Моделирование и оптимизация свойств материалов и процессов

В зависимости от степени абстрагирования при описании физических свойств технической системы различают три основных иерархических уровня: верхний или метауровень: средний или макроуровень; нижний или микроуровень.

Метауровень соответствует начальным технический поиск и прогнозирование, разработка концепции и технического решения, разработка технического предложения. Для построения математических моделей метауровня используют методы морфологического синтеза, теории графов, математической логики, теории автоматического управления, теории массового обслуживания, теории конечных автоматов.

На макроуровне объект проектирования рассматривают как динамическую систему с сосредоточенными параметрами. Математические модели макроуровня представляют собой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти модели используют при определении параметров технического объекта и его функциональных элементов.

На микроуровне объект представляется как сплошная среда с распределенными параметрами. Для описания процессов функционирования таких объектов используют дифференциальные уравнения в частных производных. На микроуровне проектируют неделимые по функциональному признаку элементы технической системы, называемые базовыми элементами. Примерами таких элементов являются рамы, панели, корпусные детали, валы, диски фрикционных механизмов и др. Проектирование их основано на анализе сложно-напряженного состояния. При этом, естественно, базовый элемент рассматривается как система, состоящая из множества однотипных функциональных элементов одной и той же физической природы, взаимодействующих между собой и находящихся под воздействием внешней среды и других элементов технического объекта, также являющихся внешней средой по отношению к базовому элементу.

На всех рассмотренных иерархических уровнях используют следующие виды математических моделей: детерминированные и вероятностные, теоретические и экспериментальные факторные, линейные и нелинейные, динамические и статические, непрерывные и дискретные, функциональные и структурные.

По форме представления математических моделей различают инвариантную, алгоритмическую, аналитическую и графическую модели объекта проектирования,

В инвариантной форме математическая модель представляется системой уравнений (дифференциальных, алгебраических), вне связи с методом решения этих уравнений.

В алгоритмической форме соотношения модели связаны с выбранным численным методом решения и записаны в виде алгоритма - последовательности вычислений.

Аналитическая модель представляет собой явные зависимости искомых переменных от заданных величин (обычно зависимости выходных параметров объекта от внутренних и внешних параметров). Такие модели получают на I основе физических законов, либо в результате прямого интегрирования исходных дифференциальных уравнений, используя табличные интегралы. К ним относятся также регрессионные модели, получаемые на основе результатов эксперимента.

Графическая (схемная) модель представляется в виде графов, эквивалентных схем, динамических моделей, диаграмм и т. п. Для использования графических моделей должно существовать правило однозначного соответствия условных изображений элементов графической и компонентов инвариантной математических моделей.

Среди алгоритмических моделей выделяют имитационные модели, предназначенные для имитации физических и информационных процессов, протекающих в объекте при функционировании его под воздействием различных факторов внешней среды.

Деление математических моделей на функциональные и структурные определяется характером отображаемых свойств технического объекта.

Структурные модели отображают только структуру объектов и используются при решении задач структурного синтеза. Параметрами структурных моделей являются признаки функциональных или конструктивных элементов, из которых состоит технический объект и по которым один вариант структуры объекта отличается от другого. Эти параметры называют морфологическими переменными. Структурные модели имеют форму таблиц, матриц и графов. Наиболее перспективно применение древовидных графов типа И-ИЛИ-дерева. Они позволяют аккумулировать накопленный опыт, используя описания всех существующих аналогов, известных из патентной литературы, и гипотетических объектов. Такие модели наиболее широко используют на метауровне при выборе технического решения.

Функциональные модели описывают процессы функционирования технических объектов и имеют форму систем уравнений. Они учитывают структурные и функциональные свойства объекта и позволяют решать задачи как параметрического, так и структурного синтеза. Их широко используют на всех иерархических уровнях, стадиях и этапах, при функциональном, конструкторском и технологическом проектировании. На метауровне функциональные модели позволяют решать задачи прогнозирования, на макроуровне - выбора структуры и оптимизации внутренних параметров технического объекта, на макроуровне - оптимизации параметров базовых элементов и несущих конструкций.

По способам получения функциональные математические модели делятся на теоретические и экспериментальные.

Теоретические модели получают на основе описания физических процессов функционирования объекта, а экспериментальные - на основе изучения поведения объекта во внешней среде, рассматривая его как кибернетический "черный ящик". Эксперименты при этом могут быть физические (на техническом объекте или его физической модели) или вычислительные (на теоретической математической модели).

При построении теоретических моделей используют физический и формальный подходы.

Физический подход сводится к непосредственному применению физических законов для описания объектов, например, законов Ньютона. Гука. Кирхгофа. Фурье и др.

Формальный подход использует общие математические принципы и применяется при построении как теоретических, гак и экспериментальных моделей.

Построение теоретических формальных моделей основано на вариационном принципе Гамильтона-Остроградского. Для динамических систем с сосредоточенными параметрами вариационный принцип приводит к уравнениям Лагранжа второго рода.

Экспериментальные модели - формальные. Они не учитывают всего комплекса физических свойств элементов исследуемой технической системы, а лишь устанавливают обнаруживаемую в процессе эксперимента связь между отдельными параметрами системы, которые удается варьировать и (или) осуществлять их измерение. Варьируемые параметры при этом называют факторами. Такие модели дают адекватное описание исследуемых процессов лишь в ограниченной области факторного пространства, в которой осуществлялось варьирование факторов в эксперименте. Поэтому экспериментальные математические модели носят частный характер, в то время как физические законы отражают общие закономерности явлений и процессов, протекающих как во всей технической системе, так и в каждом ее элементе в отдельности.

