Шпаргалка по "Математике"

     (…………………..)        (…)         (…)

     ( а_{п 1}  а_п2 а_п3… а_пп)          (х_п)          (b_n)

Т к detA ≠0, то сущ. обратная матрица А^-1: А^-1(АХ)=А^-1В; А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х;Х=А^-1В

 

 

 

 

 

№16. а)Общее ур-ние прямой на плоскости, его исследование. б)Условия || и ┴прямых.

а)Запишем ур-ние прямой с к=1: у=kх+b; -kx+y-b=0; -kx→Ax,y→By.-b→C;Ax+By+C=0-ур-ние прямой.Частные случай ур-ния Ах+Ву+С=0: 1) А=0,следов. Ву+С=0, В,С-const.у=-С/В. Прямая || оси ОХ. А=С=0,следов. у=0-прямая совпадает с осью ОХ.

2) В=0,следов. Ах+С=0, А,С- const. Х=-С/А. А≠0. Прямая || оси ОУ. В=С=0,следов. х=0- прямая совпадает с осью ОУ.

3) С=0, следов. Ах+Ву=0. у=-А/В×х-прямая  проходит ч/з начало координат. 

б)1. Если прямая L₁|| L₂,следов. φ =0, tg φ=0, следов. k₁₌k₂-условие || двух прямых.

2. L₁┴ L₂, тогда φ =π/2, следов. tg π/2-неопределен. сtg π/2=0, следов. сtgφ=1/tgφ=(1+k₁k₂)/( k₂- k₁). сtgφ=0, следов. 1+k₁k₂=0, k₁k₂= -1-условие ┴ двух  прямых.

 

 

№19. а)Бесконечно малая величина (определение). б)Св-ва бесконечно малых (1 док-ть)

а)Функция L(х) наз бесконечно малой величиной при х→х_о, или при х→∞, если ее предел =0. Lim _{х→ хо (∞)}L(х)=0.

б)Св-ва: 1) Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая. 2) Произведение бесконечно малой величины на ограниченную ф-цию (постоянную, бесконечно малую) есть величина бесконечно малая. 3) Частное от деления бесконечно малой величины на ф-цию, предел кот отличен от 0, есть величина бесконечно малая.

Докажем 1^о: По усл L(х) и В(х)-бесконечно малые при х→х_о,следов. для любого Е^/=Е/2>0, найдутся δ₁>0, δ₂>0, что для всех х≠ х_о и удовлетворяющих условиям: |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ₂ выполняются соответственно неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2. Если взять δ=min{δ_1;δ₂}, то неравенству |х-х_о|< δ будут удовлетворять решения неравенств |х-х_о|< δ₁ и |х-х_о|< δ_2, следов. неравенства |L(х)|<E/2 и |В(х)|<E/2 будут одновременно верны. Складывая почленно получим: |L(х)|+|В(х)|< E/2 +E/2=Е, т к |L(х)+В(х)|≤ <|L(х)|+|В(х)|-(св-во абсолют. величин.), получаем: |L(х)+В(х)| <Е. Для любого Е>0 сущ такое δ>0, что для всех и х≠ х_о и |х-х_о|< δ неравенство |L(х)+В(х)| <Е верно, следов. ф-ция L(х)+В(х)- есть величина бесконечно малая.

 

№20. а)Бесконечно большая величина (определение). б)Связь бесконечно малых величин  с бесконечно большими.

а)Ф-ция f(x) наз бесконечно большой величиной при х→х_о, если для любого, даже сколь угодно большого положительного числа М>0, найдется такое положительное число δ>0 (зависящее от М, δ= δ(М)), что для всех х ≠ х_о и удовлетворяющих условию |х-х_о|< δ, будет верно неравенство | f(x) |>М. Записывается, как lim _х→хо f(x)=∞ или f(x)→∞ при х→х_о.

б) Теорема: Если ф-ция L(х) есть бесконечно малая величина при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) явл бесконечно большой при х→х_о(х→∞). И обратно, если ф-ция f(x) бесконечно большая при х→х_о(х→∞), то ф-ция f(x)=1/ L(х) есть величина бесконечно малая при х→х_о(х→∞).

 

№21. а)Второй замечательный предел, число  е. б)Понятие о натуральных логарифмах.

а) е= lim_п→∞(1+1/п)^п. Числом е (вторым замечательным пределом) называется предел числовой последовательности е= lim_п→∞(1+1/п)^п ,е=2,718231… е- иррациональное число.

