Контрольная работа по "Статистике"

 

 

1.2  Рассчитать общие  средние величины по факторному  и результативному признакам  разными способами: как простые  средние арифметические, как средневзвешенные  из групповых средних, как средневзвешенные  из середин интервалов. Выявить  преимущества и недостатки этих способов с точки зрения точности получения результатов, простоты и эффективности проведения расчетов в макроэкономических исследованиях.

Групповые средние величины рассчитываются отдельно для каждой из групп по данным фирм, входящих в группу

             

Где k – номер группы (интервала); j – номер предприятия в k-ом интервале.

Результаты расчета групповых  средних арифметических для признаков  X и Y приведены в 5-ых столбцах таблиц 4-5.

Находим общие средние по каждому изучаемому признаку (данные для расчетов и результаты промежуточных вычислений приведены в таблицах 4-5, 9):

- на основе простой  средней арифметической (истинная  средняя)

 тыс. чел-дн.,     т. р.

- по формуле взвешенной  из средних групповых

 тыс. чел-дн.,

 т. р.

- по формуле взвешенной  из середин интервалов каждой  группы

 тыс. чел-дн.,

 т. р.

Где i – номер фирмы (i = 1,2,…30); k – номер группы; f _k – число фирм в k-ой группе.

Видим, что значения общих  средних, найденных на основе простой  средней арифметической и по формуле  взвешенной из средних групповых  совпадают, что следует из выражений, по которым они определяются. Это свидетельствует о высокой точности вычисления общих средних по формуле взвешенной из средних групповых (здесь могут возникать незначительные расхождения из-за округлений промежуточных результатов - средних групповых значений), а также о том, что групповые и общие средние величины найдены правильно.

Погрешности расчетов общих  средних по формуле взвешенной из середин интервалов составят:

 

 

Обобщая результаты расчета  средних величин можно сделать вывод, что самый простой способ нахождения значений общих средних - расчет по формуле взвешенной из середин интервалов  каждой группы (при его использовании значительно сокращается объем вычислений, т.к. не требуется ни расчета среднегрупповых значений (формула взвешенной из средних групповых), ни довольно ресурсоемкой работы по суммированию всех исходных данных (формула простой средней арифметической). Однако, из-за несовпадения значений центров интервалов и среднегрупповых значений, этот способ может давать результаты с относительно высокой погрешностью. Поэтому, его применение там где требуется высокая точность, должно быть ограничено.

 

1.3 По факторному  признаку рассчитать, структурные  средние: моду и медиану. Проверить  величину моды графическим способом. Оценить симметричность распределения факторного признака по местоположению моды, медианы и средней арифметической величины.

Мода - наиболее часто  встречающееся значение признака. В  интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, то есть тот интервал, который имеет наибольшую частоту.

 

Таблица 7 – Группировочная таблица для расчета накопленных частот по факторному признаку

 

Группа	Границы по Х		Число фирм	Накопленная частота
	нижняя	верхняя
1	100	135,167	8	8
2	135,167	170,334	3	11
3	170,334	205,501	10	21
4	205,501	240,668	3	24
5	240,668	275,835	2	26
6	275,835	311,002	4	30

 

В данном случае – интервал [170,334; 205,501). Конкретное значение моды определяется по формуле:

где Х_Мо = 170,334 - нижняя граница модального интервала:

       i = 35,16 - величина модального интервала;

     f_Мо = 10 - частота модального интервала;

     f_Мо-1 = 3 - частота интервала, предшествующего модальному;

     f_Мо+1 = 3 - частота интервала, следующего за модальным.

 

 тыс. чел-дн.,

Медиана соответствует  варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Место медианы

В интервальном ряду распределения  сначала указывают интервал, в котором находится медиана. Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частот превысит половину общего числа наблюдений - интервал [170,334; 205,501). Численное значение медианы определяется по формуле:

где Х_Ме = 170,334 - нижняя граница медианного интервала;

       i = 35,16 - величина медианного интервала;

       S_Ме-1 = 11 - накопленная частота интервала, предшествующего медианному; 

      f_Ме = 10 - частота медианного интервала.

 

 тыс. чел-дн.

На основании этих результатов  может утверждать, что фирмы имеющие  трудозатраты в размере 184,398 тыс. чел-дн. будут встречаться чаще других и, что количество фирм, имеющих трудозатраты меньше и больше 184,398 тыс. чел-дн. будет  одинаковым.

 

Коэффициент асимметрии можно рассчитать по трем формулам с учетом значений моды, медианы и среднего арифметического:

As = (X_общ – Ме)/у_х;

As = (X_общ – Мо)/у_х;

As = м₃/у³_х;

где м₃ - центральный момент третьего порядка, рассчитывается по формуле:

 

 

Расчет As будем проводить  по последней формуле, т.к. она позволяет  получить более точный результат  при асимметричном распределении, т.е. когда Мо ≠  Ме ≠  Х_общ.

