ARCH процессы. Определение, модели, приложения

В связи с моделированием фондовых индексов особый интерес представляют работы Nelson (1991), Bollerslev, Engle и Nelson (1993). Нельсон моделирует отдачу вложений в средневзвешенный индекс CRSP за период 1962-1987. Исследованием Боллерслева и др. охвачена динамика фондовых индексов США на протяжении более чем столетнего периода: Dow Jones за два отдельных периода 1985-1914 и 1914-28, Standard 90 (1928-52), S&P (1953-90).

В обеих работах применяются EGARCH модели. По критерию Schwartz для логарифма условной дисперсии четырех временных рядов выбрана ARMA(2,1) репрезентация, исключением стал DJ (1914-28), для которого выбрана AR(1) репрезентация. Все пять оцененных моделей свидетельствуют о левередж-эффекте (в обозначениях (1.10) q < 0 , g > 0 ).

Функции условного среднего параметризованы как

(Nelson)

(Bollerslev).

Обе параметризации отвергают наличие  связи между уровнем доходности и ее волатильностью за единственным исключением. t-статистики коэффициента составляют  

 

-1,6588	для избыточной доходности вложений в CRSP (1962-1987)
-0,9826	для дохода от увеличения рыночной стоимости CRSP (1962-1987)
0,0287	для DJ (1985-1914)
0,7149	для DJ (1914-1928)
2,7941	для Standard 90 (1928-1952)
0,2347	для S&P (1953-1990).

Подтверждение получила гипотеза об отрицательной зависимости между  серийной корреляцией и волатильностью, возможность которой учтена при  помощи множителя в квадратных скобках ( обозначает выборочную безусловную дисперсию ): для DJ (1985-1914 и 1914-28), Standard 90 и для S&P параметр положителен и значимо отличается от нуля. Для Standard 90, например, оцененная условная корреляция составляет 0.17, если и -0.07, если .

ARCH-M модель привлекалась также для идентификации премии за риск во временной структуре процентных ставок и в связи с гипотезой эффективности валютного рынка.

Под временной структурой процентных ставок понимается соотношение между  доходностью ценных бумаг с различными сроками погашения. Такая структура может быть проиллюстрирована в виде кривой дохода и демонстрирует меньший доход для краткосрочных ценных бумаг и больший - для долгосрочных. Рост ставок при движении от кратко- к долгосрочным бумагам можно объяснить возрастающим риском инвестирования. Engle, Lilien, Robins (1987) моделируют разницу в доходности 6-ти и 3-х месячных казначейских векселей (используются поквартальные данные за период 1960-1984, применяется ARCH(12) спецификация условной дисперсии). Динамика сверхдоходности относительно более длинных бумаг (excess holding yield) обнаружила значимую компоненту, связанную с изменением условной дисперсии; однако, среднее значение этой компоненты составляет лишь 0.14 процента за квартал.

Гипотеза эффективности валютного  рынка утверждает, что форвардный валютный курс является лучшим несмещенным прогнозом будущего курса наличной валюты. Однако практические наблюдения вселяют сомнения относительно эффективности валютного рынка в этом смысле. Смещенность форвардного курса не обязательно свидетельствует о нерациональности участников рынка и может быть манифестацией премии за риск. Эмпирически тестировались различные аппроксимации премии за риск, в том числе связанные непосредственно с условной дисперсией курса спот (Domowitz и Hakkio (1985); Kendall и McDonald (1989)); эти работы приводят к противоречивым результатам относительно адекватности ARCH-M спецификации.

1.2 СТАЦИОНАРНОСТЬ.

В данном параграфе мы обратимся  к некоторым утверждениям, устанавливающим  ту или иную форму стационарности GARCH и EGARCH процессов. Строгая форма стационарности предполагает, что все вероятностные характеристики процесса не меняются с течением времени; в частности, безусловное распределение вероятностей при всех t является одним и тем же. При слабой (ковариантной) форме стационарности безусловная дисперсия ограничена и совпадает для всех t.

Вернемся  к определению параграфа 1.1 и рассмотрим ARCH-N – процесс, т.е. такой, условное распределение которого является нормальным:

(2.1) .

Соответствующий стандартизованный процесс  имеет условно нормальное распределение с параметрами 0 и 1: . Поскольку нормальная плотность определяется лишь двумя своими параметрами, плотность распределения неизменна при всевозможных значениях . Следовательно, независимы от входящих в набор случайных величин и любых функций от этих случайных величин. В частности, не зависит от . Это наблюдение позволяет сформулировать эквивалентное (2.1) определение ARCH-N процесса:

В общем случае (без предположения  об условной нормальности) свойство одинаковой распределенности и независимости стандартизованных остатков не является следствием определения, данного в параграфе 1. Однако это свойство упрощает изучение вопросов данного параграфа. Поэтому мы усилим определение ARCH процесса:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

является ARCH процессом, если

(2.2.а) 

(2.2.б)  .

