ARCH процессы. Определение, модели, приложения

(3.23) ,

если l>m, то минимизацией критериальной функции – квадратичной формы, построенной из (3.21) и (3.22):

(3.24) .

При любом выборе инструментов оценки, определяемые (3.23) или (3.24), состоятельны и асимптотически нормальны с асимптотической матрицей ковариации

(3.25)

.

Инструменты W, такие что , приводят к оценкам, эффективным в классе ОММ. Существует ровно m оптимальных инструментов, поэтому эффективные оценки находятся решением системы

(3.26) .

Асимптотическая матрица ковариации таких оценок меньше, чем при любом ином выборе инструментов:

(3.27) .

Воспользуемся матрицами  размерности l´ 2n, размерности m´ 2n, блочно-диагональной матрицей L размерности 2n´ 2n с диагональными блоками . Тогда участвующие в (3.25) и (3.27) суммы записываются как , , . Опустим знаки plim, множители и рассмотрим разность

между обращенными матрицами ковариации, относящимися к оптимальному и произвольному  наборам инструментов, соответственно. Если симметричная 2n´ 2n матрица Y такова, что , то разность данная равна

.

Эта матрица положительно полуопределена, поскольку матрица в больших скобках идемпотентна. Отсюда немедленно следует положительная полуопределенность

.

Оптимальные в классе ОMM оценки асимптотически более эффективны, чем оценки МКМП. Достаточно показать, что асимптотическая матрица ковариации последних приводима к виду (3.25) с помощью какого-либо набора неоптимальных инструментов. Вклад наблюдения t в этот набор инструментов представляет собой матрицу , вычисленную при :

(3.28) .

Если коэффициенты асимметрии и  куртозиса действительно равны  нулю, то такой набор инструментов является оптимальным. Следовательно, при верной гипотезе (N) методы моментов и максимального правдоподобия асимптотически эквивалентны.

Выбор инструментов (3.28) приводит к  следующим совпадениям: 

 

• эмпирических моментов и градиента критериальной функции

(3.1)-(3.2)

в точке истинных параметров с точностью  до знака “минус”: ;  

 

• их условных ковариационных матриц: , и

 

  

 

• условных вторых производных:

.

Следовательно, совпадают и вероятностные  пределы, участвующие в (3.15) и (3.25). Итак, (3.25) при соответствующем выборе инструментальных переменных характеризует асимптотическую ковариационную матрицу МКМП -оценок.

Davidson и MacKinnon предлагают двухшаговую  или итеративную процедуры вычисления  оценок ОMM. Требуется построить  состоятельные, но, возможно, неэффективные оценки, используя их, определить приблизительно оптимальные инструменты; с помощью найденных инструментов вычислить оценки параметров. Если исходные оценки не очень точны, желательно повторить процедуру несколько раз.

Пусть имеются  , с помощью которых можно состоятельно оценить коэффициенты асимметрии и куртозиса выборочными моментами стандартизованных остатков:

(3.29) .

Для всех q Î Q определим выражения и , причем для вычисления первого из них вместо истинных значений будем использовать оценки (3.29). Новые оценки параметров q предлагается вычислять как решение системы

,

где t-е слагаемое равно

(3.31)

.

При этом оценки оптимальных инструментов и оценки параметров определяются одновременно. Такое вычисление эквивалентно реализации итеративной процедуры, в которой оценки на i-м шаге определяются с помощью инструментов, оцененных на (i-1)-м шаге как решение

.

Полученные оценки приводят к новым  значениям коэффициентов асимметрии и куртозиса, и процедура может быть повторена. На практике уже после третьей итерации достигается вполне удовлетворительная сходимость.

В качестве исходных оценок приемлемы  оценки максимального правдоподобия. При  вклад t-го наблюдения в эмпирический момент (3.31) совпадает со вкладом в градиент логарифмической функции правдоподобия. Следовательно, оценки максимального правдоподобия могут быть получены на первом шаге решением (3.30) при .

Оценкой ковариационной матрицы для  служит

,

где =

.

ГЛАВА 3. ЭМПИРИЧЕСКИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ.

3.1 ОДНОМЕРНЫЕ  МОДЕЛИ.

Настоящий раздел посвящен моделированию  временных рядов, относящихся к  российскому финансовому рынку  и изображенных на рисунках 1-3.

Применяется EGARCH параметризация, логарифм условной дисперсии представлен как процесс AR(1). Функция условного среднего включает авторегрессионную и ARCH in mean компоненты.

(M)

Анализ результатов проведен по схеме: 

 

1. Распределение .
2. Динамика условной дисперсии.

