Системы счисления

Федеральное агенство по образованию

Государственное образовательное  учреждение

высшего профессионального образования

«Сибирскийгосударственный педагогический университет»

 

 

Математический факультет

Кафедра алгебры и теории чисел

 

Системы счисления

 

Курсовая работа

Студентка 2 курса 

№ группы з/о

Ивановой Н.К.

Научный руководитель:

старший преподаватель кафедры 

алгебры и теории чисел

Петрова Н.И.

 

 

 

 

Екатеринбург

2008

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение………………………………………………………………………………………….3

1.Системы счисления……………………………………………………………………………4

1.1 История развития различных систем счисления………………………………………4

1.2 Непозиционные и позиционные системы счисления…………………………………8

1.2.1 Непозиционная система  счисления……………………………………………………....8

1.2.2 Позиционная система  счисления………………………………………………………..10

1.3 Десятичная система счисления и ее происхождения………………………………...13

1.4   Системы нумерации некоторых народов……………………………………………15

 

1.5 Системы счисления с другими основаниями, их происхождение и применение…..21

1.6 Арифметические операции в различных системах счисления………………………26

1.7 Перевод из одной системы счисления в другую……………………………………..28

2. Использование систем  счисления в компьютерной технике  и информационных технологиях……………………………………………………………………………………..33

2.1  История возникновения  двоичной системы счисления…………………………………33

2.2 Основные понятия машинной арифметики…………………………………………..33

2.3 Взаимный перевод двоичных и десятичных чисел и элементарные двоичные арифметические действия……………………………………………………………………...34

2.4  Арифметические действия над двоичными числами………………………………...37

2.5  Способы построения двоичных кодов………………………………………………...41

3. Примеры задач и их  решения на тему «Системы  счисления»…………………………...47

 

 

Заключение……………………………………………………………………………………...49

Список литературы…………………………………………………………………………….50

 

 

ВВЕДЕНИЕ

 

Что же понимается под словом «число»?

Первоначально понятие отвлеченного числа отсутствовало, число было «привязано» к тем предметам, которые пересчитывали. Отвлеченное  понятие натурального числа появляется вместе с развитием письменности.

Появление дробных чисел  было связано с необходимостью производить  измерения (сравнения с другой величиной  того же рода, выбираемой в качестве эталона). Но поскольку единица измерения  не всегда укладывалась целое число  раз в измеряемой величине, то возникла практическая потребность, ввести более  «мелкие» числа, чем натуральные. Дальнейшее развитие понятия числа было обусловлено  уже развитием математики.

Понятие числа – фундаментальное  понятие, как математики, так и  информатики. Под числом мы будем  понимать его величину, а не его  символьную запись.

Сегодня человечество для  записи чисел использует в основном десятичную систему счисления. Что  же такое – система счисления? Это мы узнаем в ходе изучения материала  и в решении различного рода задач

История развития двоичной системы счисления – одна из ярких  страниц в истории арифметики. Официальное «рождение» двоичной арифметики связывают с именем Г. В. Лейбниц. До начала тридцатых годов XX  века двоичная система счисления оставалась вне поля зрения прикладной математики. Потребность в создании надежных и простых по конструкции счетных механических устройств и простота выполнения действий над двоичными числами привели к более глубокому и активному изучению особенностей двоичной системы как системы, пригодной для аппаратной реализации.

Цель исследования: Найти и систематизировать материалы по теме: «Системы счисления и основы двоичных кодировок». Решить 10 задач по данной теме.

Задачи Исследования:

• Изучить литературу по теме исследования;
• Систематизировать теоретический материал;
• Рассмотреть практические применения теоретического материала.

 

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 

1.1 История возникновения  различных систем счисления

 

Первобытному человеку считать  почти не приходилось. "Один", "два" и "много" - вот все его числа. Но нам - современным людям - приходится иметь дело с числами буквально  на каждом шагу. Нам нужно уметь  правильно назвать и записать любое число, как бы велико оно  ни было. Если бы каждое число называлось особым именем и обозначалось в письме особым знаком, то запомнить все  эти слова и знаки было бы никому не под силу. Как же справиться с  этой задачей? Нас выручает хорошая  система обозначений.

