Шпаргалка по "Математике"

б) Предположим, что м/д х и у сущ линейная зависимость (х, у- переменные), т е  у=ах+b. ∫=∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)² должна быть min. а,b-переменные;{S^/а=0, S^/b=0}; S^/а=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, S^/b=∑^п_i=12(ах_i+b-y_i)1=0; ∑^п_i=1(ах_i+b-y_i)(х_i)=0, ∑^п₀₌₁(ах_i+b-y_i)=0; {∑^п_i=1ах_i+∑^п_i=1bх_i-∑^п_i=1y_iх_i=0; ∑^п₀₌₁ах_i+∑^п₀₌₁b-∑^п₀₌₁y_i)=0};и {а∑х_i²+b∑х_i=∑y_iх_i; a∑х_i+nb=∑y_i}.

№36 а)Дифференциал ф-ции и его геометрический смысл. б)Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка.

а)Дифференциалом ф-ции наз главная линейная относительно ∆х часть приращения ф-ции равная произведению производной на приращение независимой переменной (обозначается dy- главная линейная часть) dy= f(x) ∆х (1). Дифференциал независимой переменной х равен приращению этой переменной, тогда формулу (1) можно записать как dy= f^/(x)dх. С геометрической точки зрения дифференциал ф-ии есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику ф-ции у= f(x) в данной точке, когда х получает приращение ∆х.

Рассм график ф-ии у= f(x):

т.М –произвольная, <φ-егол наклона  касательной к ОХ. ∆у=АВ+ВК, из ∆АМВ найдем АВ: АВ=tg φМА= tg φ∆х=f ^/(х) ∆х; ∆у= f ^/(х) ∆х+ВК.

б)Инвариантность (неизменность) формулы дифференциала: Если ф-ция у= f (х), следов. dy= f^/(x)dх. Рассм сложную ф-цию у=f(u),где u=φ(х). Найдем производную ф-ции. у^/х= f ^/u∙ u^/х |∙ dх; у^/х dх= f ^/u∙ u^/х dх;  dу= f ^/u∙ du.  Т о видно, что формула дифференциала не изменится, если вместь ф-ции от независимой переменной Х рассматривать ф-цию от зависимой переменной u.

 

№52 а)Знакочередующиеся ряды. б)признак  Лейбнмца сходимости знакочередующихся  рядов.в)Абсолютная и условная сходимость рядов.

а) Под знакочередующимся рядом понимается ряд, в котором члены попеременно то положительны, то отрицательны: и₁-и₂-и₃-и₄+…+(-1)^п-1и_п+…, где и_п>0.

б)Теорема(Признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и₁ >и₂>…>u_n>…и предел его общего члена при п→∞ равен 0, т е limu_n=0,то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: S≤u₁.

в) Ряд наз абсолютно сходящимся, если сходятся как сам ряд, так и ряд, составленный из абсолютных величин его членов. Ряд наз условно сходящимся, если сам ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится.

 

№14 а)Понятие элементарной ф-ции. б)Основные элементарные ф-ии и их графики (постоянная, степенная, показательная, логарифмическая).

а) Ф-ции, построенные из основных элементарных ф-ий с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной ф-ции, наз элементарными.

б)1)Постоянная: у=b (b||OX) (рис.)

2)Степенная: А) у=х^п, п -натуральное число. Для п-четного (рис у=х², у=х⁴): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)-убывает, (0;+∞)-возрастает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х, у=х³, у=х⁵): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные. Б) у=1/х^п, п- натуральное число. Для п-четного (рис у=1/х², у=1/х⁴); 1-D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(-∞;0)- возрастает, (0;+∞)- убывает; 4-четные; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=1/х): 1- D(f)=(-∞;0)V(0;+∞); 2-Е(f)= (-∞;0)V(0;+∞); 3-(-∞;0), (0;+∞)-убывает; 4- нечетные; 5- непериодичные. В) у=х^1/п. Для п-четного (рис у=х^1/2). 1-D(f)=[0;+∞); 2-Е(f)=[0;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для п-нечетного(рис у=х^1/3): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (-∞;+∞)-возрастает; 4- нечетные; 5- непериодичные.3)Показательная: у=а^х (а>0; a≠1). Для а>1(рис): 1-D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3(-∞;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(-∞;+∞); 2-Е(f)=(0;+∞); 3- (-∞;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные. 4)Логарифмическая: (а>0; a≠1). У=log_ax. Для а>1(рис): 1-D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3(0;+∞)-возрастает; 4-общего вида; 5- непериодические. Для 0<a<1(рис): 1- D(f)=(0;+∞); 2-Е(f)=(-∞;+∞); 3- (0;+∞)-убывает; 4- общего вида; 5- непериодичные.