При левосторонней асимметрии As < 0, при правосторонней асимметрии Аs > 0, для нормального распределения As = 0.

Асимметрия является значительной, если As > 0,5 по абсолютной величине, при ׀As׀ < 0,25 ее считают незначительной.

 

Для симметричных распределений  определяется показатель эксцесса Ек:

Где м₄ - центральный момент четвертого порядка, равный:

 

При островершинном распределении  Ек > 0, при нормальном Ек = 0, при плосковершинном распределении Ек < 0.

Степень существенности коэффициента Ек определяют по величине среднеквадратической ошибки

 

Если Ек /y_Ek, > 0, значение Ек является существенным. Если Ек/y_Ek < 0 значение Ек является несущественным.

Степень существенности коэффициента As определяют по величине среднеквадратической ошибки

Если отношение |As|/y_As > 3, асимметрия существенна и распределение признака в

генеральной совокупности не является симметричным. В противном случае асимметрия несущественна и может возникнуть под влиянием случайных колебаний признака.

Для расчета коэффициентов  асимметрии и эксцесса составим вспомогательную таблицу.

 

Таблица 8 - Вспомогательная таблица для расчета коэффициентов асимметрии и эксцесса

 

Группа	Границы по Х		Число фирм fk	Среднее Xk	Xк -X	(Xк –X)3∙fk	(Xк –X)4∙fk
	нижняя	верхняя
1	100	135,167	8	119,63	-73,14	-3129647,864	228892012,6
2	135,167	170,334	3	146,67	-46,10	-293852,7913	13545634,17
3	170,334	205,501	10	197	4,23	758,6603704	3211,662235
4	205,501	240,668	3	224,67	31,90	97415,80849	3107889,01
5	240,668	275,835	2	269	76,23	886063,2521	67547555,25
6	275,835	311,002	4	301	108,23	5071577,811	548913771,7
Сумма			30			2632314,877	862010074,4

 

Находим:

- центральный  момент третьего порядка

- коэффициент асимметрии

As = м₃/у³_х = 87743,8292/61,541³ = 0,376,

что больше нуля, следовательно, асимметрия правосторонняя. Т.к. ׀As׀ < 0,5 асимметрия является не значительной.

- среднеквадратическая ошибка

 

Т.к. отношение ׀As׀/y _As, = 0,376/0,412 = 0,912 не превышает 3, то асимметрия несущественна (могла возникнуть под влиянием случайных колебаний признака), и распределение признака в генеральной совокупности является симметричным.

Для симметричных распределений определяется показатель эксцесса:

 

- центральный момент четвертого порядка:

 

 

- коэффициент эксцесса:

 

Ек = м₄/у⁴_х - 3 = 28733669,1467/61,541⁴ – 3 = - 0,996,

что меньше нуля, следовательно распределение плосковершинное.

 

- среднеквадратическая  ошибка 

 

 

Т. к. Ек/y_Ек = - 0,996/0,749 = - 1,32 , значение  Ек является не существенным.

 

Построим гистограмму и кумуляту по факторному признаку. Построения производим ни основании данных группировочной таблицы (см. табл. 7). Результаты построений приведены на рис. 1, и рис. 2. Там же показаны мода и медиана, найденные графическим способом. По рисункам видно, что значения моды и медианы, найденные графическим способом и расчетным путем совпадают.

 

Рисунок 1 – Гистограмма  распределения фирм по факторному признаку

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2 – Кумулята распределения фирм по факторному признаку

 

Проводим расчет средних групповых значений по факторному и результативному признакам (при этом групповые средние по результативному признаку определяются по группам фирм, полученным при группировке по факторному признаку в абсолютном и относительном выражении). Исходными к расчету являются исходные данные по фирмам, ранжированные по Х (табл. 2). Результаты расчетов приведены в табл. 8. По рассчитанным групповым средним значениям для каждой группы определяем относительные показатели (групповые средние в относительном выражении). Приняв средние значения факторного и результативного признаков первой группы за 100%. по формулам:

 

ОПХ_к = Х_к∙100/Х₁;    ОПУ_к = У_к∙100/У₁.

 

Таблица 8 - Относительные  величины факторного и результативного  признаков

 

Группа	Границы по Х		Абсолютные значения		Относительные значения, %
	нижняя	верхняя	среднее Xк	среднее Ук	ОПXк	ОПУк
1	100	135,167	119,625	175,88	100	100
2	135,167	170,334	146,667	521,83	122,605	296,707
3	170,334	205,501	197	844,83	164,681	480,360
4	205,501	240,668	224,667	1175,20	187,809	668,202
5	240,668	275,835	269	1507,50	224,869	857,143
6	275,835	311,002	301	1971,00	251,620	1120,682