Формирование навыков письменного деления в разных системах обучения

 

 

 

 

 

 

 

На основании представленных рассуждений можно выяснить, какие  значения будет принимать число  в старшем разряде произведения:

Аналогично исследуется  второй случай:

 

 

 

Теперь необходимо подобрать  в старшем разряде такое число, которое при умножении на 4 приведет к его переполнению. А значит, это могут быть числа от 3 до 9:

 

 

 

 

Однако, учитывая описанные выше рассуждения, становятся очевидными, что и число 2 тоже можно взять в старшем разряде, но при условии, что из предыдущего разряда перейдет не меньше двух единиц, ведь 4*2= 8, до переполнения разряда недостает 2 единиц, которые могут прийти из предыдущего разряда, а это может быть при любом числе от 5 до 9 в предыдущем разряде.

 

 

 

 

 

Таким образом, задание выглядит так:

Числа от 3 до 9, без  сомнения, подходят, а число 2 обводим  пунктиром (так называемая «слабая» позиция звуков в русском языке), желая показать, что его можно взять только с учетом предыдущей цифры. Обсуждение того, какие цифры подходят, а какие нет, организуется учителем сначала во фронтальной форме, затем в групповой и лишь потом в индивидуальной под «девизом»: «Проверь себя». Это означает, что нужно ответить самому себе: «Могу ли я самостоятельно определять, какие числа подходят для каждого разряда, а какие нет».

Исследования, аналогичные  предыдущим, показывают, что при  заданных «подсказках» в произведении (в первом случае «подсказкой» служит число 5, а во втором - число 27) и известном множители (4), в старшем разряде первого множителя мы получаем всегда одно-единственное число (в первом случае это число 1, а во втором число – 6.)

1) 1* 4 ⁼ 4, а нам нужно число 5, значит, из предыдущего разряда должна перейти 1 единица. Значит, в нем наверняка может быть число 3 или 4, так как 3 * 4 = 12, и 4*4 = 16.

Число 2 в «слабой» позиции и обведено пунктиром, так  как 2 * 4 < 10, но из предыдущего разряда можно прислать 2 или более единиц, которые переполнят разряд.

 

 

 

Итак, все эти  исследования, которые дети делают с огромным удовольствием, распределяя задания между группами (число групп будет расти), показывают, что если в произведении известно число в старшем разряде первого множителя определяется однозначно.

2) теперь рассмотрим второй случай, когда произведение получено при переполнении старшего разряда. Очевидно, что теперь в произведении должно быть задано двузначное число, которое так же единственным образом позволит определить цифру старшего разряда в первом множители.

 

 

 

 

 

 

 

 

Здесь учитель предлагает детям «ловушки» - софизмы (уловка, выдумка, головоломка, умышленно ложное умозаключение  с замаскированной ошибкой):

 

Таким образом, в  первом случае числа 5, 1 и 4 связаны между  собой так: если известны 5 и 4, то однозначно можно найти число 1, если заданы 5 и 1, то можно найти 4 и далее, а во втором случае имеем дело с числами 27, 4 и 6. Фактически, подбирая по двум числам - «подсказкам» третье, ребенок выполняет деление, то есть осуществляет подбор цифры в частном. Подбор этот осуществляется умножением, а не делением, аналогично тому, как вводилось вычитание с переходом через разряд, когда ребенку легче находить разность через дополнение (т. е. сложение) вычитаемого до уменьшаемого, чем использовать приемы вычитания.

Анализируя то, где и какую цифру можно  брать, а какую нельзя, и доказывая правильность выбора, дети многократно обращаются к таблице умножения на 4), запоминая ее не произвольно. [2, с.126]

Теперь дети могут  при  выполнении деления руководствоваться  следующим алгоритмом:

1. Выделение первого неполного делимого (дужкой           )  - о его 
   формировании пойдет речь дальше;
2. Определение количество цифр в частном (традиционным способом);
3. выделение «подсказки» в неполном делимом и делителе (        ) - в 
   неполном делимом она будет однозначной, если цифр в неполном делимом и делителе (хоть в первом, хоть в последующих) одинаково, или двузначной, если в неполном делимом на одну цифру больше, чем в делителе. «Подсказка»: в делителе всегда однозначное число в старшем разряде.
4. с помощью умножения (а не деления!) дети подбирают цифру в частном. Все пробы дети могут производить устно, так как после описанных заданий на подбор цифр при умножении многозначного на однозначное у них формируется умение видеть и учитывать «переносы» из предыдущего разряда.

Рассмотрим алгоритмы  на конкретном примере в той его  части, когда нужно подбирать цифру в частном.