GARCH

Теорема 1 описывает множество таких значений параметров a и b , при которых GARCH(1,1) является стационарным в строгом смысле.  

 

Теорема 1 (Nelson, 1990).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.5), причем p=1, q=1, w >0. Процесс строго стационарен если и только если

(2.3) .

Условие ковариантной стационарности для GARCH(p,q) установлено теоремой 2. Свойство ограниченности безусловной дисперсии представляется желательным из соображений экономического порядка, однако для реальных процессов является скорее исключением, чем правилом.

Теорема 2 (Bollerslev, 1986).

Пусть процессы определены (1.1) и (1.5). Процесс ковариантно стационарен если и только если все корни 1-b (x)-a (x)=0 лежат вне единичного круга. Безусловная дисперсия равна

.

Условие теоремы очевидно в свете  представления (1.7). Для GARCH(1,1) критерий ковариантной стационарности сводится к

(2.4) .

Применением неравенства Иенсена в (2.3) можно установить, что слабая форма стационарности является достаточным, но не является необходимым условием для строгой формы стационарности. Например, процессы, для которых , или являются строго стационарными, однако безусловная дисперсия этих процессов бесконечна.

Указания на ковариантную нестационарность высокочастотных временных рядов  объединяют большую часть эмпирической литературы. О возможной ковариантной нестационарности говорит близость оцененного значения a (1)+b (1) к единице. Формальные тесты на единичный корень в дисперсии представлены рядом авторов, включая French, Schwert и Stambaugh (1987) для индекса S&P, Chou (1988) для средневзвешенного NYSE; нулевая гипотеза не была отвергнута ни в этих, ни во многих других работах.

Engle и Bollerslev (1986) определяют процессы с единичным корнем в дисперсии как интегрированные GARCH (Integrated GARCH, IGARCH), например, для IGARCH(1,1)

.

IGARCH процессы строго стационарны, однако не имеют ограниченной безусловной дисперсии. Прогноз волатильности на s шагов вперед определен как

,

так что текущая информация остается значимой, каков бы ни был горизонт прогнозирования.

Определенный  интерес представляет четвертый  безусловный момент: согласно многочисленным свидетельствам, распределения цен / доходностей различных финансовых активов имеют положительный куртозис. Это наблюдение столь распространено в литературе, что Bollerslev, Engle и Nelson (1993) относят его к эмпирически установленным закономерностям (необходимые ссылки представлены Bollerslev, Chou и Kroner (1992)). Пусть ARCH-N процесс (2.1) имеет конечный безусловный момент четвертого порядка. Тогда, поскольку и независимы, и в силу неравенства Иенсена

,

причем  равенство выполняется, лишь если – константа, т.е. условная гетероскедастичность не имеет места. В противном случае безусловное распределение характеризуется положительным куртозисом. Для GARCH(1,1)-N безусловный куртозис

,

если  и k = + ¥ , иначе. В обоих случаях условная гетероскедастичность является источником безусловного избыточного куртозиса.

EGARCH

В экспоненциальной модели логарифм условной дисперсии является линейным процессом, поэтому свойства стационарности (как строгой, так и ковариантной) и эргодичности могут быть проверены сравнительно легко. Если шоки угасают достаточно быстро, то логарифм условной дисперсии, условная дисперсия и сам ARCH процесс являются строго стационарными и эргодическими.

Теорема 3 (Nelson, 1991).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.9)-(1.10), положим, g и q не равны нулю одновременно. Тогда процессы строго стационарны и эргодичны, и ковариантно стационарен если и только если

.

Критерий  теоремы 3 является традиционным для  линейных процессов. Если логарифм условной дисперсии задан в форме авторегрессии  – скользящего среднего соотношением (1.11), то условие теоремы сводится к требованию, чтобы все корни 1-b (x) лежат вне единичного круга. Так, например, если в (1.11) присутствует единственная авторегрессионная компонента (p=1), то критерий состоит в .

Будучи  строго стационарными, изучаемые процессы могут не иметь конечных безусловных  моментов и, следовательно, не быть слабо  стационарными. Это, в частности, так, если имеет распределение Стьюдента. Если же распределение принадлежит семейству GED (Generalized Error Distribution - Обобщенное Распределение Ошибки), то при условии строгой стационарности безусловное распределение обладает конечными моментами произвольного порядка.

