Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Февраля 2014 в 19:21, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы для экзамена по "Математике".
Из определения обратной функции вытекает, что функция y=f(x) имеет обратную производную тогда и только тогда, когда она задаёт взаимнооднозначное соответствие между X и Y=> любая строго монотонная функция имеет обратную производную, если исходная функция возрастает, то и обратная возрастает.
Теорема о производной обратной функции: пусть y=f(x) определена и строго монотонна в окрестности точки х0, x=f -1(y) – обратная к ней функция, тогда если функция y=f(x) имеет производную в точке х0¹0, то и обратная функция имеет отличную от нуля производную в точке y0=f(x0) и её производная вычисляется : Док-во:
Замечание: переход от Dу®0 на Dх®0 осуществим в виду того, что функция f(x) и f -1(у) дифференцируемы в точках х0 и у0, а раз функции дифференцируемы, то они не прерывны, а по второму определению непрерывности бесконечно малое приращение аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции.
18 Понятие дифференциала
Приращение функции: f(x+Dx)-f(x)=f ’(x)Dx+a(Dx)Dx.
Дифференциалом функции y=f(x) называется главная линейная часть приращения функции т.е. dy= f ’(x)Dx. Если f(x)=x, то dy=dx=(x)’ Dx=Dx.
Геометрический смысл дифференциала:
QN – величина дифференциала. Рассмотрим треугольник MNQ. tga=MN/MQ – производная в точке. NQ=f ’(x0) Dx.
Приближенное вычисление при помощи дифференциала:
f(x+Dx)-f(x)=f ’(x)Dx+a(Dx)Dx, где a(Dx)Dx – б.м.функция.
f(x+Dx)-f(x)»f ’(x)Dx
19 Производная и дифференциал высших порядков
Понятие производной n-ого порядка: если y=f(x) дифференцируема, то f ’(x) – так же является функцией аргумента х, следовательно, по отношению к ней можно ставить вопрос о её производной. Назовём производную второго порядка или второй производной производную от производной функции f ’’(x)=(f ’(x))’. Производная n-ого порядка от х:
20. Теорема Ферма: пусть y=f(x), определена на интервале (a;b), в точке х0Î(a;b) функция принимает наибольшее или наименьшее значение, тогда если в точке х0 существует производная, то она равна нулю. Док-во: пусть для определённости функция в точке х0 принимает наибольшее значение, тогда для любого хÎ(a;b), х¹х0, f(x)£f(x0). Таким образом приращение функции равно: Dy=f (x)-f(x0), где х=х0+Dх или Dy=f(х0+Dх)-f(x0). Dy£0, тогда . Рассмотрим Dх>0: Dy£0, Dx>0, f ’(x0)£0; рассмотрим Dx<0: Dy£0, Dx<0,
f ’(x0)³0. отсюда следует, что f ’(x0)=0.
Замечание: теорема не верна, если рассматривать функцию на отрезке, а не на интервале.
21. Теорема Роля: если функция y=f(x) определена на отрезке [a;b], причём выполнено: 1) функция не прерывна на отрезке, 2) функция дифференцируема в интервале (a;b), 3)f(a)=f(b), тогда найдётся такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), такая, что значение производной в этой точке равно нулю. Док-во: так как функция непрерывна на отрезке [a;b], то по теореме Вейерштрасса функция принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m, т.е. есть такие x1 и x2, принадлежащие интервалу (a;b), для которых f(x1)=M, f(x2)=m, и m£f(x)£M. Тогда возможны два случая: 1) M=m, 2)M>m. В случае 1 функция является const, f ’(x)=0. в случае 2 т.к. f(a)=f(b), то хотя бы одно из значений либо наибольшее, либо наименьшее не принимается на концах отрезка. Тогда есть точка С, в которой функция y=f(x) принимает наибольшее и наименьшее значения, а т.к. по условию функция дифференцируема в этой точке, то по теореме ферма f ’(C)=0.