 

 

 

Э. И Александрова напоминает, что для определения  первой цифры (и последующих) в частном  не нужно 9 делить на 3, а нужно подобрать  в частном такое число при  умножении на 3 даст 9. Это число 3. Устно ребенку легко определить, что число3 в частном не подходит: 3*3 действительно равно 9, однако в  предыдущем разряде 4*3 =1 2, значит, к 9 добавится  по крайне мере единица из предыдущего  разряда, а нужно только 9. Значит, в частном первая цифра будет не 3, а 2, что легко проверить, не умножая весь делитель, а только старший разряд и предыдущий.

Еще один пример:

 

 

 

«Подсказкой»  для подбора цифры в частном  служат числа 37 и 5. в таблице умножения 5 нет произведения, равного 37. Кстати, задания такого типа предлагались при изучении таблиц умножении, несмотря на то, что ребенок мог не помнить, чему равно то или иное произведение, но уже умел определять, есть то или иное число в указанной таблице умножения или его нет. Очевидно, что если 5 умножить на 7, то получится 35, значит, ребенок будет пробовать число 7 в качестве первой цифры частного. Однако число 7 не подходит, так как из предыдущего разряда придет по крайней мере 5 единиц, ведь 7 * 8 = 56, значит, 35 + 5 > 37.

(Обратите внимании!  Складывать 35 и 5 не нужно,   нужно только сделать прикидку.)

 

Итак, число 7 не подходит, а значит, нужно устно  проверить число 6:

 

 

 

Понятно, что  из предыдущего разряда в данном случае придут 4 единицы ( при других цифрах во 2-м и 1-м разрядах может перейти в старший разряд и 5 единиц), которые не переполняют число 37. даже если вместо цифры 8 в дели теле была бы цифра 9, то 5 * 6 = 30 и 9 * 6 = 54 дало бы 35 вместо 37.

Описанный способ подбора цифр в частном, опирающийся  не на округление, а на «подсказку» и учет переполнения данного разряда за счет предыдущего, позволил значительно сократить время подбора и проверки выбранной цифры. Все необходимые вычисления можно выполнять устно. Нет необходимости письменно выполнять утомительные для многих детей вычисления. Это значит, что ребенок не теряет интереса, находясь а исследовательской позиции. Ведь теперь скорость правильность выполнения деления многозначных чисел, то есть навык зависят от скорости выполнения описанных выше заданий на умножение, причем запоминание и закрепление таблицы умножения происходит естественно. Если же ребенок ее частично и зазубривает, то сознательно и с удовольствием, так как сама форма заданий вызывают у него большой интерес.

Подводя итог, автор  говорит о том, что предложенный способ подбора цифры в частном требуют знаний таблицы деления в том традиционном виде, который доставляет ребенку немало трудностей: нет необходимости ему запоминать, чему равно 56 : 8 или 35:7, поскольку он будет искать такое число, которое при умножении на 8 дает ему число 56. «но как он и ищет результат деления 56 на 8!» скажете вы. «Вот именно, отвечу я, • деления». Да, внешне все выглядит именно так. Но специальная проверка показала, что ничего подобного. В том-то и дело! Ему не нужно говорить о делении, он говорит только об умножении. Любой «средний» ребенок попытается запомнить ответы в таблицы деления. Традиционно таблицу умножения он зубрит раньше, чем изучает таблицу деления, и она (таблица умножения) у него вся представлена в созвучиях, причем, если он заучил, что пятью восемь сорок», то спросите его, сколько будет 5 умножить на 8, а не «пятью восемь», и он непременно задумается, не говоря уже о «восемью пять» или «8 умножить на 5». А с табличным делением дела обстоят значительно хуже, что подтверждают многочисленные исследования.

Описанный выше способ позволяет значительно упростить  для ребенка процедуру подбора цифры в частном. Он был опробован на протяжении последних лет (начиная с 1990 года) не только в РО, но и в традиционных. Таким образом, переход к обучению деления многозначных чисел целесообразен лишь тогда, когда ребенок быстро и самостоятельно способен выполнять два типа заданий на умножения описанных ранее.

Следующий, не менее  важной проблемой при обучении деления многозначных чисел является пропуск детьми нулей в частном, а эта ошибка связана с поиском неполного делимого. [2, c.129]

Нули в частном  ребенок должен получить тогда, когда  неполное делимое (кроме первого) оказывается меньше делителя:

Например:

 

 

 

Как может рассуждать ребенок, пропускающий нули в частном?

Ищем первое неполное делимое: три на 5 не делится так, чтобы в частном получились тысячи, значит, возьмем 35. Итак, первое неполное 35, теперь начнем выполнять деление.

Слова «не делится» оказываются  ключевыми, и у детей закрепляется способ: не делится, значит, переходим  к двузначному неполному делимому, ничего не записывая в частном.

