Автор работы: Пользователь скрыл имя, 26 Февраля 2014 в 19:21, шпаргалка
Работа содержит ответы на вопросы для экзамена по "Математике".
Математический анализ функции одной переменной.
1 Понятие функции.
Числовую величину х назовём переменной величиной, если она может принимать различные значения.
Х-множество всех значений х, XÎR.
Пусть существует множество YÎR. Если каждому х из Х по некоторому правилу сопоставлено единственное y из Y, то говорят, что на Х задана функция y=f(x) или
Функция определена, если заданы: множество Х(ОблОпредФункц), множество Y(МножЗначФункц), правило сопоставления элементов Y элементам Х.
Способы задания функций. Табличный, аналитический, графический, Описательный
Основные характеристики функций.
Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется чётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=f(x). Функция y=f(x), определенная на множестве D, называется нечётной, если для любого x из D, выполняется условие -xÎD, f(-x)=-f(x).
Пусть функция y=f(x) определена на D и пусть D1cD(подмножество), тогда: 1)если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)<f(x2), то функция называется возрастающей на множестве D1. 2)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)£f(x2), то функция называется неубывающей на множестве D1. 3)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)>f(x2), то функция называется убывающей на множестве D1. 4)Если для любых х1 и х2 ÎD1 выполняется x1<x2 => f(x1)³f(x2), то функция называется невозрастающей на множестве D1. для случаев 1,2,3,4 функцию называют монотонной, для 1,3-строго монотонной.
Классификация функций
Простейшими элементарными функциями называют: постоянные функции f(x)=c, c=const. степенные, показательные, логарифмические, все тригонометрические и им обратные, все функции, полученные с помощью конечного числа арифметических действий над простыми элементарными функциями, а так же суперпозиции этих функций – составляют класс элементарных функций.
Классификация: P(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm, m³0 – целая рациональная функция, или алгебраическое множество степени m. , m³0,n³0 – дробно рациональная функция. Функция, полученная с помощью конечного числа суперпозиций и их арифметических действий над степенными функциями как с целым, так и с дробным показателем и не являющихся рациональными называют иррациональными. Все функции, не являющиеся рациональными или иррациональными называют трансцендентными(логарифм, показательная).
2 Предел последовательности.
Число А называют пределом последовательности {xn}, при n®¥, если , т.е. для любого положительного числа e существует такое натуральное число N=N(e), такое что при всех n>N выполняется неравенство |xn-A|<e. n-член последовательности.
Для любого e>0, существует такой номер, что все n с бОльшими номерами попадают в e-окрестность числа А.
3 Бесконечнобольшие(б.б.) и бесконечномалые(б.м.) последовательности.
{xn}- называется бесконечно большой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|>M. ("M>0$NM:"n>N=>|Xn|>M)
{xn}- называется бесконечно малой, если для любого М>0, существует такой номер N, что для всех n с номерами n>N, выполняется условие, что |xn|<M.
Теорема: если последовательность {xn}-бесконечно большая и все её члены отличны от нуля, то последовательность -бесконечно малая и обратно, если {an}-бесконечно малая, и члены отличны от нуля, то -бесконечно большая последовательность.
Доказательство:
Пусть {xn}-бесконечно большая. "M>0$NM:"n>N=>|Xn|>M. Пусть , "n>N – бесконечно малая и обратно.
Основные свойства бесконечно малых/больших последовательностей.
Теорема: сумма и разность б.м.п. есть б.м.п. Док-во: an – б.м., bn-б.м. "e/2>0$N1:"n>N1=>|an|<e/2, "e/2>0$N2:"n>N2=>|bn|<e/2. N=max{N1,N2}, тогда "n>N будут одновременно выполнятся |an|<e/2 и |bn|<e/2 => "n>N |an+-bn| £ |an|+|bn| < e/2+e/2=e, "n>N |an+-bn| < e - бесконечно малая.
Следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть б.м.п.
Теорема: Произведение двух б.м.п. есть б.м.п.
Док-во: an – б.м., bn-б.м. Так как an – б.м., то "e>0$N1:"n>N1=>|an|<e, e=1$N2:"n>N2=>|bn|<1. N=max{N1,N2}, тогда "n>N существует |an|<e и |bn|<1 => |an|*|bn|<e*1=e, |an*bn|-бесконечно малая.
Следствие: произведение любого конечного числа б.м.п. есть б.м.п.
Замечание: частное 2-х б.м.п. может не быть б.м.п.
