Шпаргалка по "Математике"

 

№48 а)Определение числового ряда.б) Сходимость числового ряда.в) Необходимый  признак сходимости рядов (доказать). Примеры.

а)Числовым рядом наз бесконечная последовательность чисел и_1,и_2,…,и_п,…, соединенных знаком сложения. и₁₊и_2+…+и_п…=∑^∞_п=1и_п,, и₁₊и_2+…+и_п…-члены ряда, и_п-общий или п-ый член ряда.

б)Ряд наз сходящимся, если сущ конечный предел последовательности его частичных сумм, т е lim_n→∞S_n=S. Число S- сумма ряда. В этом смысле можно записать и₁₊и_2+…+и_п+…=∑^∞_п=1и_п=S.

в)Теорема( необходимый признак сходимости). Если ряд сходится, то предел его общего члена и_п при п→∞ равен нулю, т е lim _п→∞u_n=0. Выразим п-ый член ряда ч/з сумму его п и (п-1) членов, т е и_п=S_n-S_n-1. Т к ряд сходится, то lim _п→∞ S_n=S и lim _п→∞S_n-1=S, следов. lim _п→∞u_n= lim _п→∞ (Sn- S_n-1)= lim _п→∞ S_n- lim _п→∞S_n-1=S-S=0.

Пример: ∑^∞_п=1(4n+3)/(5n-7); lim _п→∞u_n= lim _п→∞(4n+3)/(5n-7)=4/5≠0, т е ряд расходится.

 

№15 а) Уравнение линии на плоскости. б)Точка пересечения двух линий.в) Огсновные виды уравнений прямой на плоскости (одно из них вывести).

а) Уравнением линии на плоскости Оху наз уравнение, кот удовлетворяют координаты х и у каждой точки данной линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.

б) Пусть даны две прямые А₁х+В₁у+С₁=0 и А₂х+В₂у+С₂=0_. Очевидно, координаты их точки пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т е они могут быть найдены из системы: { А₁х+В₁у+С₁=0 ; А₂х+В₂у+С₂=0}. Если прямые не параллельны, т е А₁/А₂≠В₁/В₂, то решение системы дает ед точку пересечения прямых.

 

№30 а)Определение экстремума ф-ии одной  переменной.б) Необходимый признак экстремума (доказать).

а)Экстремумами наз точки максимума и минимума. Точка х_о наз точкой максимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х_о выполняется неравенство f(x)≥f(x_o). Точка х₁ наз точкой минимума ф-ии f(x), если в некоторой окрестности т. х₁ выполняется неравенство f(x)≤f(x₁).

б)Необходимое условие экстремума: Для того чтобы ф-ия у= f(x) имела экстремум в точке х_о, необходимо, чтобы ее производная в этой точке равнялась нулю (f ^/(x_o)=0) или не существовала.

 

№50 Признаки сравнения Доламбера сходимости знакоположительных рядов. Примеры.

Теорема. Пусть для ряда ∑^∞_п=1и_п с положительными членами сущ предел отношения (п+1)-го члена к п-му члену lim_n→∞(u_n+1)/u_n=L. Тогда, если l<1, то ряд сходится, если l>1, то расходится, если l=1, то вопрос остается нерешенным. Примеры: а) ½+2/2²+…+п/2^п+…, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞((п+1)/(2^п+1))п/2^п= lim_n→∞(п+1)/2п=1/2<1, то по признаку Даламбера ряд сходится. б) ∑^∞_п=13^пп!/п^п, т к lim_n→∞(u_n+1)/u_n= lim_n→∞(3^п+1(п+1)!/(п+1)^п+1)/(3^пп!/п^п)= lim_n→∞(3п/(п+1))^п=3/( lim_n→∞(п/(п+1))^п=3/е>1-расходится.

№51 Интегральный признак сходимости знакоположительных рядов. Пример.

Теорема: Пусть дан ряд ∑^∞_п=1и_п,члены кот положительны и не возрастают, т е u₁≥u₂ ≥…≥u_n≥…_, а ф-ия f(x), определенная при х≥1, непрерывная и невозрастающая и f(1)=u₁, f(2)=u₂,…, f(n)=u_n,…,тогда для сходимости ряда ∑^∞_п=1и_п необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл ∫^∞₁f(x)dx. Пример: ∑^∞_п=11/п². Пусть f(x)=1/x².  Функция f(x) при х>0 (а значит и при х≥1) положительная и невозрастающая (точнее убывающая). Поэтому сходимость ряда равносильна сходимости несобственного интеграла ∫^∞₁dx/х², следов. I=∫^∞₁dx/x²=lim_b→∞∫^b₁ dx/x².  Если L=1, то I= lim_b→∞(ln|x||^b₁)= lim_b→∞(ln|b|-ln1)=∞. Если L≠1, то I= lim_b→∞((x ^-L+1)/(-L+1)|^b₁)= 1/(1-L) lim_b→∞(b^1-L-1)={1|(L-1) при L>1; ∞ при L <1}-ряд сходится при L>1 и расходится при L ≤1 .

