Шпараглка по "Матанализу"

Т. Лагранжа:

если f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и дифф. внутри него, то внутри отрезка найдется такая точка с, обладающая cв-вом f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a) – формула Лагранжа(т. о конечном приращении)

Док-во:

f(с)/g(c)=(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))

y => (f(b)-f(a))/(b-a)=f ^|(a) =>

f(b)-f(a)=f ^|(c)(b-a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12. Признаки возрастания  и убывания функции.

Монотонные функции – возрастающие и убывающие функции.

f(x) на промежутке <a,b> называется возрастающей если большему значению ф-ции следует меньшее значение аргумента.

x^|<x^|| => f(x^|)≤f(x^||)

T: если ф-ция непрерывна и дифф. на промежутке, то для возрастания ф-ции необходимо и достаточно неотрицательность первой производной.

Необходимость: если f(x) возрастает

x     Δx>0

f(x+ Δx)-f(x)=Δf ≥0

Δf/Δx≥0

lim_x→Δx(Δf/Δx)≥0

если функция возрастает, то ее производная не отрицательна.

Покажем что f(x) будет возрастать:

f ^|(x)≥0 -> f(x) – возр.

x^|<x^||

f(x^||)-f(x^|)=f ^|(c)(x^||-x^|)≥0; (x^||-x^|)>0 большему значению аргумента соответствует наименьшее значение функции.

x^|<c<x^||

 

Если функция дифф на промежутке, то для убывания ф-ции необходимо и достаточно чтобы ее производная была неположительна.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13. Экстремум функции.  Достаточные условия. 

экстремум – максимум и минимум  функции.

1ая производная

f(x)     x₀

^{дифф в точке}

тогда в x₀ будет экстремум, если при прохождении x₀ 1ая производная меняет знак: если «-» → «+» - минимум;

если «+» → «-» - максимум.

2ая производная:

Пусть функция определена в  x₀ и 2жды дифф в этой точке (x₀ – стационарная точка функции f ^|(x)≠0), тогда если в точке 2ая производная больше нуля, то в точке x₀ имеется экстремум(минимум); f ^||(x)<0 – то максимум

 

 

 

14. Выпуклость функции,  точки перегиба. Достаточные условия.

Функция f(x) называется выпуклой вниз, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит выше, чем стягиваемый участок.

Функция f(x) называется выпуклой вверх, если любая хорда стягивающая график ф-ции лежит ниже, чем стягиваемый участок.

Точка перегиба – точка, в которой  меняется направление выпуклости

Т: если 2ая производная функции  f(x) на отрезке <a,b> больше нуля, то функция выпукла вниз.

если 2ая производная функции  f(x) на отрезке <a,b> меньше нуля, то функция выпукла вверх.

если при прохождении точки 2ая производная меняет знак, эта точка  – точка перегиба.

 

 

 

 

 

15. Асимптоты, их нахождение.

Асимптота – прямая линия, если расстояние между точками графика и этой прямой стремится к 0, при удалении точек графика к ∞

Асимптота:

1) наклонная; вид – x=число

2) вертикальная; вид – y=kx+и

могут находится в точках бесконечного разрыва

Наклонные:

если сущ. 1)lim_x→+∞(f(x))/x=k

2) lim_x→+∞(f(x)-f(x))=b, то прямая линия kx+b будет асимптотой. НЕ БОЛЬШЕ 2х АСИМПТОТ!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16. Теоремы Лопиталя.

1) Пусть даны f(x) и g(x) в окрест. точки x₀, кот обладает след. cв-вами:

1. lim_x→x0f(x)= lim_x→x0g(x)=0

2. f(x) и g(x) дифф функции в этой окрестности, причем g^|(x)≠0

Тогда если сущ. lim_x→Δxf^|(x)/g^|(x)=k, то этот предел lim_x→x0f(x)/g(x)= lim_x→x0f^|(x)/g^|(x) (т.е. предел отношений) функции можно заменять пределом отношения их производных, при условии что производная сущ.

