      ix – интервал группировки по аргументу;

     cy – новое начало отсчета по функции;

     cx – новое начало отсчета по аргументу.

Находим:

а0 = 258,125;        а1 = –1,288

Уравнение теоретической линии регрессии в реальных коэффициентах имеет вид: у = 258,125 – 1,288х.

В уравнении регрессии первое слагаемое носит название свободного члена, второе слагаемое называется коэффициентом регрессии. Он показывает, на сколько натуральных единиц изменяется в среднем результативный признак при изменении факторного признака на единицу.

Вывод: из уравнения теоретической линии регрессии видно, что объем СМР понижается на 1,288% при увеличении численности на 1%.

Объем СМР, не зависящий от рассматриваемых факторов, равен 1433,7 тыс. руб.

Для графического изображения линии регрессии, рассчитанной по линейной гипотезе, достаточно определить две точки, через которые можно провести прямую.

В данной курсовой проводим на поле корреляции прямую линию.

Графическое изображение теоретической линии регрессии в виде уравнения прямой еще раз подтверждает наличие корреляционной связи между изучаемыми признаками

 

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ

Если всю изучаемую совокупность разделить на группы, то можно рассчитать следующие виды дисперсий:

• групповую дисперсию;
• среднюю из групповых дисперсий;
• межгрупповую дисперсию;
• общую дисперсию по правилу сложения дисперсий.

Рассмотрим на примере влияния численности работников на накладные расходы выше перечисленные виды дисперсий. По данным первого задания работы выделим три группы по результативному признаку – объем смр (тыс.руб.) и вычислим следующее:

2.1 Групповая дисперсия

 

Группировочным или факторным признаком является среднегодовая стоимость основных средств (тыс.руб.), т.е. мы разбиваем изучаемую совокупность на три группы:

1. Среднегодовая стоимость от 70 до 95 тыс. руб.
2. Среднегодовая стоимость от 95 до 120 тыс. руб.
3. Среднегодовая стоимость от 120 и более тыс. руб.

Объемы смр является результативным признаком (у), который зависит от изменения среднегодовой стоимости .

№	Среднегодовая стоимость от 70 до 95 тыс.руб.			№	Среднегодовая стоимость от 95 до 120 тыс.руб			№	Среднегодовая стоимость от 120 и более тыс.руб
	Объем смр	yi – y	(yi – y)2		Объем смр	yi – y	(yi – y)2		Объем смр	yi – y	(yi – y)2
1	100	-5,67	32,15	1	118	-31,6	998,56	1	149	–17,34	300,68
2	108	2,33	5,43	2	152	2,4	2,76	2	170	3,66	13,4
3	109	3,33	11,09	3	153	3,4	11,56	3	180	13,66	186,6
4					160	10,4	108,16
5					165	15,4	237,16
∑	317		48,66	∑	748		1361,2	∑	499		500,68
у	105,67			у	149,6			у	166,34
σ2			16,22	σ2			272,24	σ2			166,89

По третьей группе разброс меньше (отклонение от средней величины 329,68 тыс.руб.)

2.2 Средняя из групповых

 

 Характеризует случайную  вариацию, возникшую под влиянием  других, неучтенных факторов, и не  зависит от условия (факторного  признака – численность работников), положенного в основу группировки.

 Определим среднюю  из групповых дисперсий, которая  показывает вариацию накладных  расходов, вызванную всеми различными  факторами, кроме накладных расходов, но в среднем по всей совокупности  по формуле средней арифметической взвешенной:

∑ σi2 * fi

                                                σ2 =

∑ fi

         16,22*3 + 272,24*5 + 166,89*3

σ2 =                                                         = 173,69

                      3 + 5 + 3

 

2.3 Межгрупповая дисперсия

 

Отражает вариацию изучаемого признака, которая возникает под влиянием признака, положенного в основу группировки (факторный признак – численность работников).

Определим межгрупповую дисперсию, которая характеризует вариацию групповых средних величин, обусловленную различиями групп по численности работников.

∑ (уi – y)2 * fi

                                            δ2 =

∑ fi

где у – средняя по всей изучаемой совокупности

 

 

∑ уi * fi

                                                  у =

∑ fi

       105,67*3 + 149,6*5 + 166,34*3

y =                                                         = 142,18

                   3 + 5 + 3

        (105,67 – 142,18)2 * 3 + (149,6 – 142,18)2 * 5 + (166,34 – 142,18)2 * 3

δ2 =                                                                                                            = 527,94

                                                       3 + 5 + 3

 

2.4 Общая дисперсия

 

Указанные  выше дисперсии взаимосвязаны между собой следующим равенством: величина общей дисперсии равна сумме  средней внутригрупповой дисперсии и межгрупповой дисперсии.

Это тождество отражает правило сложения дисперсий. Опираясь на это правило, можно определить, какая доля общей дисперсии складывается под влиянием признака, положенного в основу группировки.

Определим общую дисперсию:

σ2 = σ2 + δ2

σ2 = 173,69 + 527,94 = 701,63