ARCH процессы. Определение, модели, приложения

 

Таблица 13.

 

 

Таблица 14. 

 

 

Таблица 15.

 

 

РЫНОК ГКО И ФОНДОВЫЙ РЫНОК

В данном разделе изучается связь  рынка акций с выделенными  сегментами рынка ГКО. Используются средневзвешенные по рыночной капитализации цены акций (индекс РТС), средневзвешенные по объему торгов цены ГКО (GKO - наиболее агрегированный показатель, включающий цены выпусков со сроком погашения 1- 360 дней). Два процесса представлены на рисунке 15.

В таблице 16 приведены оценки безусловной корреляции индекса РТС c различными индексами рынка ГКО. В наибольшей степени индекс РТС коррелирует с сегментами долгосрочных выпусков гособлигаций, в меньшей степени – с сегментом краткосрочных выпусков. Оцененные условные корреляции подчинены той же закономерности, динамика их синхронна. На рисунке 16 представлен лишь один процесс: условная корреляция переменных RTS и GKO. Отметим два обстоятельства:

1. В среднем RTS и GKO коррелируют слабо: среднее значение оцененной условной корреляции составляет лишь 0,15, однако условная корреляция положительна на всем модельном интервале.

 

 

2. Имеется всплеск корреляции до значения 0,77 30 октября 97 года.

 

 

Дорофеев (1998) изучает поведение  цен акций отдельных компаний на временном интервале январь 97 – июнь 98. В его работе построены регрессионные уравнения для цен акций, в качестве регрессоров выступают цены ГКО и ОФЗ и ряд других переменных. Относительно связи цен автор заключает: “Акции практически всех компаний (кроме металлургических) имеют значимую отрицательную корреляцию с рынком ГКО\ОФЗ. Этот феномен объясняется тем, что последний задает альтернативную требуемую ставку для активов РТС”. Противоречивость результатов можно объяснить участием в регрессионных уравнениях таких переменных как индекс РТС и ВВП, которые и объясняют большую часть вариации цен акций.

В работе Пересецкого и Ивантера (1999а) приведены безусловные корреляции однодневных доходностей индексов двух рынков для интервала май 96 – октябрь 97. Внутри групп различных  индексов, относящихся к одному и тому же рынку, имеется высокая корреляция. Корреляция между индексами, принадлежащими разным рынкам, весьма мала (но всегда положительна). Авторы объясняют это слабой интеграцией рынков или наличием временных лагов в их зависимости.

Смирнов и соавторы (1998) отмечают параллельное движение рынков акций и госбумаг: “Это (параллельное движение - AП) может характеризовать ситуацию, когда рост и падение котировок на этих рынках инспирируется одновременным притоком или оттоком капитала, а не перераспределением ресурсов внутри России”. Автор настоящего диплома полагает, что всплеск корреляции между рынками акций и гособлигаций в конце октября 97 года объясняется (как и ранее для сегментов рынка ГКО) продажей нерезидентами крупных пакетов российских ценных бумаг, т.е. одновременным оттоком капитала с обоих рынков.

Тесты на причинность по Гранжеру проведены как для уровней, так  и первых разностей с учетом гетероскедастичности. Тесты для уровней указывают  на существование односторонних  причинных связей по направлению от фондового рынка ко всем сегментам рынка ГКО. Тесты для первых разностей не подтверждают связей RTS ® GKO3 и RTS ® GKO1. По-видимому, индекс РТС оказывает воздействие на цены лишь долгосрочных выпусков ГКО.

Приведенные тесты на причинность  позволяют сформулировать следующую гипотезу:

шоки распространялись от фондового  рынка к сегменту долгосрочных выпусков ГКО, затем к сегменту краткосрочных  выпусков. Такая их направленность обусловлена последовательностью, в которой российские ценные бумаги продавались при нарастании кризисных явлений. В первую очередь из портфеля активов “удалялись” наиболее рискованные бумаги (корпоративные акции). По мере нарастания неопределенности за акциями последовали длинные выпуски ГКО, затем выпуски с меньшими сроками до погашения. Таким образом, цены акций в первую очередь испытали понижательное давление, которое затем распространилось на рынок гособлигаций.  

 

Таблица 16.

 

 

Таблица 17.

  

ЗАМЕЧАНИЕ К ОЦЕНИВАНИЮ МНОГОМЕРНОЙ ARCH МОДЕЛИ МЕТОДОМ ГЛАВНЫХ  КОМПОНЕНТ.

В завершении настоящего раздела мы считаем нужным указать на возможность построения двух наборов оценок условных вторых моментов с помощью изложенного выше метода главных компонент. Такая возможность была использована при построении моделей, результаты которых обсуждались в данном разделе. Основанием для нее служит следующий факт: условные вариации наблюдаемого процесса и возмущающего процесса совпадают, тогда как их безусловные вариации различаются.

