ARCH процессы. Определение, модели, приложения

ГЛАВА 1. ARCH ПРОЦЕССЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ, МОДЕЛИ, ПРИЛОЖЕНИЯ.

1.1 ОСНОВНЫЕ  ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.

Если задано распределение вероятностей , условное по предопределенным к моменту t величинам , составляющим информационное множество , то одношаговым прогнозом значения на основе этой информации является условное математическое ожидание , ошибкой прогноза – условная дисперсия . Оба этих выражения в принципе допускают зависимость от . Если же условная дисперсия в действительности постоянна и не зависит от истории процесса, то такой процесс обладает свойством условной гомоскедастичности.

Рассмотрим  в качестве примера авторегрессию

где e - белый шум с дисперсией . Условное среднее равно , тогда как условная дисперсия равна и не зависит от истории процесса, который является поэтому условно гомоскедастичным. Являются таковыми и все процессы авторегрессии – скользящего среднего.

Известно, что вариабельность экономических  переменных широко изменяется во времени, соответственно, изменяется и точность эконометрических прогнозов. Гипотеза гомоскедастичности остатков, как правило, не выдерживает тестирования. Ниже изучаются процессы, обладающие свойством условной гетероскедастичности, т.е. такие, условная дисперсия которых нетривиально зависит от истории процесса и более точно характеризует степень присущей прогнозам неопределенности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть – скалярный стохастический процесс, – набор переменных, которым обусловлены математические ожидания:

,

где - экзогенные переменные. Процесс e является авторегрессионно условно гетероскедастичным (Autoregressive Conditionally Heteroskedastic, ARCH), если

(1.1.а) 

(1.1.б) 

и нетривиально зависит от ; аргумент функции далее будем опускать. Данное определение будет уточнено в последующих параграфах.

Лишь  немногие экономические переменные имеют постоянное условное среднее, равное нулю. Как правило, процесс соответствует возмущениям менее ограничительной модели какой-либо переменной :

(1.2) .

В этом случае условные дисперсии  и совпадают.

Стандартизованный процесс 

(1.3)

имеет неизменные во времени нулевое условное среднее и единичную условную дисперсию.

Приведенное определение охватывает чрезвычайно широкий класс процессов. Ниже рассматриваются некоторые возможные параметризации условной дисперсии.

Пусть, например, , a > 0. Тогда при a < 1 безусловная дисперсия равна нулю, при a > 1 бесконечна. Такие свойства безусловного распределения делают данную параметризацию непривлекательной, однако некоторые обобщения позволяют избежать подобных проблем.

GARCH

В формулировке, предложенной Энглом (Engle, 1982), условная дисперсия  описывается линейной функцией квадратов предшествующих реализаций ряда:

(1.4) .

Для того, чтобы эта величина оставалась положительной с вероятностью единица, требуется  .

Высокие по абсолютному значению реализации процесса в непосредственном прошлом  влекут увеличение условной дисперсии  в данный момент, и, следовательно, условной вероятности появления вновь  высокой по модулю реализации e . Напротив, относительно небольшие значения приводят к снижению этой вероятности. Таким образом, можно ожидать, что вслед за большими (по абсолютному значению) наблюдениями вновь последуют большие наблюдения, за малыми - малые. Выбросы имеют тенденцию следовать один за другим, формируя периоды экстремально высокой волатильности. История процесса, однако, не позволяет прогнозировать знак , поскольку ряд серийно не коррелирует. Серийная некоррелированность следует из требования (1.1.а), традиционно предъявляемого к возмущениям в эконометрической модели.

На  графике ARCH процесса могут быть обнаружены периоды спокойного движения переменной, характеризующиеся относительно низкой дисперсией, и турбулентные периоды, в течение которых дисперсия высока. В западной литературе такое поведение временного ряда получило название clustering volatility: образование “пучков”, концентрация волатильности. Термин “волатильность” (volatility - изменчивость, непостоянство, англ.) используется, как правило, для неформального обозначения степени вариабельности, разброса переменной. Формальной мерой волатильности служит дисперсия (или стандартное отклонение). Эффект clustering volatility отмечен для многих высокочастотных рядов, таких как изменение цен акций, валютных курсов, доходности спекулятивных активов. Наиболее цитируемым в данной связи является наблюдение Манделброта (Mandelbrot, 1963):

“...большие изменения имеют  тенденцию следовать за большими изменениями - любого знака, - и малые  изменения имеют тенденцию следовать  за малыми, ...”.

На рисунке 1 изображены темпы приростов  фондового индекса РТС. Имеются три ярко выраженных и продолжительных всплеска волатильности, которые чередуются с периодами относительно предсказуемого развития переменной; в целом РТС демонстрирует поведение, характерное для ARCH процесса.