 

№23 а)Непрерывность ф-ии в точке и на промежутке.б) Св-ва ф-ций, непрерывных на отрезке. в)Точки разрыва.г)Примеры.

а) Функция у= f (х) наз непрерывной в точке х_о, если она удовлетворяет след условиям:1)определена в точке х_о, т е сущ f (х_о), 2) сущ конечные односторонние пределы ф-ии при х→х_о слева и справа. 3) Эти пределы равны значению ф-ии в точке f (х_о)=lim_x→xo-o f (х)= lim_x→xo+o f (х). Ф-ия у= f (х) наз непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого промежутка.

б)1^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она ограничена на этом отрезке. (рис.) 2^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b],то она достигает на этом отрезке наименьшего значения т и наименьшего М. (рис). 3^о Если ф-ия у= f (х) непрерывна на отрезке [a;b] и значения ее на концах отрезка f (а) и f (b) имеют противоположные знаки, то внутри отрезка найдется т. Е є (a;b) такая, что f (Е)=0. (рис).

в) Если в какой-либо точке х_о для ф-ии у=f(х) не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности, то точка х_о наз точкой разрыва ф-ии, причем 1)если сущ конечные односторонние пределы ф-ии, не равные др другу, т е lim_x→xo-o f (х)≠ lim_x→xo+o f (х), то точка х_о наз точкой разрыва 1-го рода. 2)если хотябы один из односторонних пределов ф-ии =∞ или несущ: lim_x→xo-o f (х)=∞, lim_x→xo+o f (х)=∞, то точка х_о наз точкой разрыва 2-го рода.

г) Пример: Исследовать ф-цию на непрерывность, установить характер точек разрыва. У=х/(х-1) х=1 1) f(1)-неопределенна, 2) lim_x→1-o х/(х-1)= -∞, lim_x→1+o х/(х-1)= +∞,

х=1- точка разрыва 2-го рада.

 

№28 Теоремы Ролля и Лагранжа (без док-ва). Геометрическая интерпретация этих теорем.

Теорема Роля: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след условиям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), 3) на концах отрезка принимает равные значения f (а)=f (b), тогда внутри отрезка сущ по крайней мере одна точка С є (a;b), производная в кот =0, f ^/(С)=0.Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Роля утверждает, что если ф-ция удовлетворяет всем указанным условиям, то внутри интервала найдется хотыбы одна точка С (в нашем сл их 3-С₁,С₂,С₃), касательная к графику в этой точке будет параллельна оси ОХ.

Теорема Лагранжа: Пусть ф-ия у= f (х) удовлетворяет след утверждениям: 1) непрерывна на отрезке [a;b],2) дифференцируема на интервале (a;b), то тогда внутри интервала (a;b) сущ по крайней мере одна точка С є(a;b), производная ф-ии в кот =отношению приращения ф-ии на этом интервале к приращению аргумента f ^/(С)=(f (b)- f (с))/ (b-с). Рассм геометрич смысл теоремы: Теорема Лагранжа утверждает, что в интервале (a;b) найдется по крайней мере одна точка С такая, что касательная проведенная к графику ф-ии в этой точке будет || прямой АВ, соединяющей концы графика ф-ии на отр АВ.

 

№24 а)Производная и ее геометрический смысл.б) Уравнение касательной к  плоскости кривой в заданной точке.

а)Производной ф-ии у= f (х)  наз предел отношения приращения ф-ции ∆у к приращению аргумента ∆х при условии, что ∆х→0: у^/=lim_∆х→0∆у/∆х.. Геометрич смысл производной ф-ии в точке: производная ф-ии в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику ф-ии в этой точке. k=f ^/(х_о).

б) у-у_о= f ^/ _хо (х_о)(х-х_о)- уравнение касательной.

 

№25 а)Дифференцируемость ф-ции одной  переменной.б) Связь м/д дифференцируемостью  и непрерывностью ф-ии (доказать теорему).

б)Теорема: Если ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, то она в этой точке непрерывна.

