Системы счисления

7          7          5       0         2        0      4₈

А для перевода целого двоичного  числа в шестнадцатеричное, число  разбивают на группы по 4 цифры и  следуют тому же алгоритму, что и  свосьмеричной системой счисления.

Например:

 

1001      0000      1100     0111     0001₂

9            0            С            7          1₁₆

 

Например:

 

1111   1001  1101 000₂

F         9        D    0₁₆

 

Данное правило работает и наоборот, то есть любое целое  число можно перевести из восьмеричной в двоичную и из шестнадцатеричной в двоичную.

Например:

 

1	2	3	4	5	6	78
001	010	011	100	101	110	1112

 

А	B	C	D	E	F	1	2	3	4	5
1010	1011	1100	1101	1110	1111	0001	0010	0011	0100	0101

 

6	7	8	916
0110	0111	1000	10012

 

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ  СИСТЕМ СЧИСЛЕНИЯ В КОМПЬЮТЕРНОЙ  ТЕХНИКЕ И ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЯХ

 

2.1  История  возникновения двоичной системы  счисления

 

Двоичная система счисления, т.е. система с основанием , является «минимальной» системой, в которой полностью реализуется принцип позиционности в цифровой форме записи чисел. В двоичной системе счисления значение каждой цифры «по месту» при переходе от младшего разряда к старшему увеличивается вдвое.

История развития двоичной системы счисления – одна из ярких  страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г. В. Лейбница, опубликовавшего статью, в которой  были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными  числами. До начала тридцатых годов  XX  века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации. Первые двоичные механические вычислительные машины были построены во Франции и Германии. Утверждение двоичной арифметики в качестве общепринятой основы при конструировании ЭВМ с программным управлением состоялось под несомненным влиянием работы А. Бекса, Х. Гольдстайна и Дж. Фон Неймана о проекте первой ЭВМ с хранимой в памяти программой, написанной в 1946 году. В этой работе наиболее аргументированно обоснованы причины отказа от десятичной арифметики и перехода к двоичной системе счисления как основе машинной арифметики.

 

2.2  Основные  понятия машинной арифметики

 

В двоичной системе счисления  используются только два символа, что  хорошо согласуется с техническими характеристиками цифровых схем. Действительно  очень удобно представлять отдельные  составляющие информации с помощью  двух состояний:

• Отверстие есть или отсутствует (перфолента или перфокарта);
• Материал намагничен или размагничен (магнитные ленты, диски);
• Уровень сигнала большой или маленький.

Существуют специальные  термины, широко используемые в вычислительной технике: бит, байт и слово.

Битом называют один двоичный разряд. Крайний слева бит числа  называют старшим разрядом (он имеет наибольший вес), крайний справа – младшим разрядом (он имеет наименьший вес).

Восьмибитовая единица носит  название байта.

Многие типы ЭВМ и дискретных систем управления перерабатывают информацию порциями (словами) по 8, 16 или 32 бита (1, 2 и 4 байта). Двоичное слово, состоящее  из двух байт, показано на рис. 3.1.

Рис. 3.1  Бит, байт и слово

 

 

 

 

 

 

 

 

2.3  Взаимный  перевод двоичных и десятичных  чисел и элементарные двоичные  арифметические действия

Совершенно очевидно, что  двоичное число представляется последовательностью  нулей и единиц – разрядов. Как  и в любой позиционной системе, каждому разряду присвоен определенный вес – показатель степени основания  системы. Веса первых 10 позиций представлены в таблице 4.1.

 

Таблица 4.1  Веса первых десяти позиций двоичной системы счисления

Позиция	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
Вес	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1
Образование

 

В двоичной системе счисления  даже сравнительно небольшие числа  занимают много позиций.

Как и в десятичной системе, в двоичной системе счисления  для отделения дробной части  используется точка (двоичная точка). Каждая позиция слева от этой точки также имеет свой вес – вес разряда дробной части числа. Значение веса в этом случае равно основанию системы счисления (т.е. двойке), возведенному в отрицательную степень.

