Шпараглка по "Матанализу"

1. Множества и операции  над ними.

Множество – совокупность объектов выделяемых нами по каким-то признакам. (X)

Элемент множества – объекты составляющие множество. (x)

x X

Отношение включения: Множество А содержится в множестве В, если каждый эл-т множества А является и элементом множества В. А В

Два множества называются равными (А=В), если выполняются 2 включения: А В, В А

Подмножество множества А – любое множество содержащееся в А. А А

В называется собственным подмножество А, если В содержится в А. Если В≠А, В – несобственное подмножество А.

Операции над множествами:

- Объединение множеств – такое множество, которое состоит из всех элементов, по крайней мере принадлежащих одному из множеств А и В. А В

-  Пересечение множеств – множество состоящее из элементов, принадлежащих и множ. А и множ. В. А В

- Пустое множество – если множество не содержит ни одного элемента.

- Непересекающиеся множества – если их пересечение пустое множество.

- Разность 2х множеств – множеств состоящее из эл-тов А, но не приналежащее множеству В. А\В

- Дополнением к множеству А называется множество состоящее из элементов, не принадлежащих можеству А. СА

- Произведением множеств Х и Y называется множество из упорядоченных пар (x,y), где х€Х, у€ Y.

X Y, X Y≠ Y X

Свойства:

1) ССА=А

2) А В= В А

     А В= В А

3) А (В C)= (А В) C

     А (В C)= (А В) C

4) А (В C)= (А В) (А C)

    А (В C)= (А В) (А C)

Множества:

N – множество натуральных чисел N={1, 2, 3…}

Z – множество целых чисел {0, +-1,+-2…}

R – множество действительных(вещественных) чисел

N Z R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Отображения

Если между X и Y соответствие и элемент x сопоставляется y(x€X–>y€Y), то говорят, что задана ф-ция f, зависимости Х и Y(f:X–>Y или y=f(x))

f:X–>Y

- сюръективное, если Y_f=Y (f: отображ. множество Х на все множество Y)

- инъективное, если x₁≠x₂ => f(x₁)≠f(x₂) (разные элементы множества Х не могут одновременно сопоставляться с одним и тем же элементом Y)

- биективное, если оно одновременно является сюръективным и инъективным.

f:X–>Y; А X тогда образом А при отображении f, называется множество В Y такое, что для любого элемента b€И существует a€A такой, что f(a)=b. f(A) – образ множества А

f:X–>Y; В Y тогда прообразом В при отображении f, называется множество А Х такое, что любой элемент а€А имеет значение b=f(a)€B

f^-1(B) – прообраз множества В

Обратное отображение:

Пусть дано биективное отображение 

f:X->Y. Тогда по определению биекции для каждого y€Y существует в точности один x€X, такой что f(x) = y. Таким образом построена функция y€Y->x€X. Эта функция называется обратной к F и обозначается F ⁻¹

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Топологические структуры.  Классификация точек множества.

Даны множества Х и Т. Топологическая структура множества X, если для его эл-тов выполняется 2 аксиомы: 1)объединение любого числа эл-тов из Т. 2)конечное пересечение эл-тов из Т также принадлежит Т.

множество входящее в семейство  Т – открытое множество.

Тривиальная топология: T={ ,X}

Дискретная топология: Т – множество всех подмножеств множества Х.

А называется замкнутым в Х, если его дополнение X\A из аксиом.

Любое конечное пересечение замкнутых  множеств является замкнутым множеством. Любое конечное объединение замкнутых  множеств явл. замк. множ.

Классификация точек  множества.

Предельная точка Х – точка x, кот обладает cв-вом: любая окрестность точки х содержит точки множ-ва Х отличные от х.

Изолированная точка Х – точка, у которой есть окрестность, кот. не содержит точки множ-ва Х за исключ. самой точки х.

Внешняя точка Х – точка, кот не € множ-ву Х и имеется окрестность этой точки не перечек. с Х.

clX=C(intX): cl – замыкание, int – внутренность.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.Модуль и его свойства.

Модуль вещественного числа x есть расстояние от x до нуля.

Более точно: Модуль x есть неотрицательное число, обозначаемое |x|, определяемое следующим образом: если x ≥ 0, то |x|=x; если x < 0, то |x| = −x. Для абсолютной величины имеют место следующие соотношения:

|a| ≥ 0

|a| = 0 тогда и только тогда,  когда a = 0.

|ab| = |a||b|

 

Модуль действ.  числа  и его свойства.