 

№17 а)Предел последовательности при п→∞  и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с доказательством  теоремы о пределе промежуточной  ф-ии).

а) Число А наз пределом чиловой последовательности {a_n}, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такой номер N (зависящий от ε, N=N(ε)), что для всех членов последовательности с номерами n>N верно неравенство |a_n-A|<ε. Предел числовой последовательности обозначается lim_n→∞a_n=A или a_n→∞ при n→∞. Последовательность, имеющая предел, наз сходящейся, в противном случае-расходящейся. Число А наз пределом ф-ии у=f(x) при х→∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа Е найдется такое положительное число М=0, что для всех х удовлетворяющих равенству |x|>M выполняется неравенство |f(x)-A|<E.При этом говорят, что A=lim_x→∞f(x).

б)Теорема1: Если числовая последовательность {a_n} монотонна и ограничена, то она имеет предел. Теорема2: Если в некоторой окрестности точки х_о (или при достаточно больших значениях х) ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ями φ(х) и ψ(х), имеющими одинаковый предел А при х→х_о (или х→∞), то ф-ия f(x) имеет тот же предел А.  Пусть при х→х_о lim _х→хо φ(х)=А, lim _х→хо ψ(х)=А. Это означает, что для любого ε>0 найдется такое число δ>0, сто для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ будут верны одновременно неравенства | φ(х)-А|<ε, | ψ(х)-А|<ε или А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε. Т к по усл ф-ия f(x) заключена м/д двумя ф-ми, т е φ(х)≤ f(x) ≤ ψ(х), то из неравенства А-ε< φ(х)<A+ε, A-ε< ψ(х)<A+ε следует, что A-ε< f(х)<A+ε, т е |f(x)-A|<ε. А это и означает, что lim_x→хоf(x)=А.

 

№18 а)Определение предела ф-ии в точке. б)Основные теоремы о пределах (одну доказать).

а)Число А наз пределоф ф-ии f(x) при х→х_о (или в точке х_о), если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от ε, δ=δ(ε)), что для всех х≠х_о и удовлетворяющих условию |x-x_o|<δ, выполняется неравенство |f(x)-A|<ε. Этот предел ф-ии обозначается lim_x→xof(x)=A или f(x)→A при x→x_о.

б) 1) Ф-ия не может иметь более одного предела. Док-во: Предположим противное, т е что ф-ия f(x) имеет два предела А и D, A≠D. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых величин с пределами ф-ий в соответствии с формулой f(x)=A+α(x), f(x)=D+β(x),где α(x), β(x)- бесконечно малые при x→x_o(x→∞). Вычитая почленно эти равенства, получим 0= A-D+(α(x)-β(x)), откуда α(x)-β(x)= D-А. Это равенство не возможно, т к на основании св-ва 1 бесконечно малых α(x)-β(x) есть величина бесконечно малая. Следовательно, предположение о существовании второго предела неверно. 2) Предел алгеброической суммы конечного числа ф-ии равен такой же сумме пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)+φ(x)]=A+B. 3) Предел произведения конечного числа ф-ий равен произведению пределов этих ф-ий, т е lim_x→xo(∞)[f(x)φ(x)]=AB. В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т е lim_x→xo(∞)(сf(x))=сA. 4) Предел частного двух ф-ий равен частному пределов этих ф-ий (при условии, что предел делителя не равен нулю), т е lim_x→xo(∞)f(x)/φ(x)=A/B (В≠0). 5) Если lim_u→uof(u)=A, lim_x→xoφ(x)=u_o, то предел сложной ф-ии lim_x→xof[φ(x)]=A. 6) Если в некоторой окрестности точки х_о ( или при достаточно больших х) f(x)<φ(x), то lim_x→xo(∞)f(x)≤ lim_x→xo(∞)φ(x).