Два набора оценок могут быть получены последовательно за два шага. Первый шаг состоит в применении описанной выше модели. Второй шаг состоит в применении той же модели для остатков , полученных на первом шаге. Вычисляются матрица безусловной вариации остатков , собственные вектора этой матрицы, набор главных компонент. Поскольку условные средние главных компонент равны нулю, оцениваются лишь условные дисперсии. Наконец, условные дисперсии главных компонент преобразуются в условные вторые моменты .

Выбор между наборами оцененных  условных моментов следует подчинить некоторому формальному критерию. Мы принимаем критерий максимума функции правдоподобия, построенной при вспомогательном предположении о том, что при условии имеет многомерное нормальное распределение.

Качество подбора условных моментов переменных GKO1, GKO3, GKO6 и GKO12 (модель для сегментов рынка ГКО) отражено таблицей 18. В столбце “Общий подбор” приведены значения логарифмической функции правдоподобия, для вычисления которых использовались оцененные условные средние, дисперсии и ковариации. В столбце “Подбор средних и дисперсий” приведены значения логарифмической функции правдоподобия, для вычисления которых использовались оцененные средние и дисперсии, а ковариации заменялись нулями.

Таблица 18 свидетельствует о необходимости  реализации второго шага в рамках многомерной модели.

Качество подбора условных моментов переменных RTS и GKO представлено таблицей 19. Реализация второй шага в рамках двумерной модели не приносит желаемого  улучшения качества подбора. Подбор условной дисперсии GKO многомерной  моделью хуже, чем подбор одномерной моделью.

Таблица 18.

Таблица 19.

 

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

ОБЩИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТИ.

Обзор литературы позволяет выделить некоторые устойчивые закономерности, характеризующие отдачу финансовых активов как стохастический процесс:

• Clustering Volatility. Волатильность обладает инерцией, ее уровень предсказуем. Модели авторегрессионной условной гетероскедастичности адекватно отражают инертность и предсказуемость динамики условного второго момента.
• Плотность условного распределения отдачи финансовых активов характеризуется более толстыми хвостами, чем плотность нормального распределения. Это наблюдение является существенным при выборе метода оценивания ARCH модели.

 

 

• "Левередж эффект". Отдача акций отрицательно коррелирует с изменениями волатильности. Отрицательные и положительные ошибки прогноза имеют различное воздействие на условную дисперсию.
• Нестационарность. Безусловная дисперсия процессов бесконечна.

УСЛОВНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ.

Плотность условного распределения  отдачи вложений в индекс РТС симметрична, но имеет более толстые хвосты, чем плотность нормального распределения. Такой тип функции плотности является общим для российского и основных фондовых индексов США.

Условные распределения средневзвешенных доходностей и цен ГКО имеют  экстремально высокие коэффициенты асимметрии и куртозиса. Плотности таких распределений обладают более толстыми хвостами, чем плотность нормального распределения, причем один из хвостов (правый или левый, в зависимости от знака асимметрии) толще другого. Такой тип функции плотности специфичен для российских данных: указания на асимметричные распределения весьма редки в зарубежной литературе.

Причиной выраженной ненормальности условных распределений являются выбросы  или "хвостовые события" (tail events) – ошибки прогнозов, многократно превосходящие стандартное отклонение. "Хвостовые события" часто связаны с бумами, паниками, резкими изменениями политики Центрального Банка, реакцией рынка на политические известия. Так, 17 июня 1996 года на известие о победе Б.Ельцина в первом туре президентских выборов индекс РТС отозвался увеличением на 16 процентов. В результате продажи нерезидентами крупных пакетов российских ценных бумаг 28 октября 1997 года индекс потерял 19 процентов своей величины, в то время как доходность ГКО возросла на 5,88 процентных пунктов.

Нормальное распределение приписывает возникающим ошибкам прогноза незначительную вероятность, не сопоставимую с фактической частотой их появления. Условное распределение отдачи вложений в индекс РТС аппроксимировано распределением Стьюдента. Это распределение является лептокуртическим и адекватно отражает частоту "хвостовых событий".

Зарегистрированная для доходности ГКО положительная асимметрия свидетельствует  о том, что положительные выбросы  относительно более часты, чем отрицательные. Такая особенность отражает специфическую реакцию участников рынка на поступающие известия.

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД МОМЕНТОВ..

Метод квази-максимального правдоподобия  не является асимптотически эффективным. Потери эффективности, возникающие, в  частности, при t-распределенных ошибках невелики, однако могут быть весьма существенными, если распределение ошибок асимметрично.