Получить десятичное число  из двоичного чрезвычайно просто. Согласно формуле 2.3 для двоичной системы счисления получаем:

                (4.1)

Пример 4.1 иллюстрирует процесс  получения десятичного числа  из двоичного.

 

Пример 4.1  Перевод двоичного числа в десятичное

 

 

Преобразование  десятичных чисел в двоичные

 

Перевод из двоичной системы  в десятичную несколько сложнее. Рассмотрим несколько алгоритмов.

 

А) Метод вычитания

 

Из десятичного числа  вычитаются наибольшая возможная степень  двойки, в соответствующий разряд двоичного числа записывается единица, если разность меньше следующей степени  двойки, то далее записывается нуль, а если больше записывается единица  и опять производится вычитание, и так до тех пор, пока исходное число не уменьшится до нуля. В примере 4.2 рассматривается перевод десятичного  числа  в двоичное.

Пример 4.2  Перевод десятичного числа в двоичное методом вычитания

   

 

Б) Метод деления

Другим методом является так называемый метод деления. Он применяется для преобразования целых чисел. Ниже приведен его алгоритм.

Разделим нацело десятичное число на двойку. Если есть остаток, запишем в младший разряд единицу, а если нет – нуль и снова  разделим результат от первого деления. Повторим процедуру так до тех  пор, пока окончательный результат  не обнулиться.

 

Пример 4.3  Перевод десятичного числа в двоичное методом деления

Пример 4.3  Перевод десятичного числа в двоичное методом деления

 

	2
148	–74	2
1	74	–37	2
	0	36	–18	2
		1	18	–9	2
			0	8	–4	2
				1	4	–2	2
					0	2	–1	2
						0	0	0
							1	¬	старший разряд
(10010101)2=(149)10				¬ ответ

 

 

 

 

В) Метод умножения

 

И, наконец, метод умножения. Метод применяется для преобразования десятичных дробей (чисел меньших  единицы).

Число умножается на 2, если результат ³ 1, то в старший разряд записывается единица, если нет, то нуль. Умножаем на 2 дробную часть результата и повторяем процедуру. И так далее до получения нужной степени точности или до обнуления результата.

 

Пример 4.4  Перевод десятичного числа в двоичное методом умножения

 

  

 

2.4 Арифметические  действия над двоичными числами

 

Арифметика двоичной системы  счисления основана на использовании  таблиц сложения, вычитания  и умножения. Эти таблицы чрезвычайно просты:

 

Таблица  сложения
0	+	0	=	0
0	+	1	=	1
1	+	0	=	1
1	+	1	=	10

Таблица  умножения
0	*	0	=	0
0	*	1	=	0
1	*	0	=	0
1	*	1	=	1

Таблица вычитания
0	–	0	=	0
1	–	0	=	1
1	–	1	=	1
10	–	1	=	1

 

 

                    

 

 

 

4.3.1  Двоичное сложение

 

Двоичное сложение выполняется  по тем же правилам, что и десятичное, с той лишь разницей, что перенос  в следующий разряд производиться  после того, как сумма достигнет  не десяти, а двух.

 

Пример 4.5  Сложение двоичных чисел и

 

+	101101
	111110
	010011	– поразрядная сумма без  учета переносов

 

+	1011000	– переносы
	0010011
	1001011	– поразрядная сумма без  учета повторных переносов

 

+	0100000	– повторные переносы
	1001011
	1101011	– окончательный результат

 

Легко произвести проверку:

,

,

,

.

 

Пример 4.6  Сложение двоичных чисел и

 

+	110,	1011
	10111,	10101
	10001,	00011	– поразрядная сумма без  учета переносов

 

+	11  1,	1	– переносы
	10001,	00011
	11100,	01011	– поразрядная сумма без  учета повторных переносов

 

+	1  ,		– повторные переносы
	11100,	01011
	11110,	01011	– окончательный результат

 

Сложение нескольких чисел  вызывает некоторые трудности, так  как в результате поразрядного сложения могут получится переносы, превышающие единицу.