 

Модуль  и основные неравенства.

 

            x; x>0

|х|=      0; x=0

            -x; x<0

|x|<h   Û -h<x<h           |x|>hÛ      x>h

 h>0                                                  x<-h

 

1. " а,b Î R: |a±b|£|a|+|b|
2. " а,b Î R: |a-b|³||a|-|b||

Можно рассматривать  окрестности бесконечности:

О_ε(+¥)={xÎR:x>ε}    (//////////        x

                           ε>0               ε

О_ε(-¥)={xÎR:x<-ε} ///////////)  ·   x

   ε>0                         -ε  0

 

О_ε(¥)={xÎR:|x|>ε}        \\\\\\)   _·    (//////    x

         x>ε;x<-ε                                       -ε                    ε

 

 

 

 

1. Предел числовой  последовательности.

если каждому натуральному n поставлено число х_n, то говорят что задана числовая последовательность х₁,x₂…x_n={x_n}

O:Числ. посл. называется занумерованная совокупность чисел рассматриваемая в порядке возрастания. Общий эл-т последовательности является функцией от n. x_n=f(n)

O: Последовательность {x_n} – ограниченная, если существует M>0, что для любого n верно: |х_n|<M, т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-M;M)

O: Последовательность {x_n} – ограниченная сверху, если для любого n сущ. M такое, что x_n≤M

O: Последовательность {x_n} – ограниченная снизу, если для любого n сущ. M такое, что x_n≥M

O: Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного ξ>0 сущ. такой номер N, что для всех n>N выполняется: |a-x_n|<ξ (запись limx_n=a), в таком случае говорят, что {x_n} сходится к а при n→∞

C: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом, если сходится она из них, то сходится и другая.

O: число а назыв. пределом послед. {x_n}, если в ξ окрестности содержится только конечное число членов числ. послед.

 

 

 

 

 

 

2.Основные теоремы о пределах

1) последовательность  не может иметь более одного  предела. док-во:

предположим что посл. имеет 2 предела  a и b, a≠b. Тогда по опред. существ. ξ>0, что |a-x_n|<ξ/2, |b-x_n|<ξ. Запишем |a-b|=|(a-x_n)+(x_n-b)|≤|a-x_n|+|x_n-b|<ξ/2+ξ/2=ξ, т.к. ξ-любое число, то |a-b|=0, т.е. a=b

2) теорема о пределе модуля: если  x_n→a, то |x_n|→|a|. Док-во:

из x_n→a след, что |x_n-a|<ξ. В то же время ||x_n|-|а||≤|x_n-a|, т.е. ||x_n|-|а||<ξ, т.е. |x_n|→|a|

3) Если x_n→а, то послед. {x_n} ограничена.

Монотонная последовательность:

O: 1. если x_n+1>x_n для всех n, то последовательностьвозрастающ. 2. если x_n+1≥ x_n, для всех n, то послед. не убывающая. 3. если x_n+1<n, то последовательность убывающая 4. если x_n+1≤ x_n, то послед. невосрастающая

Т: монотонная огранич. посл. имеет предел. док-во:

монотонная ограниченная посл. –  посл. огранич. сверху x_n≤M, М – некоторое число.

т.к. любое ограниченное сверху множ-во имеет четкую верхнюю грань, то для  любого ξ>0 сущ. такое x_n>a-ξ ->  a-ξ<x_n<a+ξ

-ξ<x_n-a<ξ или |x_n-a|<ξ, т.е. limx_n=a

4) О разности. Для того чтобы  число А было пределом числ. посл. {а_n} необходимо и достаточно чтобы разность между посл.   |а_n-А|→0. Необходимость! сущ. {а_n}=A это означ, что для любого ξ>0 сущ. N_ξ, такое что n>N_ξ и выполняется: |а_n-А|<ξ <-> b_n=а_n-А <-> |b_n|<ξ <-> |b_n-0|<ξ

Достаточность! а_n-А→0, любое ξ>0 сущ. N_ξ n>N_ξ

 

 

3. БМВ. Теоремы о  БМВ

Числ. посл. называется бесконечно малой, если ее предел = 0. БМ функция может быть только если указать  у какому числу стремится аргумент х. При различных а функция  может быть бесконечно малой или  нет.

