Моделирование и оптимизация свойств материалов и процессов

 

Проверка модели на адекватность(относительное удлинение).

Таблица 4 - Данные гистограммы

Карман	Частота	Интегральный %
-14,123	1	7,14%
630,5190833	8	64,29%
1275,161167	1	71,43%
1919,80325	1	78,57%
2564,445333	1	85,71%
3209,087417	1	92,86%
3853,7295	1	100,00%
Еще	0	100,00%

 

Рисунок 4 - Гистограмма

 

3. Постановка задачи оптимизации

 

Общая постановка задачи состоит в следующем.

Задано: множествоX и функцияf(x), определённая на Х.

Требуется: найти точки минимума или максимума функцииf наX.

Будем записывать задачу на минимум в виде

f(x) →min, х ∈ X.     (1)

Задача сформулирована как задача нахождения минимума функции f(x), или минимизацииf(x). На практике же приходится сталкиваться какс задачами минимизации, так и с задачами максимизации f(x), т.е. нахождения точек максимума f(x):

f(x) →max, х ∈ Х.

С математической точки зрения различия между задачами минимизации и максимизации не существенны, поскольку максимизация f(x) эквивалентна минимизации функции −f(x). Поэтому всегда можно ставить задачуоптимизации как задачу минимизации.

Функция f(x) в выражении (1), т.е. функция, которую мы минимизируем, называется целевой. Множество Х в формуле (1), на котором мы минимизируем f(x), называется допустимым множеством задачи, а любой эле-мент х ∈ Х − допустимой точкой задачи. Допустимая точка х*∈Х, в которойцелевая функция f(x) достигает своего минимума, называется решением задачи.

Следует иметь в виду, что на практике допустимая точка х можетпредставлять собой некоторый набор параметров х= (х1, ..., хn). Причём значения этих параметров могут подчиняться ограничениям или изменяться безограничений. Если, например, хi выражает количество производимого продукта i-го вида(сплав соответствующей марки и пр.) для каждого i = 1, ..., n, то при этом будет существовать  ограничение на производственную мощность(например, 0 ≤ хi ≤ аi, i = 1, ..., n) и ограничение на количество товара, которое может поглотить рынок(например, α1х1 + α2х2+ … + αnхn ≤ b, где αi– рыночная цена i-го товара; b – общая денежная масса).

Необходимо подчеркнуть, что само понятие точки минимума(решения задачи неоднозначно и требует уточнения.

Точка х* ∈ Х называется точкой глобального минимума функции f(x)

на множестве Х или глобальным решением задачи, если

f(x*) ≤ f(x) при всех х  ∈ Х.    (2)

Точка х* ∈ Х называется точкой локального минимума f на Х или локальным решением задачи, если существует такое подмножество Uδ

(х*) = {x⏐x∈ X, || x − x*|| ≤ δ}, что

f(x*) ≤ f(x) при всех x∈Uδ(x*).    (3)

Здесь и далее

 

Очевидно, что глобальное решение является и локальным, обратноеневерно.

Для отражения того факта, что точка x*∈ X является точкой глобального минимума функции f на X, будем использовать запись

 

Если неравенство в (2) или (3) выполняется как строгое при x≠x*,т.е. f(x) < f(x*), x ∈ X(или x ∈ Uδ(x*)), то говорят, что x* – точка строгого минимума(строгое решение).

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Большинство реальных технологических процессов относятся к классу сложных систем, для которых характерны многомерность, не стационарность, стохастичность, нелинейность, наличие многочисленных прямых и обратных связей. Все это уменьшает шансы получить достаточно надежную модель и поэтому особое значение приобретает современная методология построения математических моделей сложных систем. Такой методологией является методология системного анализа.

В результате математического моделирования были получены результаты:

определили зависимость механических свойств латуни ЛН65-5 от степени деформации;

спрогнозировали относительное удлинение и предел прочности при деформации.

При анализе полученных результатов не было выявлено противоречий с физикой процесса.

Полученные данные можно в дальнейшем использовать для оптимизации существующей математическоймодели.  
СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Вержбицкий, В. М. Основы  численных методов / В. М. Вержбицкий.

− М.: Высш. шк., 2002.

2. Моделирование  процессов  и  объектов  в  металлургии:  конспект лекций / Б. М. Горенский, А. Ш. Любанова, С. В. Капустина [и др.]. –  Красноярск: ИПК  СФУ, 2008. – (Моделирование  процессов и объектов в металлургии: УМКД № 214-2007 / рук.творч. коллектива  А. Ш. Любанова).

3. Моделирование процессов  и объектов в металлургии: лаб. практикум / Б. М. Горенский, Л. А. Лапина, А. Ш. Любанова, Р. А. Шигапов. – Красноярск: ИПК   СФУ, 2008. – (Моделирование  процессов и объектов в металлургии: УМКД № 214-2007 / рук.творч. коллектива  А. Ш. Любанова).

4. Банди, Б. Методы оптимизации. Вводный курс: учеб.пособие / Б. Банди. – М.: Радио и связь, 1988.

5. Любанова, А. Ш. Методы оптимизации: учеб.пособие / А. Ш. Любанова; ГАЦМиЗ. –  Красноярск, 2002.

6. Новые информационные  технологии в управлении металлургическими  процессами: лаб. практикум / Б. М. Горенский, Г. Б. Даныкина, О. В. Кирякова; ГУЦМиЗ. –  Красноярск, 2006.

7. Новиков, Ф. А. Дискретная  математика для программистов: учеб.пособие / Ф. А. Новиков. – СПб.: Питер, 2000.

8. Пантелеев,  А.  В.  Методы  оптимизации  в  примерах  и  задачах  / А. В. Пантелеев, Т. А. Летова. – М. :Высш. шк., 2002.

9. СТО 4.2-07-2008. Система менеджмента  качества. Общие требования к  построению, изложению и оформлению  документов учебной и научной  деятельности / разраб. Т. В. Сильченко, Л.В. Белошапко,  В. К. Младенцева, М. И. Губанова. – Введ. впервые 09.12.2008. –  Красноярск : ИПК СФУ, 2008.

10. Советов, Б. Я. Моделирование систем: учеб.пособие / Б. Я. Советов, С. А. Яковлев. – М.: Высш. шк., 1998.

11. Реклейтис, Г. Оптимизация в технике: в 2 кн.: учеб. / Г. Реклейтис, А. Рейвиндран, К. Рэгсдел. – М.: Мир, 1986.

12. Цымбал, В. П. Математическое моделирование металлургических процессов: учеб.пособие / В. П. Цымбал. – М. : Металлургия, 1986.

13. Моделирование  процессов  и  объектов  в  металлургии:  Методические указания  по выполнению  курсовой работы / Б. М. Горенский, А. Ш. Любанова, С. В. Капустина [и др.]. –  Красноярск: ИПК  СФУ, 2008. – (Моделирование  процессов и объектов в металлургии: УМКД № 214-2007 / рук.творч. коллектива  А. Ш. Любанова).