Док-во:

f(x)-f(х₀)/g(x)-g(х₀)=f ^|(c)/g^|(c)

если x→х₀, c→х₀, тогда если lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k, тогда lim_x→x0f(x)/g(x)=k

2) Пусть 

1. f(x)→+∞, при x→х₀, п(x)→+∞, x→х₀

2. f(x) и g(x) -> дифф., g^|(x)≠0

тогда, если сущ.

lim_x→x0f(x)/g(x)=k, то lim_x→x0f^|(x)/g^|(x)=k

 

 

 

 

 

17. Формула Тейлора  с остаточным членов в форме  Лагранжа и Пеано.

представление многочлена в форме  Тейлора:

P_n(x)=a₀+a₁x+…+a_nxⁿ=c₀+c₁(x-x ^–)+c₂(x-x ^–)² +…+c_n(x-x ^–)ⁿ

 

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)(x-x₀)/1!+ f ^||(x)(x-x₀)²/2! +…+ f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+ f ⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!

формула Тейлора с останочным членом в форме Лагранжа

f(x)=f(x₀)+f ^|(x)/1!+…+

f ⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!+O(x+x₀)ⁿ

формула Тейлора с останочным членом в форме Пеано

Теорема №1: Если функция f имеет в окрестности точки x₀ непрерывную производную fⁿ⁺¹(х), то для любого х из этой окрестности найдется точка сÎ(х₀,х) такая, что f(x) можно записать по формуле

Здесь с зависит от х и n. Если точка х₀=0, то формулу (3') наз. формулой Маклорена. Известны и другие формы остаточного члена формулы Тейлора. Большое значение имеет форма Коши

где q(0<q<1) зависит от n и х. Уменьшая окрестность точки, получим, что производная f^(n+l)(x) есть непрерывная функция от х на замкнутом отрезке [x₀–d,x₀+d]. Но тогда она ограничена на этом отрезке:

|f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)|£M_n (x₀–d£x£x₀+d) {2}. Здесь M_n –положительное число, не зависящее от указанных х, но, вообще говоря, зависящее от n. Тогда

Неравенство {3} можно использовать в двух целях: для того чтобы исследовать поведение r_n(х) при фиксированном n в окрестности точки и для того, чтобы исследовать поведение r_n(х) при n®¥. Из {3}, например, следует, что при фиксированном n имеет место свойство r_n(x)=o((x–x₀)ⁿ), x®x₀ {4}, показывающее, что если r_n(х) разделить на (х–x₀)ⁿ, то полученное частное будет продолжать стремиться к нулю при x®x₀. В силу (13) из (8') следует:

Эта формула наз. формулой Тейлора с остаточным членом в смысле Пеано. Она приспособлена для изучения функции f в окрестности точки x₀.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

Рассмотрим любую функцию  f(x), которая имеет непрерывные производные всех порядков до (n+1)-го в некоторой окрестности точки x₀. Мы можем формально составить многочлен

который наз. многочленом Тейлора n-й степени или n-м многочленом Тейлора функции f по степеням х–x₀. Многочлен Q_n(x) совпадает с функцией f(х) в точке x₀ но для всех х он не равен f(х) (если f(х) не является многочленом степени n). Кроме того, Q'_n(x₀)=f'(x₀),...,Q⁽ⁿ⁾_n(x₀)=f⁽ⁿ⁾(x₀) {2}. Положим f(x)=Q_n(x)+r_n(x) {3}. Формула {3} носит название формулы Тейлора для функции f(x); r_n(х) наз. остаточным членом формулы Тейлора, – подробнее, n-м остаточным членом формулы Тейлора функции f пo степеням х–x₀. Функция r_n(х) показывает, какую погрешность мы допускаем при замене f(x) на многочлен Тейлора {1}.