22. Теорема Лагранжа: Пусть на отрезке [a;b] определена функция y=f(x), она непрерывна на этом отрезке и дифференцируема в интервале (a;b), тогда есть такая точка С, принадлежащая (a;b), для которой справедливо: . Док-во: рассмотрим вспомогательную функцию F(x)=f(x)-f(a)- , она удовлетворяет всем трём условиям теоремы Роля: 1) функция непрерывна, как разность двух функций y1=f(x), y2=f(a)+ , 2) F(x) дифференцируема на (a;b) F ’(x)=f ’(x)-0- , 3) F(a)=0, F(b)=0, F(a)=F(b). Тогда по теореме Ролля существует такая точка С, что F ’(C)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .
Замечание: равенство f(b)-f(a)=f ’(C)(b-a) называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
23. Теорема Коши: Пусть функции f(x) g(x) непрерывны на отрезке [a;b], и g’(x)¹0, тогда существует такая точка С, принадлежащая интервалу (a;b), для которой справедлива формула: . Док-во: данная формула имеет смысл в случае, если g(b)¹g(a). Если бы эти значения были бы равны, то по теореме Ролля для функции g(x) нашлась бы такая точках0, что g’(x0)=0. по условию g’(x)¹0, значит g(b)¹g(a). Составим вспомогательное уравнение: F(x)=f(x)-f(a)- . Это уравнение удовлетворяет всем трём условиям теоремы Ролля, тогда по теореме Ролля для функции F(x) найдётся такая точка С, что F’(c)=0. F’(C)=f ’(C)- =0, .
Замечание: эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных производных.
24 Правило Лапиталя
Будем говорить, что отношение двух функций f(x) g(x) при х®х0 есть неопределённость вида [0/0] если и . Раскрыть эту неопределённость значит вычислить этот предел или показать, что он не существует.
Теорема Лапиталя: Пусть функции f(x) g(x) определены и дифференцируемы в окрестностях некоторой точки х0, за исключением может быть самой точки х0. Известно, что и , g’(x)¹0. тогда если существует предел , то существует и и они равны между собой.
Док-во: применим к функциям f(x) g(x) теорему Коши на отрезке [x0;x], тогда найдётся такая точка СÎ(a;b) для которой выполняется , тогда . Переходим к пределу при х®х0: .
Замечание: теорема так же верна в случае когда рассматривается неопределённость типа [¥/¥].
25 Монотонность функций.
Признак монотонности: Если функция дифференцируема на интервале и её производная в точке принадлежащей этому интервалу больше или равна нулю, то функция является неубывающей, если производная меньше или равна нулю, то функция невозрастающая.
Док-во: рассмотрим случай f ’(x)³0. пусть x1,x2Î(a;b), x1<x2, тогда на отрезке [х1;х2] функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа, по теореме следует:
f(x2)-f(x1)=f ’(c)(x2-x1), f ’(c) ³0, f(x2)-f(x1) ³0, f(x2) ³f(x1).
26 Экстремумы функций.
Точка х0 называется точкой локального максимума функции, если для всякого х из дельта окрестности (xÎ(x0-d;x0+d)) выполняется f(x)<f(x0), и точкой локального минимума, если f(x)>f(x0).
Теорема (необходимое условие локального экстремума): Если функция имеет в точке х0 локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то её производная равна нулю. Док-во: т.к. в точке х0 функция имеет локальный экстремум, то есть такой интервал, на котором значение функции в точке х0 будет наибольшим/наименьшим среди всех других значений функции на этом интервале, что означает по теореме Ферма производная в этой точке равна нулю. Обратное не верно.
Достаточное условие экстремума: если непрерывная функция f(x) дифференцируема в дельта окрестности (x0-d;x0+d) и при переходе через неё слева направо производная меняет знак с + на -, то х0- точка максимума(если с – на + то минимума).Док-во (с + на -): Рассмотрим (x0-d;x0) для х из этого интервала на отрезке [x;x0]. Применим формулу Лагранжа. f(x0)-f(x)=f ’(c)>0*(x0-x)>0, cÎ(x;x0) => f(x0)>f(x). Рассмотрим (x0;x0+d): тогда на [x0;x], по формуле Лагранжа f(x)-f(x0)=f ’(c)<0*(x-x0)>0, f(x0)>f(x). Вывод: для любой точки из (x0-d;x0+d) выполняется условие что f(x0)>f(x) => х0-точка максимума.