Совокупность немногих названий и знаков, позволяющих записать любое  число и дать ему имя, называется системой счисления или нумерацией.

Практически на всем земном шаре алфавитом в языке чисел  служат 10 цифр, от 0 до 9. Девять из них  используются для обозначения первых девяти натуральных чисел, а десятый - нуль - не обозначает никакого числа, он представляет собой так называемую "позиционную пробку". Этот язык называется десятичной системой счисления.

Однако не во все времена  и не везде люди пользовались десятичной системой. С точки зрения чисто  математической она не имеет специальных  преимуществ перед другими системами  счисления, и своим повсеместным распространением эта система обязана  вовсе не общим законам математики, а причинам совсем иного характера.

В последнее время с  десятичной системой серьезно конкурируют  двоичная и, отчасти, троичная системы, которыми "предпочитают" пользоваться современные вычислительные машины.

Как люди считали и как  называли числа до изобретения письменности, мы точно не знаем. Об этом можно  только догадываться. Несомненно, одно: человечество овладевало счетом очень  медленно. Однако ко времени изобретения  письменности люди уже умели неплохо  считать.

Четыре тысячи лет назад  наиболее развитые народы (египтяне, халдеи) умели писать и пользоваться не только целыми, но и простейшими дробными числами. Более того, тогда уже  существовали школы, в которых обучали  искусству счета.

В первобытном письме букв не было. Каждая вещь, каждое действие изображалось картинкой. Постепенно картинки упрощались. Наряду с изображением предметов и действий появились особые фигуры, обозначающие различные свойства вещей, а так же значки для слов, соответствующих нашим предлогам и союзам.

Так возникла письменность, называемая иероглифами; при иероглифической  записи каждому значку соответствует  не звук, как у нас, а целое слово.

Специальных знаков (цифр) для  записи чисел тогда не было. Но словам "один", "два", ... "семнадцать" и так далее соответствовали  определенные иероглифы. Их было не так  уж много, так как больших чисел  люди тогда не знали.

В некоторых странах (например, Китае и Японии) иероглифическое  письмо сохранилось и до наших  дней. Вот, для примера, несколько  иероглифов:

 

 

У славян порядок цифр при  записи числа был такой же, как  в его устном названии. Мы говорим, например, "пятнадцать" (по-славянски - "пять на десять"), называя вперед цифру единиц, потом десяток. Славяне  так и писали, то есть впереди  писали пятерку, а за нею десяток. Наоборот, в числе "двадцать три" мы сначала называем десятки, потом  единицы, у славян сначала три потом двадцать это отображалось в письме.

Чтобы отличить числа от букв, над ними ставили особый значок  - титло. Оно ставилось только над  одной из цифр. Место цифры, ее положение  в записи числа не имело значения.

С помощью этих знаков легко  записывались большие числа. Знак   титло обозначал тысячи. С помощью   повторения   этого   знака   можно   было записывать очень большие числа

Числа до тысячи в Древней  Руси назывались почти так же, как  сейчас. Существовала небольшая разница  в произношении (например, "один" называли "един" и тому подобное). Десять тысяч называлось "тьма", и число это считалось столь  огромным, что тем же словом обозначалось всякое, не поддающееся учету множество.

В более позднее время (XVI - XVII вв.) появилась своеобразная система наименования чисел, так называемое "великое славянское число", в этой системе числа до 999999 назывались почти так же, как теперь. Слово "тьма" обозначает уже миллион. Кроме того, появляются следующие названия: "тьма тем", или "легион" (то есть миллион миллионов, или триллион, равен 10); "легион легионов", или "модр" (септиллион, 10²⁴); наконец, "модр модров", или "ворон" (то есть 10⁴⁸).

