Системы счисления

При начальном обучении в  школе, когда счет ведется в пределах одного - двух десятков, этот способ нумерации  успешно применяется (счет на палочках).

В непозиционных системах счисления смысл каждого знака  сохраняется и не зависит от его  места в записи числа.

К более современным непозиционным  системам относят египетскую иероглифическую  систему нумерации, в которой  имелись определенные знаки для  чисел: единица - I, десять - n, сто - ρ и так далее; эти числа называются узловыми. Все остальные натуральные числа, называемые алгоритмическими числами, записываются единообразно при помощи единственной арифметической операции - сложения. Например ,число 243 запишется в виде ρρ nnnn III, 301 - в виде ρρρ I.

К непозиционным системам относят римскую нумерацию. За узловые  числа в этой системе принимают  числа: единица - I, пять - V, десять - X, пятьдесят - L, сто - С, пятьсот - D, тысяча - М. Все алгоритмические числа получаются при помощи двух арифметических операций: сложения и вычитания. Вычитание производится тогда, когда знак, соответствующий меньшему узловому числу, стоит перед знаком большего узлового числа, например, VI - шесть (5+1= 6), ХС – девяносто(100-10=90), 1704 - МОССIV, 193 -СХСШ, 687 - DCLXXXII.

В римской нумерации заметны  следы пятеричной системы счисления, так как в ней имеются специальные  знаки для чисел 5, 50 и 500.

При записи чисел использовался  не только принцип сложения, но и  принцип умножения.

Например, в старо —  китайской системе счисления  числа 20 и 30 изображались схематически, как 2,10 и 3,10. числа 10, 100, 1000 имели определенные специальные обозначения. Число 528 записывалось так: 5,100,2,10,8.

Наиболее удобными среди  непозиционных систем счисления  являются алфавитные системы нумерации. Примерами таких систем могут  служить ионийская система (Древняя  Греция), славянская, еврейская, грузинская и армянская.

Во всех алфавитных системах существенным является обозначение  специальными символами - буквами в  алфавитном порядке всех чисел от 1 до 9, всех десятков от 10 до 90 и всех сотен от 100 до 900. Чтобы отличать запись чисел от слов над буквами, обозначающими цифры, в греческой и славянской нумерации ставилась черта.

В греческой системе счисления  число 543 записывалось: φμγ  (φ - 500,     μ- 40, γ- 3). В римской системе счисления это число записывается в виде DXLIII, в египетской иероглифической - в виде  ρρρρρ nnn III.

Из этого примера видно  преимущество алфавитной нумерации, в  которой используется цифровой принцип  обозначения единиц, десятков, сотен.

В записи больших чисел  в алфавитной системе уже виден  переход к позиционной системе  записи. Например, 32543 записывалось так

 

 

Наиболее удобными системами  счисления оказались позиционные  или поместные системы.

 

1.2.2 Позиционные  системы счисления

Позиционная система счисления - это совокупность определений и  правил, позволяющих записывать любое  натуральное число с помощью  некоторых значков или символов, каждый из которых имеет определенный смысл в зависимости от его  места в записи числа (от его позиции). Чаще всего применяют позиционную  систему счисления с фиксированным  основанием. Основанием системы может  быть любое натуральное число  ρ, ρ>1

Систематической записью  натурального числа N по основанию ρ называют представление этого числа в виде суммы:

 

N = а_nρⁿ+...+а₁ρ, + а₀

 

где а_n, ..., а₁, а₀ - числа принимающие значения 0, 1, ..., ρ - 1, причем, а_n≠0.

Позиционная система счисления  с основанием ρ называется ρ —  ичной (двоичной, троичной и так далее). На практике чаще всего применяется десятичная ρ= 10).

Для обозначения чисел 0, 1, ..., ρ - 1 в ρ - ичной системе счисления используют особые знаки, называемые цифрами. Древнеиндийские математики открыли нуль - особый знак, который должен был показать отсутствие единиц определенного разряда.

Для ρ - ичной системы счисления нужно ρ цифр. Если ρ < 10, то применяются те же обозначения цифр, что и в десятичной системе счисления (только берутся цифры, меньше основания системы).

В системах с основанием ρ > 10 для чисел, больших или равных 10, не вводят специальных символов, а используют десятичную запись этих чисел, заключая эту запись в скобки. Например, в четырнадцатеричной системе имеется четырнадцать цифр: 0, 1, 2, 3 ... 9, (10), (11), (12), (13).

В системе счисления с  основанием ρ, так же как и в десятичной системе счисления, место, занимаемое цифрой, считая, справа  налево, называется разрядом.