 

№54 Разложение в ряд Маклорена ф-ии у=ln(1+x)(вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

Получить разложение ф-ии у=ln(1+x)  след образом:  Рассм геометрический ряд 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… со знаменателем q= -x, кот сходится при |q|=|-x|<1, т е при -1<x<1, к ф-ии f(x)=a/(1-q)=1/(1+x). Интегрируя равенство 1/(1+х)=1-х+х²-х³+…+(-1)^пх^п+… в интервале (0;х), где |x|<1, с учетом того, что ∫^х_оdx/(1+x)=ln|1+x||^x_o=ln(1+x), получим ln(1+x)=х-х²/2+х³/3-…+((-1)^пх^п+1)/(п+1)+…. Область сходимости ряда (после выяснения сходимости на концах интервала сходимости) есть (-1;1].

 

№55 Разложение в ряд Маклорена ф-ции  у=(1+х)^п (вывод). Интервал сходимости полученного ряда.

у=(1+х)^п, где п- любое действительное число. Имеем f(x)=(1+x)ⁿ, f ^/ (x)=n(1+x)^n-1, f ^// (x)=n(n-1)(1+x)^n-2, f ^/// (x)=n(n-1)(n-2)(1+x)^n-3,…,f⁽ⁿ⁾(x)=n(n-1)…(n-k+1)(1+x)^n-k. При х=0 f(0)=1, f ^/ (0)=m, f ^// (0)=n(n-1), f ^/// (0)=n(n-1)(n-2), …, f⁽ⁿ⁾(0)=n(n-1)…(n-k+1). По формуле f(x)=f(0)+ f ^/ (0)x+ (f ^// (0))/2! ∙x²+( f ^/// (0))/3!∙x³+…+( f⁽ⁿ⁾(0))/n!∙xⁿ+…, получаем:

(1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+….Интервал сходимости ряда (-1;1) (на концах интервала при х=+- 1 сходимость ряда зависит от конкретных значений п). Ряд (1+x)ⁿ=1+nx+(n(n-1))/ 2! ∙x²+(n(n-1)(n-2))/ 3!∙x³+…+(n(n-1)(n-k+1))/ n!∙xⁿ+…. наз биномиальным. Если п- целое положительное число, то биномиальный рад представляет формулу бинома Ньютона, т к при k=n+1, n-k+1=0, n-ый член ряда и все последующие равны нулю, т е ряд обрывается и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.

 

№39 Метод интегрирования по частям для  случаев неопределенного и определенного  интегралов (вывести формулу). Примеры.

Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ии. Тогда по св-ву дифференциала d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части и учитывая, что: d(∫f(x)dx)=f(x)dx u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: ∫udv=uv-∫vdu-формула интегрирования по частям для неопред интеграла. Пусть ф-ии и=и(х) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a;b], тогда : ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, где uv|^b_a=u(b)v(b)-u(a)v(a)-для опред интеграла. Т к (uv)^/=u^/v+uv^/, то ф-ия uv явл первообразной для ф-ии u^/v+uv^/. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница u ∫(f(x)+-g(x))dx=∫f(x)dx+-∫g(x)dx, получаем: uv|^b_a=∫^b_a(u^/v+uv^/)dx=∫^b_avu^/dx+ ∫^b_auv^/dx, что равносильно ∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu, т к по определению дифференциала u^/(x)dx=du и v^/(x)dx=dv. Примеры:А) ∫xln(x²+1)dx=|u= ln(x²+1), dv=xdx,du=2xdx/(x²+1), v=∫dv=∫xdx=x²/2|=x²/2ln(x²+1)-∫x²/2∙2xdx(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫x³/(x²+1)dx=| x³/(x²+1)=x+x/(x²+1)=x²/2ln(x²+1)-∫(x-x(x²+1)dx= x²/2ln(x²+1)-∫xdx+∫x/(x²+1)dx=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫x/(x²+1)dx=|x²+1=t, 2xdx=dt, xdx=dt/2|=x²/2ln(x²+1)-x²/2+∫dt/2t=x²/2ln(x²+1)-x²/2+1/2lnt=x²/2ln(x²+1)-x²/2+(ln(x²+1))/2= ln(x²+1)(x²/2+1/2)-x²/2=((x²+1)2)ln(x²+1)-x²/2+C. Б) ∫^e-2_-1ln(x+2)dx=|x+2=t, dx=dt,x=e-2 t=e, x=-1  t=1|=∫^e₁lntdt=|u=lnt, dv=dt, v=∫dv=∫dt=t, du=dt/t|=|∫^b_a udv=uv|^b_a-∫^b_a vdu|=tlnt|^e₁-∫^e₁t/tdt=elne-1ln1-x|^e₁=e-(e-1)=e-e+1=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№40 а)определенный интеграл как предел интегральной суммы. б)Св-ва определенного  интеграла.