По усл ф-ия у= f (х) дифференцируема в точке х_о, т е сущ конечный предел lim_∆х→0∆у/∆х= f ^/(х_о),где f ^/(х_о)-постоянная величина, не зависящая от ∆х. Тогда на основании теоремы о связи бесконечно малых с пределами ф-ий можно записать: ∆у/∆х= f ^/(х_о)+L(∆х), где L(∆х)- бесконечно малая величина при ∆х→0 или ∆у= f ^/(х_о) ∆х +L(∆х) ∆х.  При ∆х→0 на основании св-в бесконечно малых устанавливаем, что ∆у→0 и следов по опред ф-ия у= f (х) в точке х_о явл непрерывной. Обратная теорема не верна. Т о неперерывность ф-ии необходимое, но не достаточное усл дифференцируемости ф-ии.

 

№37 а)Понятие первообразной ф-ции. б)Неопределенный интеграл и его св-ва (одно доказать).

а) Ф-ия F(x) наз первообразной ф-ией для ф-ии f (х) на интервале Х, если в каждой точке этого интервала F^/ (x)= f (х).

б) совокупность всех первообразных ф-ции f (х) на промежутке Х наз неопред интегралом от ф-ии  f (х). Обозначается ∫ f (х)dx=F(x)+C , (х)-подынтегральная ф-ия. f (х)dx-подынтегральное выражение, dx-дифференциал переменной интегрирования. Св-ва: 1)Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной ф-ии (∫ f (х)dx)^/= f(х). Дифференцирую левую и правую части равенства, получаем: (∫ f (х)dx)^/=( F(x)+C)^/= F^/ (x)+C^/= f (х). 2) дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению. d (∫ f (х)dx)= f (х)dx. 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой ф-ии равен этой ф-ии с точностью до постоянного слагаемого ∫ d F(x)= F(x)+С. 4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла: ∫С f (х)dx=С ∫f(х)dx; 5) Интеграл от суммы (разности) ф-ий равен сумме (разности) интегралов от этих ф-ий:  ∫(f(х)+- g(х)) dx= ∫f(х) dx +-  ∫g(х) dx.

 

№38 Метод замены переменной в неопределенном интеграле и особенности применения этого метода при вычислении определенного интеграла.

Пусть задан интеграл ∫ f (х)dx- не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу. Введем новую переменную  t след образом: х=φ(t). Dx= φ^/(t)dt. ∫ f (х)dx=∫ f [φ(t)]φ^/ (t)dt=∫ φ(t)dt-формула замены переменной в неопред интеграле.

Пусть ф-ия х= φ(t) имеет непрерывную производную на отрезке [L;B], причем а=φ(L), b=φ(B). А данная ф-ия f (х) не прерывна в каждой точке х, где х= φ(t), тогда справедлива след формула: ∫^b_a f (х)dx=∫^b_a f [φ(t)]φ^/ (t)dt-  формула замены переменной в определенном интеграле.

 

№41 а)Теорема о производной определенного  интеграла по переменному верхнему пределу. б)ТФормула Ньютона-Лейбница.

а)Теорема: Пусть ф-ия f (х) непрерывна на отрезке [a;b], тогда в каждо точке х отрезка [a;b] производная ф-ии Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной ф-ии f (х), т е Ф^/(х)=(∫^х_аf(t)dt)=f(x).

б) Пусть ф-ия у=f (х) непрерывна на отрезке [a;b], F(x)-любая первообразная для ф-ии f (х) на отрезке [a;b], тогда определенный интеграл от ф-ии f (х) на отр [a;b] равен приращению первообразной F(x) на этом отрезке: ∫^b_af(x)dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a.-формула Ньютона-Лейбница.

 

№42 а)Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования.б)Интеграл Пуассона(без док-ва)

а) Несобственным интегралом с бесконечным верхним переделом ∫^+∞_а f(x)dx от ф-ии f(x) наз предел интеграла ∫^t_а f(x)dx, t→+∞, ∫^+∞_а f(x)dx=lim_t→+∞ ∫^t_а f(x)dx. Если этот предел сущ или равен конечному числу, то интеграл наз сходящимся, а противном случае расходящимся. Аналогично: Несобственный интеграл с нижним бесконечным пределом: ∫^b_-∞ f(x)dx=lim_t→-∞ ∫^b_t f(x)dx.

 

№43 вычисление площадей плоских фигур  с помощью определенного интеграла. Примеры.