Память ARCH(q) процесса ограничена q периодами. При использовании модели часто требуется длинный лаг q и большое число параметров a . Обобщенный ARCH процесс (Generalized ARCH, GARCH), предложенный Т. Боллерслевом (Bollerslev, 1986), имеет бесконечную память и допускает более экономную параметризацию:

(1.5) .

ARCH процесс, очевидно, является частным случаем (1.5). Помимо (1.5), часто используются следующие представления процесса:

• При помощи оператора сдвига L и многочленов

:

(1.6) .

• В виде процесса авторегрессии – скользящего среднего. Перегруппировав члены (1.6), приходим к уравнениям

 

 

(1.7) ,

,

которые говорят о том, что квадраты ошибок подчиняются ARMA модели с полиномом авторегрессии a ( x) + b (x) степени pÙ q, полиномом скользящего среднего -b (x) степени p и серийно некоррелированными инновациями . Для ARCH процесса (при p=0) представление (1.7) сводится к авторегрессии порядка q:

. 

 

• В виде распределенного лага значений

.

(1.8) .

Такое представление допустимо, если все корни 1-b (x) лежат вне единичного круга и не совпадают с корнями a (x). Полином бесконечной степени, участвующий в (1.8), соответствует разложению в ряд Тейлора a (x)/(1-b (x)). GARCH процесс является корректно определенным, лишь если все коэффициенты d данного разложения неотрицательны, что для GARCH(1,1) равносильно условию .

EGARCH

Простая структура GARCH модели существенно ограничивает динамику временного ряда. Как правило, указывается на три недостатка моделей данного типа.

I. Отмечено, что отдача вложений в акции имеет отрицательную корреляцию с изменениями волатильности. Благодаря предложенному экономическому объяснению феномен получил название “левередж-эффекта” (leverage effect). Снижение рыночной стоимости акционерного капитала увеличивает отношение заемных средств к собственным и, следовательно, повышает рискованность вложений в фирму. Последнее проявляется увеличением волатильности. В результате, будущие значения волатильности отрицательно коррелируют с текущей отдачей. Nelson (1991) описывает феномен таким образом:

‘‘Отрицательные инновации, или “плохие  новости” – ситуация, в которой  фактическая отдача ниже ожидаемой  – приводят к увеличению волатильности. Напротив, положительные инновации (“хорошие новости” – фактическая отдача выше ожидаемой) влекут снижение волатильности.’’

Речь идет, таким образом, об отрицательной  корреляции между  и . Корреляция между этими величинами, однако, игнорируется GARCH моделью. Действительно, есть функция собственных лагов и значений и поэтому инвариантна к изменениям алгебраического знака : лишь абсолютные значения, но не отрицательность или положительность ошибок определяют условную дисперсию. Если распределение e симметрично, то будущее значение условной дисперсии не коррелирует с текущей ошибкой прогноза.

II. Применительно к процессам типа GARCH различные определения стационарности не согласованы. Строго стационарный GARCH процесс не всегда слабо стационарен. Различие между строгой и слабой стационарностью несущественно для линейных моделей: традиционно проверяемый набор условий является необходимым и достаточным как для ковариантной, так и строгой стационарности. Некоторые утверждения, устанавливающие ту или иную форму стационарности GARCH и EGARCH процессов, обсуждаются далее в параграфе 3.

III. Наконец, ограничения области допустимых значений параметров a и b создают трудности при оценивании GARCH модели.

В экспоненциальной модели (exponential GARCH, EGARCH), предложенной Д.Нельсоном (Nelson, 1991), логарифм условной дисперсии определяется с помощью некоторой функции g(× ) стандартизованных ошибок:

(1.9)

Описанные выше эффекты учтены через данную функцию, которая зависит как  от абсолютной величины, так и знака z:

(1.10) .

Процесс имеет нулевое условное математическое ожидание, поэтому логарифм условной дисперсии является процессом линейной фильтрации. Соотношением (1.9) представлен как скользящее среднее бесконечной степени, однако для практических целей применяется ARMA(p,q) репрезентация:

(1.11) .

Запись (1.11) корректна, если полиномы 1+a (x) и 1-b (x) не имеют общих корней. Никаких ограничений на параметры, связанных с требованием неотрицательности условной дисперсии, в (1.9)-(1.11) не налагается.

Оба слагаемых  имеют нулевое среднее; если распределение z симметрично, они ортогональны. В интервале g(z) линейна по z с коэффициентом наклона q + g ; в интервале g(z) линейна по z с коэффициентом наклона q - g . Таким образом, условная дисперсия реагирует асимметрично на неожиданные падения и подъемы рынка.