 

 

3. ARCH-M эффект: связь условного среднего и условного стандартного отклонения.

 

  

 

4. Зависимость логарифма условной дисперсии от инноваций .
5. Гипотеза о единичном корне в дисперсии.

 

 

6. Тестирование спецификации модели.

 

 

Далее методы квази-максимального  правдоподобия и моментов сравниваются с точки зрения эффективности  оценок модели (M).

ИНДЕКС РТС.

Привлечены ежедневные (на момент закрытия) данные по индексу Российской Торговой Системы за период 04.05.95–05.11.98; временной ряд содержит 793 наблюдения. Переменная РТС была получена на основе этих данных как

и отражает доходность от прироста рыночной стоимости капитала. 

 

1. Коэффициенты асимметрии и куртозиса стандартизованных остатков

равны 0,1231 и 1,7533. Гипотеза  

 

(N)

отклонена в пользу симметричного  лептокуртического распределения. Данный вывод согласуется с многочисленными наблюдениями, относящимися к отдаче вложений в фондовые индексы США: плотность распределения симметрична, но по сравнению с нормальной имеет более толстые хвосты. Сформулирована альтернативная гипотеза: стандартизованные ошибки имеют распределение t-Стьюдента

(t) .

Число степеней свободы l =7.35 подобрано таким образом, что куртозис модельного распределения совпадает с выборочным куртозисом 1,7533.

В таблице 1 приведены фактическое  и ожидаемое количества наблюдений, превосходящих по абсолютному значению N условных стандартных отклонений. Ожидаемая частота рассчитана для двух конкурирующих гипотез (N) и (t). Распределение Стьюдента достаточно точно аппроксимирует толщину хвостов эмпирического распределения, тогда как нормальное распределение недооценивает частоту выбросов.

Для цели построения доверительного интервала по значениям асимметрии и куртозиса было подогнано распределение из семейства Пирсона. Фактический ряд и 98 процентный доверительный интервал представлены на рисунках 5 и 6.

(ii) На графике 4 можно наблюдать  три периода экстремально высокой волатильности: июнь и начало июля 96 года, конец октября 97 года, лето (особенно июнь и август) 98 года. Соответствующие им локальные максимумы условного стандартного отклонения перечислены (в хронологическом порядке) ниже в таблице.

28 октября 97 года индекс РТС опустился на 19,02 процента в результате агрессивной продажи акций нерезидентами. Столь катастрофическое падение не предсказано моделью: нижняя граница 98 процентного доверительного интервала на этот день составляла -11,81. Также неожиданным оказался провал 12 января 98 года: -14,35 процентов при нижней границе доверительного интервала -9,74. Как следует из приведенной таблицы, оба выброса явились причиной резкого увеличения условной дисперсии (см. иллюстрацию 6).

РТС. Локальные максимумы условной дисперсии.

Дата	Значение	Комментарий.
30.05.96	8,5713	Связан с неопределенностью  относительно исхода президентских  выборов.
18.06.96	8,2729	Последовал за выбросом 17 июня 96 года и связан с объявлением результатов первого тура выборов.
09.07.96	7,8664	Объявлены результаты второго тура президентских выборов.
29.10.97 30.10.97	9,9315 12,0664	Данный всплеск волатильности  последовал за выбросом 28 октября 97 года и отмечает достигшую России волну финансового кризиса.
14.01.98	8,3429	Последовал за выбросом 12 января 98 года.
03.06.98	9,0460	Последовал за обострением ситуации на рынке ГКО и повышением ставки рефинансирования до 150 процентов 27 мая 98 года.
18.08.98	8,2477
28.08.98	9,7891

(iii) По результатам применения  МКМП t статистика коэффициента d составляет лишь 0.32 и не позволяет отклонить нулевую гипотезу об отсутствии связи между условным средним и условной дисперсией отдачи вложений в РТС. Данный вывод неудивителен в свете работ Nelson (1991), Bollerslev, Engle, Nelson (1993), также использовавших EGARCH модель и также не обнаруживших искомой связи для важнейших фондовых индексов США.

В таблице 2 приведены оценки ОММ  сокращенной модели с ограничением d =0.

(iv) Инновации, такие что  , вне зависимости от алгебраического знака приводят к увеличению условной дисперсии.

По результатам применения ОММ  коэффициент q равен -0,0309 при стандартном отклонении 0,0489, тогда как g равен 0,4851 при стандартном отклонении 0,0745. Таким образом, российский фондовый индекс не обнаруживает статистически значимого левередж-эффекта.

(v) Коэффициент авторегрессии f в уравнении для логарифма условной дисперсии равен 0.9193 при стандартном отклонении 0.0250, так что t статистика для гипотезы о единичном корне в дисперсии (1-f =0) составляет 3.22. Такое значение не позволяет уверенно отклонить нулевую гипотезу, поскольку распределение статистики неизвестно, но дает основание предполагать стационарность процесса.