T: для того, чтобы f(x) при x→a имела предел равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки x=a выполнялось условие f(x)=A+α(x), где α(x) – БМВ при x→a(α(x)→0 при х→а)

Св-ва: 1) сумма  БМВ явл БМВ 2) произвед. 2х  БМВ  есть БМВ 3) произведение ограниченной последовательности БМВ есть БМВ 4) если БМВ умножить на const то получ. БМВ 5) частное от деления БМВ, предел которого ≠ 0, есть БМВ

 

 

4. Свойства пределов  выражаемые равенствами.

1. Предел постоянной числовой  последовательности есть сама  последовательность.  lim_n→∞C=C

2. Постоянный множитель можно  выносить за знак предела  limCx_n=C limx_n

3. Предел суммы 2х числ. последовательностей  равен сумме пределов

lim(x_n+y_n)=limx_n+limy_n

4. предел произведения 2х числ. послед. равен произведению пределов

lim(x_ny_n) =limx_nlimy_n

Док-во: x=lim_n→∞x_n y=lim_n→∞y_n, y_n=y+β_n x_n=x+α_n, α_n,β_n – БМВ

limx_nlimy_n=lim((x+α_n)(y+β_n))=lim(xy+xβ_n+ yα_n+α_nβ_n)=limxy+limxβ_n+limyα_n+limα_nβ_n=xy= limx_nlimy_n

5. lim(x_n/y_n) =limx_n/limy_n, limy_n≠0

 

 

 

5. Свойства пределов выражаемые  неравенствами

1) Tеорема о предельном переходе в неравенство: Пусть для всех х_n, х_n не превосходит y_n, тогда предел х_n не превосходит y_n.

Док-во:

x=lim_n→∞х_n, y=lim_n→∞y_n

I x≤y II x>y – не выполн.

рассм II.

пусть x-y/2=ξ

ξ>0, сущ. N_ξ(N^||_ξ), такое что для всех n>N_ξ(n>N^||_ξ) и |х_n-x|<ξ(|y_n-y|<ξ). n_ξ=max N^|_ξ, N^||_ξ y<n

x-ξ< х_n<x+ξ

y-ξ< y_n <y+ξ x>y – не верно.

2) если f(x)>0 вблизи точки x=a и lim_x→af(x)=A, то А>0

3) если g(x)≤f(x)≤u(x) вблизи х=а, то и limf(x)=limg(x)=limu(x)=A

4) если ф-ция f(x) имеет конечный предел при х→а, то она ограничена вблизи точки х=а.

Док-во:

пусть lim_x→af(x)=A; т.е. |f(x)-A|<ξ, тогда

|f(x)|=|f(x)-A+A|≤|f(x)-A|+|A| или |f(x)|<ξ+|A|, т.е. |f(x)|<M, где M=ξ+|A|

 

6.Принцип вложения  отрезков. Теорема о «2х милиционерах»

1. Множество, элементами которого  явл. отрезки наз. системой  отрезков.

2. Система замкнутых  отрезков [a_n,b_n] назыв. стягивающей если а) V_n[a_n+1,b_n+1] [a_n,b_n], т.е. каждый посл. отрезок расположен внутри предыдущего. б) b_n-a_n→0, n→∞, т.е. длины отрезков стремятся к 0. в) для любой системы замкнутых стягивающих отрезков сущ. единств. точка, принадлежащая всем отрезкам. Док-во:

1. рассм. множество  {a_n} левых концов наших отрезков. Очевидно что: а) a_n↑ б) сущ. n, a_n<b₁ поэтому сущ. конечный lim_n→∞a_n

2. рассм. множество  {b_n} правых концов наших отрезков => a) b_n ↓ б) сущ. n b_n>a₁, поэтому сущ. lim_n→∞b_n

3. Т.к. по усл. lim_n→∞(b_n-a_n)=0, то lim_n→∞b_n- lim_n→∞a_n=0 => lim_n→∞a_n= lim_n→∞b_n, обозначим этот общ. предел через с.

4. т.к. a_n↑ а b_n ↓, то очевидно что сущ а_n≤с≤b, т.е. точка С€[a_n,b_n] (она принадлежит всем отрезкам сразу)

Теорема о «2х милиционерах»

Пусть имеется 3 числ. последовательности {х_n},{y_n},{z_n} и между членами этих последовательностей выполняется неравенство: х_n≤z_n≤y_n

тогда, если lim_n→0х_n= lim_n→0y_n, то lim_n→0z_n существует.