Шпаргалка по "Математике"

Дифференциал второго порядка:

 

42 Производная по направлению и градиент

рассмотрим функцию Z=f(M) в точке М(х;у), функция определена в окрестности этой точки. Единичные вектор l={cosa;cosb}, где a и b - углы между вектором и осями. Для характеристики скорости изменения функции в точке М в направлении вектора l вводится понятие производной по направлению.

Через точку М(х;у) проводим прямую L , параллельную вектору l, на прямой возьмём точку М1 так. Чтобы направление вектора MM1 и вектора l совпадали. |MM1|=Dl, Dl=ÖDx2+Dy2. значит Z получит полное приращение DZ=f(x+Dx;y+Dy)-f(x;y). Предел отношения DZ к Dl при стремлении Dl к нулю называется производной функции Z в точке М по направлению вектора l. .

Определение: Градиентом функции Z=f(M) в точке М(х;у) называется вектор, координаты которого равны частным производным в точке М. gradZ={Zx’(M);Zy’(M)}.

Замечание: используя обозначение градиента производная по направлению может быть записана как: . Градиент показывает направление наибыстрейшего роста функции в данной точке.

 

43 Экстремум функции двух переменных

Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки M0(x0;y0).

Определение: Функция Z=f(x;y), имеет в точке М0 локальный максимум/минимум, если существует такая окрестность точки М0. в которой для каждой точки М из этой окрестности выполняется неравенство: f(M)£f(M0)- максимум / f(M)³f(M0)- минимум.

Из определения следует, что если Z имеет экстремум в точке М0, то полное приращение может быть записано: DZ=f(M)-f(M0), DZ£0- для максимума и DZ³0- для минимума.

Теорема необходимое условие для локального экстремума: Если Z=f(x;y), имеет экстремум в точке М0, и в этой точке существуют частные производные первого порядка, то они равны нулю.

Док-во: зафиксируем одну из переменных у=у0, тогда Z-функция одной переменной(зависит только от х) и она имеет производную в точке х0 и экстремум в точке х0, тогда по необходимому условию экстремума для функции одной переменной: j’(x0)=0 => fx’(x0;y0)=0.

Теорема достаточное условие локального экстремума: Пусть в точке М0 возможного экстремума и некоторой её окрестности функция Z=f(x;y) имеет частные производные второго порядка. Обозначим: Составим матрицу: , обозначим D= , тогда:

Если D>0, то точка М0 – является точкой локального экстремума,

Если D<0. то в точке М0 – экстремума нет,

Если D>0, A>0, М0 – точка минимума,

Если D>0, A<0, М0 – точка максимума.

 

44 Условный экстремум

условным экстремумом функции Z=f(x;y) называется экстремум этой функции при условии, что х и у связаны уравнением j(х;у)=0 – уравнением связи.

Если одна переменная может быть однозначно выражена через другую, то y=g(x) подставляем в функцию Z, и обычным способом находим экстремум функции одной переменной. Если это не возможно, то в общем случае задача на отыскание условного экстремума состоит в исследовании на обычный экстремум вспомогательной функции u, где u(x;y)=f(x;y)-lj(x;y), где l - неизвестный параметр =const.

Теорема необходимое условие условного экстремума: Чтобы точка М0 была точкой условного экстремума необходимо чтобы в ней выполнялось: , где функция u – функция Лагранжа, l - множитель Лагранжа.

 

 

 

45 Минимум и максимум функции двух переменных

Чтобы найти мин. и макс. функции в замкнутой области необходимо: 1) найти точку возможного экстремума. Принадлежащей данной области, вычислить значение функции Z; 2) найти условные экстремумы на границах области, вычислить в них значение функции; 3) вычислить значение функции в вершинах, если область их имеет.

 

46 Неопределённый интеграл

Определение: Если функция F(x) – первообразная для f(x) на промежутке (a;b), то множество функций F(x)+C – неопределённый интеграл от f(x).

∫f(x)dx=F(x)+C, где f(x) – подынтегральная функция, f(x)dx – подынтегральное выражение, dx – переменная интегррования.

48. Основные свойства неопределённого интеграла:

1) Производная от неопределенного  интеграла = подынтегральной функции.

2) Дифференциал от неопределённого  интеграла = подынтегральному выражению.