Далее 3 на 5 тоже не делится, значит, снесем следующую  цифру и получим следующее неполное делимое 35, которое и разделим на 5. в ответе 77, а не 707. Ребенка, как правило, ничуть не смущает то, что в частном у него должно было, получится 3 цифры. Автор задает вопрос: «Почему, несмотря на то, что детей учат определять количество цифр в частном (а этому все, как правило, научаются), одной типичных ошибок остается та, о которой мы только что упомянули?» и тут же дает ответ на него:

Первую  причину: способ нахождения первого неполного делимого служит для ребенка основой пи нахождении последующих неполных делимым. Это естественно, ведь ему предлагают первое неполное делимое находить одним способом, а при нахождении последующих неполных делимых должен появляться другой способ в той же ситуации, когда делимое оказывается меньше делителя. Именно здесь возникает противоречие: ребенок должен в одном случае. произносить слова «не делится», например«3 на 5 не делится...», и переходить к следующему делителю без отметки в частном, в другом случае почему-то в частное писать 0, который как раз и есть результат деления с остатком: 3:5 = 0 (ост. 3).

Вторая  причина кроется, в поиске количества цифр в частном. Операция, которой дети без труда овладевают, сама по себе проста. Ее предлагают ребенку для того чтобы но мог себя контролировать: определил, что частное должно быть четырехзначным, а разделив, получил трехзначное, значит, мог пропустить нуль в частном. Если же частное оказалось пятизначным, значит, мог получить остаток, больший делителя, который разделил вторично и получил лишнюю цифру. Пока учитель требует определить количество цифр в частном - дети определяют. Как только перестает требовать, так дети перестают это делать, что дополнительно влечет за собой вышеупомянутые ошибки. Представляется, что это связано с тем, что до обучения действию деления ему никогда не нужно было определять количество цифр в результате, здесь же ни с того ни с сего это нужно делать, да еще ко всему само действие нужно начинать не с младшего разряда, как это было до тех пор, а почему-то со старшего.

Все это нарушает ту логику, которая была жестко определена, когда ребенка учили находить сумму, разность и произведение многозначных чисел, при выполнении которых не нужно определять, сколько цифр будет в результате действия, а само действие нужно было выполнять только начиная с младшего разряда.

Первое противоречие разрешается  так.

Наряду со случаями типа 13 : 5 = 2 (ост. 3) рассматриваются такие, как 4:5 = 0 (ост. 4) - в таблице умножения 5 нет произведения, равного 4, но есть меньшее, оно равно 0, так как5*0 = 0.

Тогда на первом этапе обучения деления может выглядеть так:

 

 

Рассуждая таким  образом, дети приходят к выводу, что  нули в начале записи числа не имеют значение в отличии от последующих, и тогда становится понятным смысл того, что такое первое неполное делимое. Нули, которые появляются в середине или в конце, нельзя не писать. Часть детей быстро отказываются писать нули перед частным, упрощая свою запись, другая часть детей достаточно долго их «тянет», но у тех и других практически отсутствуют ошибки на пропуск нулей в частном, при условии, что родители, которые учили по-другому, не вмешиваются в обучение своего ребенка.

Второе противоречие снимается  за счет общего подхода к выполнению любого арифметического действия над  многозначными числами.

Можно сделать вывод, что  конструируя принципиально иной способ обучения делению многозначных чисел,  Э. И Александрова пытается не только избежать традиционных ошибок, но и значительно облегчить для ребенка этот трудоемкий процесс, сокращая время на процедуру деление, делая его для ребенка интересным. [2, с.132]

Формирование  навыков письменного деления  в системе «Школа 21 века» под редакцией Н. Ф. Виноградовой.

Данный способ формирования навыков письменного  деления иной. Он имеет свои отличия. Автор В. Н Рудницкая предлагает сформировать навыки письменного деления  по средствам проб, которые дети совершают при нахождении однозначного частного. Рассмотрим более подробно способ, который предлагает автор.

Каждое действие - сложение, вычитание и умножение чисел столбиком - выполняются по вполне определенным правилам, которые при соответствующей тренировке хорошо усваиваются всеми учащимися. Иначе обстоит дело с письменным алгоритмом деления. Один из весьма распространенных в практике обучения младших школьников способов - прикидка - мало помогают ребенку.

В курсе математики, данных авторов, принят иной, по сравнению  с действующей методикой, порядок обучения делению. Они исходили из известного принципа разделения трудностей. Вначале по вполне определенному правилу надо научить ребенка подбирать частное, изображаемое только одной цифрой, то есть рассматривать только те случаи деления, когда частное является однозначным независимо от того, делим ли мы двузначное число на двузначное или трехзначное на двузначное, трехзначное на трехзначное число.