Найдем выражение для r_n(х) через производную f⁽ⁿ⁺¹⁾(х). В силу {2} и {3} r_n(x₀)=r'_n(x₀)=...=r⁽ⁿ⁾_n(x₀)=0. Положим j(х)=(х–x₀)ⁿ⁺¹. Ясно, что j(x₀)=j(x₀)=...=j⁽ⁿ⁾(x₀)=0. Применяя теорему Коши к функциям r_n(х) и j(x), будем иметь

 

Формула (3') наз. формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

18. Разложение функций  по формуле Тейлора(sinx, cosx, expx, ln(1+x), arctgx, (1+x)^a)

 - y=sinx

x₀=0

y^|=cosx    y^|(0)=1

y^||=-sinx   y^||(0)=0

y^|||=-cosx  y^|||(0)=-1

y^|V=sinx   y^|V(0)=0

sinx=x-x³/3!+x⁵/5!-…+

(-1)x^2n-1/(2n-1)!+O(x^2n-1)

- y=cosx

cosx=1-x²/2!+x⁴/4!-…+(-1)^mx^2m/(2m)!+r_2m+1

  - y=ln(1+x)

ln(1+x)=x-x²/2+x³/3-…+(-1)^n-1xⁿ/n+r_n(x)

- y=arctgx

arctgx=x-x³/3+x⁵/5-…+

(-1)^m-1x^2m-1/(2m-1)+r_2m(x)

- y=e^x

e^x=1+x/1!+x²/2!+…+xⁿ/n!+O(xⁿ)

- y=(1+x)^a

(1+x)^a=1+ax+a(a-1)x²/1*2+…+

a(a-1)…(a-n+1)xⁿ/1*2*…*n+r_n(x)

 

1)y=e^x, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=e^x|_x=0=1

y’’(0)=e^x|_x=0=1

y⁽ⁿ⁾(0)=e^x|_x=0=1

n=1    e^x=1+x+o(x),x®x₀

2) y=sinx, x₀=0

y(0)=0

y’(0)=cos|_x=0=1

y’’(0)=-sinx|_x=0=0

y’’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’’(0)=sinx|_x=0=0

если n – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k

 

3) y=cosx, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=-sinx|_x=0=0 ^*

y’’(0)=-cosx|_x=0=-1

y’’’(0)=sinx|_x=0=0

y’’’’(0)=cosx|_x=0=1

если n=2k – чётное, то y⁽ⁿ⁾(0)=(-1)^k; n=2k+1 – нечётное y⁽ⁿ⁾(0)=0

4) y=ln(1+x), x₀=0

y(0)=ln1=0

y’(0)=1/(1+x)|_x=0=1

y’’(0)=1(-1)/(x+1)²|_x=0=-1

y’’’(0)=(-1)(-2)/(x+1)³|_x=0=(-1)(-2)

y’’’’(0)= (-1)(-2)(-3)/(x+1)⁴|_x=0=(-1)(-2)(-3)

y⁽ⁿ⁾=[(-1)(-2)(-3)…(-n+1)]/(1+x)ⁿ|_x=0=(-1)^n-11·2·3…(n-1)=(-1)^n-1(n-1)!

 

 

 

 

5) y=(1+x)^p, x₀=0

y(0)=1

y’(0)=p(1+x)^p-1|_x=0=p

y’’(0)= p(p-1)(1+x)^p-2|_x=0=p(p-1)

y’’’(0)= p(p-1)(p-2)(1+x)^p-3|_x=0=p(p-1)(p-2)

y⁽ⁿ⁾=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)(1+x)^p-n|_x=0=p(p-1)(p-2)…(p-n+1)

Если р – натуральное, то y⁽ⁿ⁾(0)=0 n³p+1

 

(либо n<p, если p-натуральное)

^* o’º1      x²ⁿ⁺²=x·x²ⁿ⁺¹=o(x²ⁿ⁺¹⁾