28, 29 Направление выпуклостей и точки перегиба графика функций.
Определение: график функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вверх, если он расположен ниже любой касательной к графику функции на этом интервале. График функции имеет на интервале (a;b) выпуклость вниз, если он расположен выше любой касательной к графику функции на этом интервале.
Теорема: если функция f(x) имеет на интервале (a;b) вторую производную и она является положительной во всех точках этого интервала, то тогда график функции является выпуклым вниз на этом интервале (если вторая производная отрицательная, то выпуклость вверх)
Док-во: рассмотрим f ’’(x)>0 на (a;b). Возьмем точку СÎ(a;b). Необходимо доказать, что функция
на (a;b) лежит выше любой касательной. Уравнение
касательной в точке С: y=f(c)-f’(c)(x-c) наёдём
разность между функцией и касательной
используя теорему Лагранжа: f(x)-f(c)-f’(c)(x-c)=f’(c1)(x-
Определение: точка х0 называется точкой перегиба, если в этой точке график функции имеет касательную и существует (x0-d;x0+d) в пределах которой график функции слева и справа от х0 имеет разные направления выпуклостей.
Необходимое условие точки перегиба: пусть график функции имеет в точке х0 перегиб, и пусть функция имеет непрерывную вторую производную, тогда значение второй производной в этой точке равно нулю.
Достаточное условие точки перегиба: пусть функция имеет вторую производную в (x0-d;x0+d), тогда если в пределах указанной окрестности вторая производная имеет разные знаки слева и справа от х0, то график функции имеет перегиб в этой точке.
30 Асимптоты графика функций
при исследовании графика функции на бесконечность, т.е. при x®+¥ и x®-¥, а так же вблизи точек разрыва часто оказывается, что график сколь угодно близко приближается к той или иной прямой, т.е. асимптоте.
Прямая х=х0 – вертикальная асимптота графика функции y=f(x), если хотя бы один из пределов или равен ± ¥. Нахождение вертикальных асимптот: 1) точки разрыва и граничные точки на области определения 2) вычисляем односторонний предел при х стремящимся к этим точкам.
Прямая y=a – горизонтальная асимптота графика y=f(x), при х®±¥, если .
Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой к графику y=f(x) при х®±¥, если саму функцию y=f(x) можно представить в виде f(x)=kx+b+a(x), где .
Схема нахождения: вычисляем , если этот предел не существует или равен бесконечности, то функция не имеет наклонной асимптоты. Вычисляем , если его нет или он бесконечен, то асимптоты нет.
31 Схема исследования функции и исследование её графика
1. Область определения функции, промежутки непрерывности, точки разрыва, вертикальные асимптоты
2. точки пересечения с осями.
3. чётность/нечётность
4. периодичность
5. промежутки монотонности и экстремумы
6. Выпуклости, точки перегиба
7. наклонные асимптоты
32 Формула Тейлора
Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0 и имеет в этой точке производные (n+1) порядка. Тогда для любого х в (x0-d;x0+d) найдется такое x(кси)Î(х0;х), такая что справедлива формула:
- многочлен Тейлора, остаточный член в формуле Лагранжа.
Формула Маклорена: называют формулу Тейлора при х0=0.
33.функция нескольких переменных.
Предположим, что задано множество D упорядоченных пар чисел. Если каждой паре из множества D по некоторому правилу сопоставить единственную переменную zÎZ, то говорят, что на множестве D задана функция z=f(x;y).
34 Предел функции двух переменных.
Введём понятие дельта окрестности точки M0(x0;y0). M(x;y)ÎUd(M0), .