Следовательно, экспериментальные факторные модели не могут быть приняты в качестве физических законов. Вместе с тем методы, применяемые для построения этих моделей (метод статистических испытаний, регрессионный анализ, корреляционный анализ, планирование эксперимента и др.) широко используются при проверке научных гипотез.

Функциональные математические модели могут быть линейные и нелинейные.

Линейные модели содержат только линейные функции фазовых переменных и их производных. Характеристики многих элементов реальных технических объектов нелинейные. Математические модели таких объектов включают нелинейные функции фазовых переменных и (или) их производных и относятся к нелинейным.

С целью упрощения задач проектирования на высших иерархических уровнях используют простые линейные модели. Если описание технического объекта представлено системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, то, применяя преобразование Лапласа, ее можно привести к системе алгебраических уравнений с комплексными переменными, решение которой значительно проще, чем исходной системы дифференциальных уравнений. Такой подход используется для построения математических моделей на метауровне. В моделях макроуровня следует учитывать нелинейные свойства технического объекта.

 

 

1.3 Оптимизация параметров технических систем

 

Математические модели технических объектов позволяют осуществлять анализ процессов их функционирования, получать оценки выходных параметров различных предлагаемых вариантов технических решений и сравнивать их между собой. Но конечной целью проектирования является получение наилучшего технического решения из числа возможных альтернатив. Это достигается в процессе решения задачи синтеза, которая направлена на определение структуры и оптимальных параметров объекта.

Методология автоматизированного проектирования основана на системном подходе. Основные принципы этой методологии - декомпозиция, иерархичность, итеративность, локальная оптимизация и комплексное осуществление процесса проектирования.

При декомпозиции сложной технической системы выделяется несколько иерархических уровней, обусловленных различной степенью абстрагирования при описании ее и физических свойств. Система расчленяется на отдельные части-блоки, процесс проектирования подразделяется на стадии и этапы. Различают уровневую, блочную и этапную декомпозиции, сочетание которых приводит к иерархической структуре системы автоматизированного проектирования. Каждый компонент этой структуры воплощается в соответствующем маршруте проектирования, в котором реализуется принцип локальной оптимизации.

Сущность локальной оптимизации заключается в том, что на каждом уровне декомпозиции применяются свои критерии оптимальности и осуществляется оптимизация лишь некоторой части параметров технического объекта, относящихся к внутренним параметрам проектируемого блока. Критериями при этом являются выходные параметры блока, представляющие собой параметры элементов объекта. В свою очередь, внутренние параметры проектируемого блока - это выходные параметры его элементов, получаемых при дальнейшей декомпозиции блока.

В результате оказывается, что при проектировании любого элемента объекта используемые критерии получены как результат оптимизации параметров более крупного блока. По существу декомпозиция объекта приводит к декомпозиции критериев. Следовательно, критерии на всех уровнях декомпозиции объекта взаимосвязаны и подчинены конечной цели - достижению высоких показателей эффективности и качества функционирования технического объекта.

Проектирование элементов, выделяемых при декомпозиции объекта, основано на моделировании некоторого характерного режима их функционирования. Это может быть переходный процесс, статическое состояние (состояние покоя или равномерного движения), режим установившихся колебаний, стационарный случайный процесс и др. Система автоматизированного проектирования такого объекта содержит множество маршрутов, отличающихся между собой используемыми математическими моделями. Методы решения систем уравнений этих моделей и способы оценки выходных параметров объектов проектирования существенно различны.

Многообразие исследовательских и проектных задач привело к разработке множества методов оптимизации, обладающих различными свойствами и возможностями поиска экстремума целевой функции с учетом особенностей математических моделей объектов. Проектировщик должен хорошо знать особенности решаемой задачи и свойства существующих методов оптимизации, предвидеть характер изменения целевой функции, что позволит осуществить обоснованный выбор метода и повысить вероятность решения задачи с минимальными затратами. 
2 Математическое моделирование

 

Моделирование как метод исследования процессов (систем) включает в себя две составляющие – построение модели и использование ее для исследования свойств и поведения объекта. Одному и тому же объекту – оригиналу – в зависимости от целей моделирования может соответствовать большое число моделей, отражающих разные его стороны и поэтому имеющих разную структуру.

Построение математических моделей состоит из следующих основных этапов: формулировки целей моделирования; выделения объекта моделирования из среды; построения модели отдельных технологических блоков; переноса знаний с модели на объект.

Начальный этап моделирования состоит из определения границ объекта. Выделение объекта в пространстве представляет собой определение граничных емкостей технологического процесса, основных и вспомогательных рабочих агрегатов объекта, направления материальных и энергетических потоков.

При изучении объекта во времени выбирают временной интервал функционирования модели (для аппаратов периодического действия – длительность рабочего цикла; для непрерывных производств – межремонтный срок).

В пространстве координат поведение объекта тесно связано с целью

управления, так как из всей совокупности входных переменных, характеризующих протекание процессов, необходимо выбрать те величины, которые будут изменяться при решении задач исследования или управления.

Математическая модель процесса или объекта в общем виде представляется зависимостью

где =(Y1,Y2,…, Ym,) – вектор выходных переменных; =(U1,U2,…, Uk,) – вектор управляющих воздействий; =(X1,X2,…, Xn,)- вектор входных переменных; =(P1,P2,…, Pm,)- вектор внутренних параметров; - вектор-функция, зависящая от управляющих воздействий, входных воздействий и внутренних параметров.

Наиболее полное отображение процессов в реальных объектах дают системы алгебраических (статика процессов) и дифференциальных уравнений (динамика процессов), которые широко используются в математическом моделировании.