Член  представляет “эффект абсолютного значения” в духе GARCH моделей. Предположим, . Тогда инновация логарифма условной дисперсии g(z) положительна (отрицательна), если абсолютное значение z больше (меньше) ожидаемого. Член q z ответственен за “эффект алгебраического знака”. Предположим, . Инновация условной дисперсии положительна (отрицательна), если ошибка прогноза доходности отрицательна (положительна).

Если  распределение z симметрично, то равно нулю и

.

Левередж-эффект имеет место, если q < 0. Гипотеза об отрицательной ковариации между и находит эмпирическое подтверждение в работах Nelson (1991) и Bollerslev, Engle и Nelson (1993), отдельные результаты которых более подробно обсуждаются в следующих разделах.

ДРУГИЕ ОДНОМЕРНЫЕ ПАРАМЕТРИЗАЦИИ.

Одним из представлений условной дисперсии GARCH процесса служит распределенный лаг квадратов остатков. Бесчисленные модификации базовой модели были получены применением различных функциональных форм для h(× ) в рамках более общего представления:

.

Так, Higgins и Bera (1992) определяют класс  нелинейных ARCH процессов (Non-linear ARCH), для которых .

Если  , то условная дисперсия асимметрично реагирует на ошибки разных знаков; в частности, при k >0 возникает левередж-эффект, однако в отличие от EGARCH спецификации, инновации всегда неотрицательны. Возможная модификация, соответствующая n=2: . Другая параметризация, допускающая эффекты асимметрии:

(1.12) ,

где I(× ) обозначает индикаторную функцию. Такая параметризация допускает неодинаковую чувствительность условной дисперсии к ошибкам разных знаков, однако утверждает, что минимум волатильности достигается при отсутствии ошибок.

Bollerslev, Engle и Nelson (1993) отмечают два  недостатка параметризации EGARCH (1.9)-(1.10). I. Условные по вариация и ковариация и постоянны. Желательно, чтобы оба момента могли изменяться в зависимости от . II. Условная дисперсия излишне чувствительна к выбросам. Авторы предлагают модификацию базовой модели

Параметры и отвечают первому требованию, , и r регулируют уровень чувствительности условной дисперсии к инновациям в зависимости от их абсолютного значения. Положительные и приписывают хвостовым реализации относительно небольшой вес.

ARCH-M

Зависимость между ожидаемой отдачей и  риском - центральный аспект финансовой теории. Традиционная модель ценообразования  для капитальных активов (Capital Asset Pricing Model) и ее динамическая модификация Р. Мертона, арбитражная теория ценообразования С. Росса указывают на пропорциональную зависимость между ожидаемой избыточной отдачей рыночного портфеля и его условной дисперсией. ARCH-M, или ARCH in Mean модель является естественным инструментом для изучения этой проблемы в динамическом контексте, когда отдача и условная дисперсия развиваются во времени.

Модель  типа ARCH-M предполагает явную функциональную зависимость условного среднего случайной величины от собственной условной дисперсии. Отвлекаясь от прочих регрессоров, возможно, участвующих в уравнении для условного среднего, можно записать

(1.13) .

Как правило, используется линейная от , , или форма функциональной зависимости, например , которая допускает следующую интерпретацию. Ожидаемая отдача рыночного портфеля распадается на две компоненты: безрисковый доход t и премию за риск . Экономические агенты ожидают увеличения доходности в связи с нарастанием неопределенности, коэффициент чувствительности ожидаемой доходности к изменениям условного стандартного отклонения связан с мерой относительного неприятия риска (relative risk aversion) и предполагается положительным.

Феномен положительной связи между условным средним и условной дисперсией может быть проиллюстрирован наблюдениями за доходностью ГКО в период январь 97 – август 98. Очевидно синхронное развитие условных моментов: наименьший уровень доходности зафиксирован в интервале июнь - сентябрь 97 года, этот же период характеризуется наименьшей турбулентностью, после чего увеличение доходности сопровождается видимым ростом волатильности.

Многочисленные  примеры применения ARCH-M модели к отдаче вложений в различные фондовые индексы приводят к неоднозначным результатам. French, Schwert и Stambaugh (1987) для ежедневного индекса S&P, Chou (1988) для еженедельного NYSE, другие авторы для индексов США и Великобритании обнаружили положительную зависимость между отдачей и риском: полученные в этих работах оценки коэффициентов неприятия риска положительны и значимо отличаются от нуля. Напротив, Glosten, Jagannathan и Runkle (1991), Nelson (1991), Bollerslev, Engle и Nelson (1993) указывают на отсутствие такой зависимости, причем оцененный коэффициент неприятия риска в работе Nelson (1991) оказался отрицательным. Кроме того, некоторые регрессоры, например, лаги зависимой переменной, остаются значимыми в присутствии ARCH-M эффекта, величина и даже знак которого чувствительны к выбору инструментов, включаемых в уравнение среднего или дисперсии.