Нарушение гипотезы об условной нормальности мотивирует применение обобщенного  метода моментов. На основе данного  метода построена процедура оценивания модели с параметризованными совместно функциями условного среднего и дисперсии. Обобщенный метод моментов обладает следующими достоинствами:

(i) не требует явных предположений  относительно плотности условного  распределения и допускает присутствие  ненулевых куртозиса и асимметрии;

(ii) использует лишь производные  первого порядка функций условного  среднего и дисперсии и позволяет  избежать тем самым применения  методов численного дифференцирования;

(iii) асимптотически более эффективен, чем метод квази-максимального  правдоподобия.

ДИНАМИКА УСЛОВНЫХ ДИСПЕРСИЙ.

С целью изучения динамики условных дисперсий индикаторов финансового  рынка построены одномерные EGARCH-M модели.

Модель для отдачи вложений в  индекс РТС выделяет периоды экстремальной  волатильности: июнь и начало июля 1996 года, 29-31 октября 1997 года, июнь и август 1998 года. Эти всплески волатильности можно содержательно связать с президентскими выборами, обвалом котировок 28 октября 1997 года и общей дестабилизацией финансового рынка летом 1998 года. Модели для доходности и цен ГКО выделяют период наименьшей волатильности: июнь-октябрь 1997 года. Отметим, что условные дисперсии всех изученных индикаторов переживают стремительное увеличение непосредственно после событий 28 октября 1997 года.

Следующий результат является специальным и был получен благодаря применению EGARCH параметризации: условные дисперсии доходности и цен ГКО реагируют асимметрично на ошибки разных знаков. Так, отрицательные ошибки прогноза цен приводят к нарастанию волатильности, тогда как положительные ошибки не оказывают статистически значимого влияния. Для доходности ГКО справедливо обратное: положительные инновации приводят к увеличению условной дисперсии, тогда как отрицательные инновации не оказывают статистически значимого влияния. Экономическая природа этого эффекта не ясна.  
Логарифм условной дисперсии отдачи вложений в индекс РТС симметрично зависит от инноваций; левередж-эффект отсутствует.

Свойством ковариантной стационарности обладает лишь отдача вложений в индекс РТС. Безусловные дисперсии доходности и цен ГКО бесконечны.

РИСК И ОЖИДАЕМАЯ ДОХОДНОСТЬ.

Тип ARCH-M параметризации, примененный при построении одномерных моделей, позволяет изучить зависимость между условным средним и условной дисперсией.

Установлена статистически значимая пропорциональная зависимость между доходностью рыночного портфеля ГКО и ее условным стандартным отклонением. Уравнение долгосрочной зависимости разделяет ожидаемую доходность на постоянную компоненту (безрисковую или гарантированную доходность) и переменную премию за риск, которая зависит от уровня условной дисперсии. Среднее значение фактической доходности на модельном интервале составляет 31,13 процентов годовых и распадается на безрисковую составляющую - 14,57 процентов - и премию за риск - 16,47 процентов. Приращение условного стандартного отклонения на единицу приводит к увеличению премии за риск на 4,62 процента годовых.

Установлена статистически значимая обратная зависимость  между ценой рыночного портфеля ГКО и ее условным стандартным  отклонением. Безрисковая цена составляет 96,59, тогда как средний уровень фактической цены на модельном интервале равен 90,39. Разницу -6,20 можно трактовать как премию за риск. Приращение условного стандартного отклонения на единицу приводит к снижению ожидаемой цены на 3,52 единицы.

ДИНАМИК УСЛОВНЫХ КОРРЕЛЯЦИЙ.

С целью изучения динамики условных корреляций между сегментами рынка ГКО и  рынком акций построены многомерные  полупараметрические ARCH модели.

Близкая к нулю условная корреляция зафиксирована  на временном интервале июнь-октябрь 1997 года между сегментами рынка ГКО, объединяющими выпуски со сроками погашения до полугода и более полугода. В сентябре-октябре 1997 года корреляция между данными сегментами принимает отрицательные значения. Выделенный период уникален с точки зрения возможности страхования рисков путем диверсификации средств между выпусками ГКО различной срочности.

29-31 октября 1997 года зафиксирован  всплеск условной корреляции  между рынками ГКО и акций.  Данный период характеризуется  наименьшей эффективностью разделения средств между акциями и государственными облигациями с позиции страхования рисков. Стремительное увеличение переживают также корреляции между сегментами рынка ГКО.

Таким образом, находит подтверждение  гипотеза об увеличении корреляции между  сегментами финансового рынка в периоды падения по сравнению с периодами роста. Причиной его, предположительно, является продажа нерезидентами крупных пакетов национальных ценных бумаг, которая вызывает одновременное падение цен и увеличение корреляции между ними.