б) Число е (число Эйлера, неперово число) играет весьма важную роль в матиматическом анализе. Широко используются логарифмы по основанию е, наз натуральными. Обозначаются символом ln: log_ex=lnx.

 

№22. а)Пределы ф-ций. Раскрытие неопределенностей различных видов. Б)Правило Лопиталя.

а) [0/0]1. {необходимо числитель и знаменатель разложить на простейшие множители},2.{необходимо для иррациональных ур-ний найти сопряженное ур-ние и домножить и разделить части на сопряженное ур-ние}. [∞/∞] {необходимо в числителе и знаменателе вынести переменную с максимальной степенью}. [∞-∞]1. {умножим и разделим выражения в скобках на сопряженное выражение для иррац ур-ний},2{привести к общему знаменателю}. [1^∞] {раскрывается с помощью второго замечательного предела } lim_п→о(1+п)^1/п=е.

б)Правило Лопиталя:Теорема: Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших ф-ций = пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний сущ в указанном смысле.  Выполняется для неопределенностей вида [0/0] и [∞/∞]. {необходимо найти производную отдельно числителя и отдельно знаменателя.}

 

№27.а)Формулы производных основных элементарных ф-ций (одну из них вывести). б)Производная сложной ф-ции.

а)1)С^/=0; 2)х^/=1; 3) (х^п)^/=пх^п-1; 4)(х^1/2)^/=1/2х^1/2;5)(а^х)^/=а^хlna; 6)(е^х)^/=е^х; 7)(logx)^/=1/хlna; 8)(lnх)^/=1/х;9)(sinx)^/=cosx;10)( cosx)^/= -sinx; 11) (tgx)^/=1/ cos²x; 12) (сtgx)^/= -1/ sin²x;13)(arcsinx)=1/(1-х²)^1/2; 14) (arctgx)^/=1/(1+х²); 15) (arccosx)^/= 1/(1-х²)^1/2;   16) (arcсtgx)^/=-1/(1+х²);17) (lgx)^/=1/xln10.

Докажем что (х^п)^/=пх^п-1:1)Дадим аргументу х приращение ∆х≠0 и найдем наращенное значение ф-ции у+∆у=(х+∆х)^п ; 2) Находим приращение ф-ции ∆у=(х+∆х)^п- х^п= х^п+ пх^п-1∆х+ пх∆х^п-1+∆х^п-х^п=∆х(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1). 3)составим отношение ∆у/∆х= пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1

4) найдем предел у^/=lim_∆x→0∆у/∆х= lim_∆x→0(пх^п-1+пх∆х+∆х^п-1)=nx^n-1.

б)Теорема: Пусть ф-ция у=f(x)- сложная ф-ция, где и=φ(х), тогда, если ф-ции f(и), φ(х) явл дифференцируемыми ф-ми, то производная сложной ф-ции по независимой переменной х: у^/х=f^|и×и^/х.  1)(z^a)^/=az^a-1×∙z^/; 2) (z^1/2)^/=1/2z^1/2∙ z^/;3) (sinz)^/=cosz∙z^/;4) ( cosz)^/= -sinz∙z^/;5) (tgz)^/=1/ cos²z∙z^/; 6) (сtgz)^/= -1/ sin²z∙z^/.

 

№26 Основные правила дифференцирования  ф-ций одной переменной (одно из них  доказать).

1) Производная постоянной равна  нулю С^/=0(т к любое приращение постоянной ф-ции у=С равно0. 2)производная аргумента=1, т е х^/=1(следует из (х^п)^/=пх^п-1 при п=1).

В след случаях будем полагать, что и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции. 3) Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых ф-ций равна такой же сумме производных этих ф-ций (и+ v)^/= и^/+ v^/. 4) Производная произведения двух дифференцируемых ф-ций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведения 1-го сомножителя на производную 2-го, т е (иv)^/= и ^/v + и v^/.

1^о Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (си)^/= си^/.  2^о Производная произведения нескольких дифференцируемых ф-ций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные (uvw)^/= u^/vw+ uv^/w+ uvw^/. 5) Производная частного 2-х дифференцируемых ф-ций может быть найдена по формуле: (u/v)^/= (u^/v- uv^/)/ v².