Число  N= а_nρ ⁿ + . . . +a₁ρ +а₀ содержит а₀ единиц первого разряда, а₁ единиц второго разряда, а₂ единиц третьего разряда и так далее. Единица следующего разряда в ρ раз больше единицы предыдущего разряда.

Позиционные системы счисления  удовлетворяют требованию возможности  и однозначности записи любого натурального числа.

Теорема.    Любое  натуральное число N может быть записано в системе с основание ρ и притом единственным образом.

Доказательство:

1. Докажем существование  представления любого натурального  числа в виде 

 

N=a_nρ_n +a _n-1 ρ_n-1 + ... +аρ+а₀                     (1)

 

Доказательство проведем методом полной математической индукции.

Представление числа N в виде (1) возможно для первых р-1 натуральных  чисел 1, 2,..., ρ-1, так как n=1 и число совпадает с данным числом. Представление числа в виде (1) для чисел 1, 2, . . . ,ρ-1, очевидно, возможны только единственным способом: 1=1, 2=2,. . . ,ρ-1=ρ-1.

Предположим, что все натуральные  числа  N≤k (к≥1)  представимы в виде (1). Докажем что число к+1 так же представимо в виде (1). Для этого разделим с остатком число к+1 на ρ:

 

K+l=s_ρ+r, 0<г<ρ-1                (2)

 

где s - неполное частное и г - остаток.

Так как число  s≤k, то  оно по  предположению индукции представимо в виде (1):

s = а_nρⁿ+ . . . +a₁ρ +а₀           (3)

 

где 1≤а_n≤ρ -1, 0≤ a_i ≤ρ -l, (i=0,1,..,n-1)

Подставим выражения (2) и (3), получим:

 

k+l= (a_nρ+ ... +а_iρ +а₀) ρ + г = а_nρ +... + a_iρ +a₀ρ +г            (4)

 

где 1 ≤ a_n ≤ρ -1, 0≤ a_j ≤ ρ -1, 0 ≤ г ≤ ρ -1    0=0,1,. . ,n-1)

Это выражение (4) дает представление  числа к+1 в виде (1):

 

К+1=b _n+1ρ ⁿ⁺¹ + b_n ρ _n + ... + b₁ρ +b₀

 

где b₀ =r, b_i+1- a_i (i=0,l,.. ,n-l)

2. Докажем единственность  представления любого натурального  числа в виде (1).

Доказательство проведем методом математической индукции.

Для чисел 1, 2,... , ρ -1 представление в виде (1) единственно.

Предположим что для  всех  натуральных N≤k  (к≥1)  представление в виде (1) единственно. Докажем, что число к+1 может быть представлено в виде (1) только одним способом. Для этого разделим с остатком число к+1 на ρ:

 

K+l=s_ρ+r, 0<г< ρ -1                  (5)

 

Предположим, что к+1 имеет  два различных способа представления:

 

к+1=а _nρ ⁿ + а_n-1 ρ ^n-1 + ....+ а₁ρ +а₍₎                                 (6)

к+1 =b _mρ ^m + b_m-1 ρ ^m-1 + ... + b₁ρ +b₀                            (7)

 

Представим: равенства (6) и (7) в виде:

k+1= (а _nρ ^n-1 + a_n-1 ρ ^n-2+ ... + а₁)ρ+а₀                             (6*)

k+1 = (b _mρ ^m-1 + b_m-1 ρ ^m-2+ ... + b)ρ+b₀                                      (7^*)

 

Так как 0 ≤ а₀ ≤ρ -1 и 0 ≤ b₀ ≤ρ -1, то из (6*) и (7*) следует, что неполное частное s и остаток г в формуле (5) будут:

 

S= а_nρ ^n-1 + а_n-1 ρ ^n-2 + ... + a₁=b_mρ ^m-1 + b_m-1 ρ ^m-2+ ... + b_1.  r = a₀ = b₀

 

Так как s ≤ k, из индуктивного предположения следует, что число s имеет единственно представление в виде (1), то есть

 

n-l = m-l, a_i =b_i , (i=0,1, . . ,n-1).

 

Из последнего равенства  имеем а₀=b_о. Таким образом, n=m, a_i=bi (i=0,l, . . ,n-l), но это противоречит допущению, что число k+1. имеет два различных представления (6) и (7). Следовательно, число к+1 представляется в виде (1) единственным образом. На основании принципа математической индукции утверждение справедливо для любого N . Теорема доказана.