Последовательность {Xn} называется ограниченной, если существует такое c>0, что для всех членов последовательности выполняется: $c>0:"n>N=>|Xn|>c
Теорема: произведение ограниченной последовательности на б.м. есть б.м.п. Док-во: Пусть Xn-ограниченная, an – б.м. Так как Xn-ограниченная, то $c>0:"n>N=>|Xn|>c, так как an – б.м., то e/с>0$N:"n>N=>|an|<e/с. Тогда |Xn*an| = |Xn|*|an| < c*e/c=e, |Xn*an|<c-б.м.п.
Теорема:
Замечание:
4. Предел функции.
Основные определения.
Пусть функция f(x) определена в некоторой окрестности х0, кроме может быть самой точки х0.
Определение 1(конечный предел в конечной точке): число А называют пределом функции f(x), при х®х0, если для любого e>0, существует дельта (d)>0, зависящая от e, такое что для всех произвольных х, принадлежащих d окрестности х0 и отличных от х0 удовлетворяющих неравенству, что |x-x0|<d выполняется, что |f(x)-A|<e. Т.е. .
Определение 2 (конечный предел на бесконечности)
Определение 3 (бесконечный предел, в конечной точке)
Определение 4 (бесконечный предел на бесконечности)
Определение 5 (на языке последовательности): число А(конечное/бесконечное) называется пределом функции f(x), х®х0(конечному/бесконечному), если для любой сходящейся к х0 последовательности значений аргумента х (х1,х2,..хn) отличных от х0) соответствующая последовательность f(x1),f(x2),..f(xn) значений функции сходится к числу А.
Односторонние пределы.
Пусть f(x) определена в некоторой правосторонней d окрестности (х0;х0+d). Тогда число А1 называют пределом f(x), при х стремящемся к х0 справа, если для
Аналогично и предел слева. Если правосторонний предел существует и равен А, и левосторонний предел существует и равен А, то говорят, что существует двусторонний предел.
5 Бесконечно большие(б.б.) и бесконечно малые(б.м.) функции.
Функция y=f(x) называется бесконечно малой, если .
Функция y=f(x) называется бесконечно большой, если .
Теоремы о б.м. и б.б. функциях:
В(х)-б.б.ф., не равная нулю, то -б.м.ф.
6 Основные теоремы о пределах.
Предел суммы/разности двух функций равен сумме/разности пределов.
Функция может иметь только один предел.
Предел произведения двух функций равен произведению пределов.
Постоянный множитель может быть вынесен за знак предела.
Предел частного двух функций равен частному пределов, если предел знаменателя не равен 0.
8 Первый замечательный предел.
. Док-во: возьмём единичную окружность. Угол МОВ=х 0<x<p/2. площадь треугольника МОВ меньше, чем площадь сектора МОВ и меньше, чем площадь треугольника СОВ. |MA|=sin x, |CB|=tgx.
по теореме о сжатой переменной.
Второй замечательный предел.
7. Сравнение бесконечно малых величин.
A(x)-б.м.ф., B(x)-б.м.ф. Если
1. , то б.м.ф. одного порядка.
2. , то А(х)-бесконечно малая более высокого порядка (более высокая степень малой), чем В(х).
3. , то А(х)-б.м.ф. более низкого порядка, чем В(х).
4. не существует, то А(х) и В(х) – несравнимы.
5. , то А(х) и В(х)-эквивалентные б.м.ф.
Теорема: предел функции не изменится, если под знаком предела одну б.м.ф. заменить на эквивалентную ей.
Основные эквивалентности, используемые при вычислении предела (всё при х®0):
Sin x~x; tgx~x; arcsinx~x; arctgx~x; 1-cosx~x2/2; ex-1~x; ax-1~x*ln a; ln(1+x)~x; loga(1+x)~x/lna
9. Непрерывность функций
.Непрерывность функции в точке
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки х0, функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если существует предел в этой точке и он равен значению функции в этой точке.
Замечание: для непрерывной функции можно переставить знак функции и предела, т.е.
Dх=х-х0 – приращение аргумента функции.
Dy=f(x)-f(x0)=f(x0+Dx)-f(x0) – приращение функции, вызванное приращением аргумента.
Определение: функция y=f(x) называется непрерывной в точке х0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
функция y=f(x) называется непрерывной в интервале от a до b (a;b), если она непрерывна в каждой точке этого интервала.
Функция y=f(x) называется непрерывной на отрезке [a;b], если она непрерывна в каждой точке интервала (a;b) и в точке х=а непрерывна справа, а в точке х=b непрерывна слева.
Классификация точек разрыва
Если в точке х0 условие непрерывности нарушается, то говорят, что функция в точке х0 терпит разрыв/имеет точку разрыва.
Условие непрерывности: предел справа существует и конечен, предел слева существует и конечен, они равны между собой и равны значению функции в точке.