Докажем 4): Пусть и=и(х) и v=v(x)-дифференцируемые ф-ции.Найдем производную ф-ции у= иv,∆х≠0,наращение для ф-ции и- и+∆и, для v- v+∆v, а ф-ция у- значение у+∆у=(и+∆и)(v+∆v). Найдем приращение: ∆у=(и+∆и)(v+∆v)-uv=uv+∆иv+u∆v+∆и∆v-иv=∆иv+ u∆v+∆и∆v,следов. ∆у/∆х=∆и/∆х v+ u∆v/∆х +(∆и/∆х)∙( ∆v/∆х) ∆х. Найдем придел этого отношения про ∆х→0, используя теоремы о пределах: lim_∆х→0∆у/∆х= lim_∆х→0∆и/∆х v+ lim_∆х→0 u∆v/∆х + lim_∆х→0 (∆и/∆х)∙ lim_∆х→0 ( ∆v/∆х)∙ lim_∆х→0 ∆х. На основании определения производной получили, что у^/= и ^/v + и v^/+и ^/ v^/∙0 или у^/= и ^/v + и v^/.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

№29 Достаточные признаки монотонности ф-ций (один из них доказать).

Теорема (достаточное  условие возрастания ф-ции). Если производная дифференцируемой ф-ции положительна внутри некоторого промежутка Х, то она возрастает на этом промежутке.

Рассм х₁ и х₂ на данном промежутке Х. Пусть х₂>х_1,х_1,х₂єХ. Докажем, что f(x₂)>f(x₁).Для ф-ции f(x) на отрехке [x₁;x₂] выполняются условия т. Лагранжа, поэтому f(x₂)-f(x₁)=f ^/(Е)(x₂-x₁), где х₁<Е>х_2, т е Е є промежутку, на кот производная положительна, следов. f^/(Е)>0 и правая часть равенства lim_{x→xo(x→∞)} f(x)/g(x)= lim_{x→xo(x→∞)} f^/(x)/g^/(x)- положительна. f(x₂)-f(x₁)>0 и f(x₂)>f(x₁).

Теорема (достаточное  усл убывания ф-ции): Если производная дифференцируемой ф-ции отрицательна внутри некоторого промежутка Х, то она убывает на этом промежутке.

 

№31 Достаточные признаки существования  экстремума (доказать одну из теорем).

1) Если при переходе  ч/з т. х_о производная дифференцируемой ф-ции у=f(x) меняет свой знак с «+» на «-», то т. х_о есть точка максимума ф-ции у=f(x) , а если с «-» на «+», то –точка минимума.

Пусть производная меняет знак с  «+» на «-»,т е в некотором  интервале (а,х_о) производная положительна (f ^/(х)>0), а в некотором интервале (х_о;b)- отрицательна (f ^/(х)<0). Тогда в соответствии с достаточным условием монотонности ф-ция f(x) возрастает на интервале (а;х_о) и убывает на (х_о;b).  По опред возрастающей ф-ции f (х_о)≥ f (х) при х є (а;х_о), а по опред убывающей ф-ции f (х_о)≤ f (х) при х є (х_о;b), т е f (х_о)> f (х) при всех х є (а;b), следов. т. х_о- точка максимума ф-ции у=f(x). Аналогично, когда производная меняет знак с «-» на «+».

2) Если первая производная f ^/(х) дважды дифференцируемой ф-ции =0 в некоторой точке х_о, а вторая производная в этой точке f ^//(х) положительна, то х_о- есть точка минимума ф-ции f ^/(х), если f ^//(х)-отрицательна, то х_о- точка минимума.

 

№32 а)Понятие асимптоты графика ф-ции. б)Горизонтальные, наклонные и вертикальные асимптоты.в) Примеры.

а)Асимптотой графика ф-ции наз прямая, обладающая след св-ми: при удалении точки на графике ф-ции от начала координат, расстояние от этой точки до прямой стремится к 0.

б)1) Прямая х=х_о явл вертикальной асимптотой графика ф-ии у=f(х), если хотябы один из односторонних пределов ф-ции при х→х_о равен ∞: lim _х→хо+-0 f(х)=∞.(рис.)

т.х_о при этом явл точкой разрыва ф-ции.

2) Прямая у=b явл горизонтальной асимптотой ф-ции, если ф-ция определена при достаточно больших значениях х и сущ предел: lim _х→∞f(х)=b.(рис.)

3)Прямая y=kx+b явл наклонной асимптотой ф-ии у=f(х), если ф-ия определена при достаточно больших значениях х и сущ конечные пределы: k=lim_x→+-∞ f(х)/х; b= lim_x→∞[f(x)-kx].(рис.)

Горизонтальная асимптота явл  частным случаем наклонной асимптоты  при k=0, поэтому у ф-ии в одном направлении не может быть одновременно горизонтальной и наклонной асимптот.