 

 

1.3 Десятичная  система счисления, ее происхождение  и применение.

 

В современном русском  языке, а также в языках других народов названия всех чисел до миллиона составляются из 37 слов, обозначающих числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200, 300, 400, 500, 600, 700, 800, 900, 1000 (например, восемьсот пятнадцать тысяч триста девяносто четыре). В свою очередь названия этих 37 чисел, как правило, образованы из названий чисел первого десятка (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и чисел 10, 100, 1000 (например, 18 = восемь на десять, 30 = тридесять и т.д.). В основе этого словообразования лежит число десять, и поэтому наша система наименований называется десятичной системой счисления.

Из упомянутого правила  в разных языках имеются различные  исключения, объясняющиеся историческими  особенностями развития счета. В  русском языке единственным исключением  является наименование «сорок». Это  исключение можно поставить в  связь с тем, что число 40 играло некогда особую роль, означая неопределенно  большое количество.

В тюркских языках (узбекском, казахском, татарском, башкирском, турецком и др.) исключение составляют наименования чисел 20, 30, 40, 50, тогда как названия чисел 60, 70, 80, 90 образованы из наименований для 6, 7, 8, 9. Во французском языке  сохранились недесятичные названия чисел 20 и 80, причем 80 именуется quatrevingt, т.е. «четыре двадцать». Здесь мы имеем остаток древнего двадцатеричного счисления (по числу пальцев на руках и ногах). В латинском языке наименование числа 20 тоже недесятичное (viginti). Наименования чисел 18 и 19 образованы из названия 20 с помощью вычитания: 20–2 и 20–1 (duodeviginti, undeviginti, т.е. «два от двадцати», «один от двадцати»).

 

Представьте, что вы пересчитываете большое число одинаковых предметов, например, спичек. Удобнее всего  будет разложить эти предметы как кучки по десять в каждой. Получится некоторое количество десятков (и, может быть, останутся  несколько предметов, не вошедших в  целые десятки). Далее придется пересчитывать  кучки (десятки). Если  кучек (десятков) будет очень много, можно их тоже сгруппировать в десятки, и так  далее.

Таким путем мы приходим к основной идее нашей системы  счисления — к мысли о единицах различных разрядов. Десять единиц образуют один десяток, то есть десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго - единицу третьего и так далее.

Несмотря на свою кажущуюся  простоту, такая система счисления  прошла очень долгий путь исторического  развития. В ее создании принимали  участие многие народы.

Возникает вопрос - почему стали  раскладывать предметы на десятки, а  не на пятки или дюжины? Почему единицы  каждого разряда в десять, а  не в восемь или три раза больше единиц предыдущего разряда?

Счет десятками получил  широкое распространение потому, что люди располагают естественной "счетной машиной", связанной  с числом десять -десятью пальцами на руках.

Десятичная нумерация "изобретена" индусами; в Европу ее занесли арабы, вторгшиеся в Испанию в VIII в. нашей эры. Арабская нумерация распространилась по всей Европе, и, будучи проще и удобнее остальных систем счисления, быстро их вытеснила. До сих пор наши цифры принято называть арабскими. Впрочем, за тысячу лет все цифры, кроме 1 и 9, сильно изменились. Вот, для сравнения, наши (называемые арабскими) и настоящие арабские цифры:

 

 

Названия первых шести  разрядов (единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее) очень древние  и у разных народов звучат по-разному.

Слово "миллион" сравнительно недавнего происхождения. Придумал его известный венецианский путешественник Марко Поло, которому не хватало  обыкновенных чисел, чтобы рассказать о необычайном изобилии людей  и богатств далекой Небесной Империи (Китай). По-русски слову "миллион" могло бы соответствовать несуществующее слово "тысячища".

Для построения числовых наименований более высоких порядков используются латинские числительные (биллионы, триллионы). Построенные таким образом  названия мало удобны, латынь знают  не все. Да и вообще такие числа  встречаются только в сборниках  математических курьезов, да в некоторых  отделах теории чисел. Нет необходимости  придумывать им рациональные названия. Здесь на помощь приходит понятие степени. Число, изображаемое единицей с нулями, является степенью десятки: 100= 10², 1000= 10³, 10...00...00= 10ⁿ.

Эти соображения позволяют  нам очень коротко и удобно записывать все числа, которые даются нам наукой и жизнью. Например, масса  Земного шара - 6 000 000 000 000 000 000 000 тонн. Мы можем записать: 6 • 10²¹ тонн, и назвать "шесть на десять в двадцать первой степени", это коротко и удобно.