Позиционная нумерация возникла, по - видимому, в древнем Вавилоне (примерно четыре тысячи лет назад). О ней будет сказано чуть позднее. В Индии она приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля. У индусов эту систему чисел заимствовали арабы, ставшие в VIII - IX вв. одним из самых культурных народов мира. От арабов переняли ее европейцы (отсюда название - "арабские цифры").

Особый интерес представляет вавилонская математика. Вавилонская  нумерация просуществовала полторы  тысячи лет (с XVIII до III в. до нашей эры) и пользовалась широким распространением на всем Ближнем Востоке. Она оказала влияние на китайскую, индийскую и греческую математику.

Вавилоняне писали палочками  на пластинках из мягкой глины и  обжигали потом свои "рукописи". Получались прочные кирпичные "документы", частично уцелевшие до нашего времени, их нередко находят при раскопках  в Месопотамии (теперь Ирак). Поэтому  изучить вавилонскую историю  и математику в частности удалось  довольно хорошо.

На рубеже XIX - XVIII вв. до нашей эры произошло слияние двух народов: сумерийцев и аккадян. Каждый из этих народов имели достаточно развитую торговлю, весовые и денежные единицы, однако разработанной нумерации ни один из этих народов не имел.

У аккадян основная единица - "мекель" - была примерно в 60 раз меньше единицы у сумерийцев - "мины" (примерно пол килограмма). Денежной единицей служила мина серебра.

После слияния этих народов "имели хождение" обе системы  единиц: минами  и  мекелями  пользовались так, как мы теперь пользуемся килограммами и граммами (рублями и копейками) с той лишь разницей, что более крупная единица равнялась не 100, а 60 мелким единицам. Со временем появилась более крупная единица - "талант": 1 талант = 60 мин, 1 мина = 60 мекелей.

Как же вавилоняне записывали числа? Они писали палочками, вдавливая  их в глину, поэтому основными  графическими элементами были у них  клинья. Первый обозначал единицы, второй - десятки.

Эти знаки очень наглядны, количество клинышков бросается  в глаза, так что пересчитывать  их не приходится. Но клинописное письмо очень неудобно для оценки величины промежутков между числами, а  необходимость переписывать все  от руки приводила к частым опискам. Знак разделения был необходим, и  он появился. Начиная с некоторого времени, на вавилонских кирпичиках появляется значок ^ , соответствующий нашему нулю

Однако, введя "позиционную  пробку" в середине чисел, вавилоняне так и не додумались ставить ее на конце. И до самого падения вавилонской  культуры числа 1, 60, 3000 записывались одинаково.

Только индусы, заимствовавшие у них позиционную нумерацию, научились правильно использовать знак нуля, и, введя вместо 60 основание 10, дали счислению его современную  форму.

Три тысячи лет назад индусы уже пользовались современной нумерацией, хотя в памятниках того времени и  не упоминаются числа, большие 100000. В более поздних источниках встречаются  значительно большие числа - до ста квадриллионов (10¹⁷). В одной из сравнительно молодых легенд о Будде говорится, что он знал названия чисел до 10⁵⁴. Впрочем, индусы, по - видимому, не представляли себе бесконечности натурального ряда, они полагали, что существует какое -то наибольшее число, известное только богам.

Доказательство бесконечности  числового ряда — заслуга древнегреческих  ученых.

 

 

1.2 Непозиционные  и позиционные системы счисления

 

Система счисления (Нумерация) - это способ представления числа  символами некоторого алфавита, которые  называются цифрами.

Путем длительного развития человечество пришло к двум видам  систем счисления: позиционной и  не позиционной.

1.2.1 Непозиционная  система счисления

В самой древней нумерации  употреблялся лишь знак "|" для  единицы, и каждое натуральное число  записывалось повторением символа  единицы столько раз, сколько  единиц содержится в этом числе. Сложение в такой нумерации сводилось  к приписыванию единиц, а вычитание - к их вычеркиванию. Для изображения сколько – нибуть больших чисел этот способ нумерации непригоден из - за своей громоздкости.