a)Определенным интегралом от ф-ии у=f(x) на отрезке [a;b] наз предел интегральной суммы ∑^п_i=1f(c_i)∆x_i=f(c₁)∆x₁+ f(c₂)∆x₂+…+ f(c_n)∆x_n при λ→0 ∫^b_af(x)dx=lim_λ→o ∑ⁿ_i=1f(c_i) ∆x_i.

b) 1) Постоянный множитель можно выность за знак определенного интеграла: ∫^b_aLf(x)dx=L ∫^baf(x)dx   L-const. 2)  Определенный интеграл от алгебраической суммы ф-ций равен такой же сумме интегралов от этих ф-ий ∫^b_a[f(x)+-G(x)]dx= ∫^b_af(x)dx+- ∫^b_aG(x)dx. 3)При перестановке пределов интегрирования знак опред оитеграла меняется на противоположный ∫^b_af(x)dx= -∫^a_bf(x)dx. 4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждого полученного отрезка: ∫^b_af(x)dx=∫^с_af(x)dx+∫^b_сf(x)dx, a<c<b. 5) Если на отрезке [a;b] ф-ия φ(х) не превосходит ф-ии g(x) |φ(x)≤g(x)|, тогда ∫^b_af(x)dx≤ ∫^b_ag(x)dx. 6) Теорема о среднем: Если на отрезке [a;b] ф-ия у=f(x) непрерывна, то внутри отрезка найдется такая точка С, что выполняется выражение ∫^b_af(x)dx=φ(с)(b-a). Теорема о среднем утверждает, что сущ такая точка С, принадлежащая отрезку Сє [a;b], что площадь под кривой у=f(x) равна площади прямоугольника со сторонами: φ(с) и b-a. (рис)

 

№1. а)Понятие матрицы. б)Виды матрицы. в)Транспонирование матрицы. г)Равенство матриц. д)Алгебраические операции над матрицами: умножение на число, сложение, умножение матриц.

№2. а)Определители 2-го,3-го и п-го порядков (определения и  из св-ва). б)Теорема Лапласа о  разложении определителя по элементам строки или столбца.

№3.а)Квадратная матрица  и ее определитель. б)Особенная и  неособенная квадратные матрицы. в)Присоединенная матрица. г)Матрица, обратная данной, и  алгоритм ее вычисления.

№4. а)Понятие минора к-го порядка. б)Ранг матрицы(определение).в)Вычисление ранга матрицы с помощию элементарных преодразований.Пример.

№5. а)Линейная независимость  столбцов (строк) матрицы. б)Теорема  о ранге матрицы

№8. а)Система т линейных уравнений с п переменными (общий  вид). б)Матричная форма записи такой системы. в)Решение системы(определение).г)Совместные и несовместные, определенные и неопределенные системы линейных уравнений.

№9. а) метод Гаусса решения  системы п-линейных ур-ний с п  переменными. б)Понятие о методе Жордана-Гаусса.

№10. Решение систем п линейных уравнений с п переменными с помощью обратной матрицы (вывод формулы Х=А^-1В.

№11 Теорема и формулы  Крамера решения системы n линейных уравнений с n переменными (без вывода).

№12 Теорема Кронекера-Капелли. Условие определенности и неопределенности совместных систем линейных уравнений.

№13 Понятие функции, способы  задания ф-ций. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и  их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

№15 а) Уравнение линии  на плоскости. б)Точка пересечения  двух линий.в) Огсновные виды уравнений  прямой на плоскости (одно из них вывести).

№16. а)Общее ур-ние  прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

№17 а)Предел последовательности при п→∞ и предел ф-ии при х→∞.б) Признаки существования предела (с  доказательством теоремы о пределе  промежуточной ф-ии).

№18 а)Определение предела  ф-ии в точке. б)Основные теоремы  о пределах (одну доказать).

№19. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть)

№20. а)Бесконечно большая  величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин с бесконечно большими.

№21. а)Второй замечательный  предел, число е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

№22. а)Пределы ф-ций. Раскрытие  неопределенностей различных видов. Б)Правило Лопиталя.

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки  разрыва.г)Примеры.

№24 а)Производная и  ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к плоскости кривой в заданной точке.