Семейство GED охватывает симметричные распределения с различными коэффициентами куртозисами. Плотность распределения GED

(2.5)

где - гамма-функция, и

.

параметризована u , регулирующим “толщину хвоста”. При u =2 GED совпадает со стандартным нормальным распределением, при u <2 плотность GED имеет более толстые, при u >2 – более тонкие хвосты, чем нормальная плотность. В частности, при u =1 z имеет двойное экспоненциальное распределение, при u = ¥ z равномерно распределен на интервале .

Теорема 4 (Nelson, 1991).

Пусть процессы определены (2.2) и (1.9)-(1.10), положим, g и q не равны нулю одновременно, кроме того, имеют распределение GED с параметром u > 1. Пусть выполнено требование теоремы 3. Тогда процессы обладают конечными, неизменными во времени моментами любого порядка.

Свидетельства нестационарности основных фондовых индексов США были получены в работах Nelson (1991), Bollerslev, et al (1993) применением EGARCH параметризации. Авторы указывают, что один из оцененных авторегрессионных корней ARMA(2,1) модели для логарифма условной дисперсии близок к единице, тогда как другой корень имеет невысокое абсолютное значение.

ГЛАВА 2. МЕТОДЫ ОЦЕНИВАНИЯ.

СПЕЦИФИКАЦИЯ МОДЕЛИ.

– последовательность наблюдаемых  скалярных случайных величин. - набор предопределенных к моменту t переменных. Функции условных мат. ожидания и дисперсии совместно параметризованы вектором : . – известные функции, которые далее будем обозначать, опуская аргумент и используя нижний индекс t. Существует единственный такой, что

(М.1)

(М.2) ,

называется вектором истинных параметров. Определим также функции остатков и стандартизованных остатков

.

Условия (М.1)-(М.2) позволяют вычислить математическое ожидание и дисперсию в произвольной точке параметрического пространства. Например, в точке

(М.3)

(М.4) .

Процедура, используемая наиболее часто для  оценки , состоит в максимизации функции правдоподобия, построенной в предположении о том, что распределение при условии нормально со средним и дисперсией, определенными (М.1)-(М.2). Гипотеза об условной нормальности, однако, часто не выдерживает тестирования; в этой связи возникает проблема выбора метода, устойчивого к различным ее нарушениям.

Обоснован метод квази-максимального правдоподобия, который предполагает максимизацию нормальной функции правдоподобия  при том, что распределение  в действительности не является нормальным. При этом оценки сохраняют свойства состоятельности и асимптотической нормальности, однако утрачивают свойство асимптотической эффективности.

В данной работе предпринята попытка оценить модель обобщенным методом моментов. Оказалось возможным построить оптимальные инструменты, приводящие к оценкам, асимптотически более эффективным, чем оценки метода квази-максимального правдоподобия.

2.1 ОЦЕНИВАНИЕ ARCH-N МОДЕЛИ: МЕТОД МАКСИМАЛЬНОГО ПРАВДОПОДОБИЯ.

Применение метода максимального  правдоподобия требует явного задания  функции плотности распределения  случайных величин  . Предположение о нормальном характере распределения позволяет воспользоваться простой и детально разработанной процедурой оценивания неизвестных параметров, которая и является предметом рассмотрения настоящего параграфа. Гипотеза об условной нормальности процесса формально записывается как

(N) .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

Оценки  метода максимального правдоподобия (ММП) доставляют максимум критериальной  функции, составленной из вкладов отдельных  наблюдений:

(3.1) ,

где вклад t-го наблюдения определяется как 

(3.2) .

совпадает с логарифмом совместной плотности распределения вектора  . Градиент и гессиан критериальной функции также составлены из вкладов отдельных наблюдений:

,

вклады наблюдения t записываются как 

(3.3)

(3.4)

.

Вычислим условные ожидания (3.3) и (3.4) в точке истинных параметров. Значения функций  и , производные этих функций по q предопределены к моменту t. Выражения, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль. Имеем

(3.5)

(3.6)

Обозначим матрицу условной ковариации вклада t-го наблюдения градиент:

(3.7) .

Вследствие (3.5) безусловное ожидание градиента  критериальной функции равно нулю:

(3.8) .

Определим информационную матрицу как безусловную  ковариацию градиента в точке  :

(3.9) .

Поскольку последовательность вкладов наблюдений в градиент критериальной функции серийно не коррелирует (равенство (3.5)), информационная матрица может быть также вычислена по формуле