(vi) С целью обнаружения ошибок  в спецификации модели мы проверяем набор из 12 условий ортогональности, сформулированных относительно . Тестируются предположения о нулевом среднем, единичной дисперсии, отсутствии автокорреляции в стандартизованных ошибках и их квадратах до 5-го порядка. При 10 процентном уровне значимости ни одно из условий не может быть отвергнуто.

Таблица 1.

 

 

Таблица 2.

Таблица 3.

 

 

ДОХОДНОСТЬ  ГКО.

Переменная представляет собой  взвешенное среднее доходности по выпускам ГКО со сроками погашения от 1 до 360 дней; в качестве весов приняты  текущие доли выпусков в суммарном  обороте торгов. Временной ряд содержит 403 наблюдения за период 5.01.97-14.08.98.

1. Стандартизованные остатки демонстрируют экстремальные коэффициенты асимметрии и куртозиса: 1,9308 и 9,2601. Правая асимметрия наглядно представлена таблицей 4: положительные выбросы обладают большей частотой, чем отрицательные.

 

 

2. В динамике фактической доходности и ее условного стандартного отклонения имеется выраженная синхронность (рисунок 7).

 

 

Доходность государственных ценных бумаг достигает наименьших значений в интервале июнь – октябрь 97 года, стабилизация рыночной конъюнктуры проявляется относительно низким уровнем условной дисперсии. Период спокойного движения переменной прервался 28 октября неожиданным увеличением доходности на 5,88 процентных пунктов до значения 24,47, причиной чего послужила массовая продажа нерезидентами госбумаг; положительный выброс вызвал стремительное увеличение условной дисперсии 29 октября. На протяжении ноября и декабря 97 года повышательная тенденция доходности и условной дисперсии сохранялась. Необратимая дестабилизация рынка наступила в конце мая 98 года.

3. Наблюдаемая синхронность в развитии фактической доходности и условного стандартного отклонения подтверждена статистически: оцененный коэффициент d равен 1,0298 при стандартной ошибке 0,3380.

 

 

Авторегрессионная компонента в уравнении условного среднего усложняет интерпретацию зависимости между ожидаемой доходностью и условной дисперсией: воздействие риска на ожидания инвесторов не является мгновенным, оно распределено во времени. Прибегая к традиционной аргументации моделей распределенного лага, можно утверждать, что ожидаемая доходность и условное стандартное отклонение находятся в долгосрочной зависимости вида

.

Коэффициенты зависимости получены как  и . Поскольку условная дисперсия ассоциирована с уровнем системного (рыночного или недиверсифицируемого) риска, полученное уравнение характеризует долгосрочную связь между ожидаемой доходностью и риском рынка ГКО.

Таким образом, безрисковая (гарантированная) доходность рынка составляет 14,57 процентов годовых. Увеличение стандартного отклонения на единицу в долгосрочной перспективе приводит к росту ожидаемой доходности на 4,61 процент. Среднее значение фактической доходности на модельном интервале составляет 31,13 процентов и распадается на безрисковую составляющую (14,57 процентов) и премию за риск - 16,47 процентов.

Диаграмма в пространстве s -m представлена на рисунках 9-10. На рисунке 10 отмечена линия долгосрочной зависимости.

4. Положительные инновации приводят к увеличению условной дисперсии, тогда как отрицательные инновации не оказывают статистически значимого влияния.

 

 

Логарифм условной дисперсии является линейной функцией инноваций z с неодинаковыми коэффициентами наклона для положительных и отрицательных z. В отрицательной области коэффициент наклона равен q - g = 0,1372 при стандартной ошибке 0,1040, в положительной области равен q +g = 0,2417 при стандартной ошибке 0,0602. Статистика Вальда для гипотезы q -g = 0 соответствует уровню значимости 0,1870. Следовательно, нельзя с уверенностью отклонить гипотезу об отсутствии влияния отрицательных инноваций на условную дисперсию, в то же время как положительные инновации несомненно являются влияющими. Таким образом, знак ошибок прогноза доходности существенно определяет динамику условной дисперсии.

Можно предложить весьма простое объяснение такой зависимости: превышение фактической  доходности над ожидаемой на рынке  государственных облигаций является тревожным сигналом, тогда как  обратное соотношение говорит скорее о стабилизации конъюнктуры. По своему воздействию на условную дисперсию положительные ошибки прогнозов следует признать “негативными новостями”, отрицательные ошибки – “нейтральными известиями”. Заметим, что негативные новости обладают гораздо большей частотой, чем нейтральные.