3) Постоянный множитель м.б. вынесен  из под знака интерала.

4) Интеграл от алгебраической  суммы/разности функций = алгебраической сумме/разности интегралов. Справедливо для любого конечного количества слогаемых.

 

47 Таблица основных интегралов

 

49 Метод подстановки

Методом подстановки (заменой переменной) называется метод, при котором введение новой переменной позволяет свести исходный интеграл к табличному.

Теорема: Пусть функция x=j(t) определена и дифференцируема на некотором множестве Т, и пусть Х-множество значений этой функции. На множестве Х определена функция y=f(x), тогда если на Х функция f(x) имеет первообразную, то на Т справедлива формула:

 

50 Метод интегрирования по частям

Теорема: Пусть функции U(x) и V(x) определены и дифференцируемы, на множестве Х и пусть функция U’(x)*V(x) имеет первообразную на этом промежутке, тогда на Х функция U(x)*V’(x) так же имеет первообразную и справедлива формула: . Док-во: [U(x)V(x)]’=U’(x)V(x)+U(x)V’(x) => U(x)V’(x)=-U’(x)V(x)+[U(x)V(x)]’, интегрируя обе части получаем:

 

51 Определённый интеграл (определение, геометрический смысл)

Пусть y=f(x), определена на отрезке [a;b]:

Разобьём этот отрезок на n произвольных частей точками a=x0<x1<x2<…<xi-1<xi<…<xn=b, причём отрезки не обязательно равные. На каждом отрезке выберем произвольную точку xiÎ[ xi-1;xi], найдём жначение функции f в точке xi. Обозначим Dxi растояние между точками xi и xi-1. найдём соответствующее произведение: f(xi)Dxi. Составим сумму этих произведений:

Сумма такого сида называется интегральной суммой функции y=f(x) на отрезке [a;b]. Обозначим в качестве .

Определние: если существует конечный предел интегральной суммы при l®0, то этот предел называется определёенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a;b] и обозначается: .

Теорема Коши: Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то определённый интеграл существует.

Геометрический смысл: площадь криволинейной трапеции, ограниченной с верху функцией y=f(x), с низу осью Ох, и по бокам прямыми х=а, х=b.

 

55 Формула Ньютона-Лейбница.

Если функция y=f(x) непрерывна на [a;b]  и F(x) – какая либо первообразная функции на [a;b], т.е. F’(x)=f(x), то имеет место формула:

Док-во: рассмотрим разность F(b)-F(a)=F(xn)-F(x0)=[F(x n)-F(x n-1)]+[F(x n-1)-F(x n-2)]+…+[F(x2)-F(x1)]+[F(x1)-F(x0)]. Разложим каждую скобку по формуле Лагранжа: F’(xn)(xn-x n-1)+ F’(x n-1)(x n-1- x n-2)+…+ F’(x2)(x2-x1)+ F’(x1)(x1-x0)=f(xn)Dxn+ f(xn-1)Dxn-1+…+ f(x2)Dx2+ f(x1)Dx1= - интегральная сумма.

По теореме Коши т.к. функция непрерывна, то определённый интеграл существует. Так .

 

52 Основные свойства определённого интеграла

1) ; 2) ; 3) ;

4) ;

5) .

53 Теорема о среднем: если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то . Док-во: =по формуле Ньютона-Лейбница, разложим по формуле Лагранжа= F’(c)(b-a)=f(c)(b-a).

 

54 Интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим интеграл . В данном интеграле нижний предел=const, а верхний предел – переменная. Величина этого интеграла является функцией зависящей от верхнего предела х, обозначим её как Ф(х) и этот интеграл назовём Интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема Барроу: Производная от непрерывной функции по переменному верхнему пределу существует и равна подынтегральной функции в точке, равной верхнему пределу, т.е. .

 

56 Не собственный Интеграл с бесконечными пределами интегрирования

Определение: пусть функция y=f(x) определена на промежутке [a;¥) интегрируема по любому промежутку внутри этого интервала, т.е. существует . Тогда если существует предел , то он называется несобственным интегралом первого рода.

Замечание: если предел существует и конечен, то несобственный интеграл – сходящийся, если предел не существует или равен бесконечности, то интеграл – расходящийся.