Пример: у=(2х²-1)/х.   1)вертик.асимптоты х=0; lim _х→0+0(2х²-1)/х= -∞; lim _х→0-0(2х²-1)/х=∞; х=0-вертик. асимптота.   2) наклонные асимптоты y=kx+b;  k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(2х²-1)/хх =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х²(2-1/х²)/х²=2; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[(2х²-1)/х-2х]= lim_x→∞(2х²-1-2х²)/х = lim_x→∞(-1)/х =0. у=2х+0; у=2х-наклонная асимтота. {если k=0, то горизонтальная асимптота }, {если получается ∞, то горизонтальных и вертикальных асимптот нет}.

 

№33 Общая схема исследования ф-ий и построения их графиков. Пример.

1) Область определения ф-ии, 2) исследовать  на четность, нечетность, 3) найти  асимптоты графика, 4)Исследовать  ф-цию на возрастание и убывание  и найти экстремумы. 5) Найти точки  пересечения с осями координат. 6) Построить график ф-ции.

Пример: у= х²/(1-х²). 1) 1-х²≠0, х≠ + -1, (-∞;-1)V(-1;1)V(1;+∞). 2) четная- симметрична относительно ОУ.   3) асимптоты : -вертикальные: х= -1 lim_x→-1-ox²/(1-х²)= -∞;

lim_x→-1+ox²/(1-х²)=+∞. Х=1 lim_x→1-ox²/(1-х²)= +∞; lim_x→1+ox²/(1-х²)= -∞; х=1; х= -1-вертикальные асимптоты. Наклонные: y=kx+b;  k=lim_x→+-∞ f(х)/х= lim_x→+-∞(х²(1-х²)х) =[∞∕∞]= lim_x→+-∞(х/х²(1/х²-1)=0; k=0; b= lim_x→∞[f(x)-kx]= lim_x→∞[х²/(1-х²)]=[∞/∞]= 2х/(-2)х= -1 b= -1; y= -1 –горизонтальная асимптота.   4) у^/=х²/(1-х²)=(2х²(1-х²)+х²(2х))/(1-х²)²=2х/(1-х²)². у^/=0, у^/- не сущ. 2х=0, х=0 , 1-х²=0, х= +-1. min(0;0), 5) ОХ у=0, х=0; ОУ х=0 у=0.

6)

 

№34 а)Ф-ции нескольких переменных. Примеры.б)Частные  производные (определение). в)Экстремум  ф-ции нескольких переменных и его необходимое условие.

а) Пусть имеется п переменных величин и каждому набору из значений (х_1,х_2,…,х_п) из некоторого множества Х соответствует одно вполне определенное значение переменной величины z. Тогда говорят, что задана ф-ция нескольких переменных z=f(x₁,…,x_n). Z=πх₁²х₂- задает объем цилиндра z как ф-цию 2-ух переменных: х₁(радиус основания) и х₂(высоты). Z=а₁х₁ +а₂х₂+…+ а_пх_п+ b, где а,…, а_п, b-постоянные числа (линейная ф-ция). Ф-ция Z=1/2∑^п_i,j=1b_ijx_ix_j (b_ij-постоянные числа) называется квадратической.

б) Частной производной ф-ции нескольких переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения ф-ции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к 0( если этот предел сущ) Z^/x, f ^/х(х,у) .

в) Точка М(х_о;у_о) называется точкой максимума (минимума) ф-ции z=f(x_,у)_, если сущ окрестность точки М, такая, что для всех точек (х;у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x_o;y_o)≥f(x;y)(( f(x_o;y_o)≤f(x;y)).

Необходимое условие экстремума. Теорема: Пусть точка (x_o;y_o)- есть точка экстремума дифференцируемой ф-ции z=f(x_,у). Тогда частные производные f ^/х(x_o;y_o) и f ^/у(x_o;y_o) в этой точке =0.

 

№35 а)Понятие об эмпирических формулах и методе наименьших квадратов.б) Подбор параметров линейной ф-ции( вывод системы нормальных уравнений).

а) Формулы служащие для аналитического представления опытных данных наз эмпирическими формулами.  Суть метода наименьших квадратов: Неизвестные параметры ф-ции у= f(x) подбираются таким образом, чтобы ∑ квадратов невязок была минимальной. Невязками наз  отклонения м/д теоретическими значениями f(x_i), полученных по формуле у= f(x) и эмпирическими значениями у_i обозначается δ_i= f(x_i)-у_i.