Определение: пусть функция Z=f(x;y) определена в некоторой окрестности точки М0, за исключением быть может самой точки М0. число А называется пределом функции z=f(x;y) при х®х0, у®у0. M(x;y)®M0(x0,y0).
Если для любого E>0 существует d>0, такое что для всех х¹х0, у¹у0 и удовлетворяет => |f(x,y)-A|<E
Теорема: Пусть функция f(M) и g(M) определены на одном и том же множестве D и имеют следующий предел , а , тогда функции g(M)±f(M); g(M)*f(M); g(M)/f(M), при f(M)¹0, так же имеют пределы, которые соответственно равны A±B, A*B, A/B.
Функция z=f(M) называется бесконечно малой при M®M0. Если , то тогда функция может быть представлена в виде: Z(M)=A+a(M)
Определение: Пусть функция определена в некоторой окрестности точки М0. функция f(M) называется непрерывной в точке М0, если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке
Определение: функция, непрерывная в каждой точке некоторой области называется непрерывной на всей этой области.
Определение: Точки в которых нарушается непрерывность называются точками разрыва.
Функция, z=f(x,y) называется непрерывной в точке М0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
36, 37 Частные производные
Рассмотрим функцию z=f(M) в некоторой окрестности точки М, придадим переменной х в М некоторое приращение, зафиксировав при этом у. От точки М перейдём к точке М1: М(x;у)®М1(х+Dх;у), тогда соответствующее приращение функции DxZ=∫f( х+Dх;у)-f(x;y) называется частным приращением по х в точке М.
Если существует , то говорят о том, что существует частная производная , соответственно частная производная по y: .
Если Zx’ определена в окрестности точки М и существует производная этой функции по переменной х, то это производная второго порядка.
Если существует частная производная по у, то её называют смешанной производной второго порядка.
Теорема: Если существуют смешанные производные второго порядка Zxy’’ и Zyx’’, в некоторой окрестности точки М, и непрерывны в самой точке М, то они равны между собой в этой точке.
Замечание:
38Понятие дифференцируемости
Пусть Z=f(M) определена в некоторой окрестности точки М.
Определение: функция Z=f(M) называется дифференцируемой
в точке М (х;у), если её полное приращение
может быть представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)
Теорема о связи между дифференцируемостью и непрерывностью: Пусть Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), тогда она непрерывна в этой точке.
Док-во: так как функция Z дифференцируема в точке М, то её полное
приращение м.б. представлено в виде: DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)
39. Теорема необходимое условие дифференцируемости:
Если Z=f(M) дифференцируема в точке М(х;у),
то она имеет в этой точке частные производные,
причем
. Док-во: т.к. функция дифференцируема
в точке М, то её приращение может быть
представлено в виде DZ=ADx+BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)
Теорема достаточное условие дифференцируемости: если Z=f(M) имеет частные производные в окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М. то функция дифференцируема в этой точке.
Следствие: из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции.
40 Производные сложных функций
Пусть Z=f(x;y) каждая из переменных в свою очередь является функцией от переменной t: x=x(t), y=y(t). Тогда функция Z=f(x(t);y(t)) является сложной функцией с независимым аргументом t, а х и у – промежуточные переменные.
Теорема: если функции x=x(t) y=y(t) дифференцируемы в точке t, а Z=f(x;y) дифференцируема в точке М(х;у), то функция Z=f(x(t);y(t)) дифференцируема в точке t и производная вычисляется: .
41 Дифференциал функции
Если Z=f(M) дифференцируема в точке М (х;у), то её приращение может быть представлено в виде DZ=ADx +BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy.
Определение: (dz) дифференциалом дифференцируемой функции Z в точке М называется линейная относительно в Dx и Dу часть полного приращения функции в точке М, т.е. dZ=ADx+BDy.
В правой части DZ=ADx +BDy+a(Dx;Dy)Dx+b(Dx;Dy)Dy третье и четвертое слагаемые являются бесконечно малыми функциями, по этому можно записать приближённое равенство: DZ»dZ, что используется при приближённом вычислении.