1)Пусть ф-ия у= f(x) неопределенна и неотрицательна на отр [a;b], тогда согласно геометрическому смыслу определенного интеграла S криволинейной трапеции, ограниченной кривой у= f(x), осью ОХ, слева прямой х=а, справа прямой х=b численно равна опред интегралу от ф-ии f(x) на отрезке [a;b]. S=∫^b_af(x)dx. (рис).

2)Если ф-ия у= f(x) неположительная на отр [a;b], то S над кривой  у= f(x) вычисляется по формуле : S=-∫^b_af(x)dx. (рис).

3)Пусть плоская область  ограничена сверху ф-ией у= f(x), снизу ф-ией у= g(x), слева и справа прямыми х=а, х=b, тогда ее S вычисляется по формуле: S=∫^b_a[f(x)-g(x)]dx. (рис).

    Пример: Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у= -х²,у=е^2х,х=0,х=1. (рис). S=∫¹_o(e^2x+x²)dx=∫¹_oe^2xdx+∫¹_ox²dx=| 2x=t, 2dt=dt, x=0 t=0, x=1 t=2|= 1/2∫²₀e^tdt+x³/3|¹_o=1/2e^t|²_o+1/3=1/2(e²-e^o)+1/3=e²/2-1/6 (кв.ед).

 

№45 а)Понятие о дифференциальном уравнении.б)Общее и частное решения.в) Задача Коши.г)Задача о построении матеметической модели демографического процесса.

а)Дифференциальным уравнением наз уравнение, связывающее искомую ф-цию одной или нескольких переменных, эти переменные и производные различных порядков донной ф-ии.

б)Общим решением дифференциального ур-ния g(x,y,y^/,…,y⁽ⁿ⁾)=0 n-го порядка наз такое его решение у=φ(х,с_1,…,с_п), кот явл ф-ией переменной х и произвольных независимых постоянных С_1,С₂,…,С_п. (независимость постоянных означает отсутствие каких-либо соотношений м/д ними). Частным решением дифференциального ур-ния наз решение, получаемое из общего решения при некоторых конкретных числовых значениях постоянных С_1,С₂,…,С_п.

 

№47 Однородные и линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка и их решения. Примеры.

Однородные: у^/=f(y/x). Решение: Выполняем замену у=и(х)х. у^/=и^/х+х^/и=и^/х+и. и^/х+и=f(их/х).Получили уравнение с разделяющими переменными: и^/х=f(и)и. хdи/х=f(и)-и. Пример: (ху-х²)у^/=у²-уравнение с разделяющими переменными у^/=у²/(ху-х²)=у²/х²(у/х-1)=(у/х)²/(у/х-1)-однородное уравнение. и^/х+и=f(их/х)=(их/х)²/(их/х-1); и^/х+и=и²/(и-1); dи/dx∙х=(и²/(и-1))-и; dи/dx∙х=и/(и-1); dи∙х=и(и-1) dx; (и-1)/и dи=dх/х; ∫(и-1)/и dи =∫ dх/х; ∫(и-1)/и=∫и/и-∫1/и=и-ln|и|; и=ln|u|+C=lnx; u=ln|u|+ln|x|+ln|C|; u=ln|cux|; y|x=ln|c∙y/x∙x|; y/x=ln|cy|; y=xln|cy|.

Линейные: у^/+Р(х)у=Q(x). Решение: Замена у=u(x)∙v(x) или y=uv. y^/=u^/v+v^/u, y=u(x)v(x). u(v^/+P(x) v)+u^/v= Q(x). Пусть { v^/+P(x) v =0; u^/v= Q(x)}. Каждое уравнение системы явл дифференциальным уравнением с разделяющими переменными. Решаем их и записываем общее решение, как у=u v. Пример: у^/-2у=е^2х, у= u(x)∙v(x), y^/=u^/v+v^/u, u^/v+v^/u-2 uv=е^2х; u(v^/-2v)+u^/v=e^2x; {u^/-2v=0,u^/v=e^2x}; dv/dx=2v; dv=2vdx; dv/v=2dx; ∫dv/v=2∫dx; ln|v|=2x+C (C=0); v=e^2x. u^/v=e^2x; u^/e^2x=e^2x; u^/=1; du/dx=1; du=dx; ∫du=∫dx; u=x+C; y=uv=(x+C)e^2x-общее решение.