Точка х0 называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные пределы функции справа и слева, но не равны значению функции; если эти пределы равны, то разрыв называется устранимым.
Точка х0 называется точкой разрыва второго рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен.
10 Свойства функций, непрерывных в точке
Пусть f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности х0 и непрерывны в точке х0, тогда 1. функции f+g, f*g, непрерывны в точке х0, а функция f/g непрерывна, если g(x0)¹0.
2. Функция g(f(x)) непрерывна в точке х0 (суперпозиция)
3. элементарные функции
Свойства функций, непрерывных на отрезке (a;b)
Функция f(x) называется ограниченной на отрезке [a;b], если существует такое c=const, c>0, что модуль функции |f(x)|£c для всех xÎ[a;b], в противном случае функция называется неограниченной на отрезке.
Теорема: всякая непрерывная на отрезке [a;b] функция ограничена на отрезке [a;b]
Теорема Вейерштрасса: если функция непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значения.
Теорема: если функция непрерывна на [a;b] и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри отрезка найдётся хотя бы одна точка с, значение функции в которой равно 0.
11. Дифференцирование
Понятие производной
Рассмотрим функцию y=f(x) на интервале (a;b). Возьмём на этом интервале точку х0 и приращение на оси Ох. Прямая, соединяющая 2 точки (х0;f(x0)) и (x0+Dx;f(x0+Dx))на графике функции называется секущей.
Угловой коэффициент секущей равен отношению приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента.
Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента при стремлении последнего к нулю (при условии, что этот предел существует)
Если предел конечен, то производная конечная, если предел бесконечен, то производная бесконечна.
. Геометрический смысл производной
прямая y-y0=k(x-x0), угловой коэффициент которой равен производной функции в данной точке (k=f’(x0)) называется касательной к графику функции в данной точке.
При Dх®0, значение х0+Dх®х0, т.е. секущая стремиться занять положение касательной, так будем говорить, что касательная есть предельное положение секущей.
Геометрический смысл производной состоит в том, что она равна tg угла наклона касательной.
Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания называется нормалью. -уравнение нормали в точке х0.
13 Дифференцируемость функции
Операция вычисления производной функции называется дифференцированием.
Функция y=f(x), называется дифференцируемой в точке х0, если её приращение функции (Dy) может быть представлено: Dy=A*Dx+a(Dx)Dx, где А-число, не зависящее от Dх, а a(Dx) – бесконечно малая функция.
Теорема: для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируемой в точке х0 необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную. Док-во: необходимость: пусть функция дифференцируема в точке, тогда её приращение может быть записано как Dy=A*Dx+a(Dx)Dx. Разделим всё на Dx: , переходя к пределу: . По определению в точке х0 имеется конечная производная А. Достаточность: пусть существует конечная производная функции y=f(x) в точке х0: ,
Теорема (второе определение непрерывности): если функция y=f(x) дифференцируема в точке х0, то она и непрерывна в этой точке. Док-во: т.к. функция дифференцируема в точке, то её приращение можно записать Dy=A*Dx+a(Dx)Dx, найдем предел: , это означает, что функция в точке непрерывна. Обратное НЕ верно.
14 Правила дифференцирования.
Если функции f(x) и g(x) дифференцируемы в точке х, тогда:
(f(x)+-g(x))’=f’(x)+-g’(x) доказывается нахождением предела при Dх®0.
(f(x)g(x))’=f’(x)g(x)+f(x)g’(
(Сf(x))’=Cf’(x)
15 Производные элементарных функций
16 Производная сложной функции
y=f(u) и u=g(x), то y=f(g(x)) – сложная функция, с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.
Теорема: пусть u=g(x) – дифференцируема в точке х0, а функция y=f(u)-дифференцируема в точке u0, где u0=g(x0), тогда y=f(g(x))-дифференцируема в точке х0 и её производная находится по формуле y’(x0)=f’(u0)g’(x0). Док-во: -*, т.к функция дифференцируема в точке u0, то её производная м.б. записана: , тогда её приращение м.б. представить
f(u0+Du)-f(u0)=ADu+a(Du)Du, где a(Du)-бесконечно малая, А-производная в точке u0. f(g(x0+Dx))=f(u0+Du), f(g(x0))=f(u0). В *
17 Производная обратной функции
определение: функция y=f(x), множеству Х ставит в соответствие Y, где Х-D(f) и Y-E(f). Если каждому y из Y ставится в соответствие x из X, причем х – единственное, то определена функция x=j(y), где Y-D(j), X-E(j) такая функция x=j(y) – обратная к y=f(x), x=f -1(y).