Шпараглка по "Матанализу"

lim_Δt→0(ΔS/Δt) – рассч. этот предел получим мгновенную скорость. Физ. смысл -> показывает скорость изменения данного процесса. Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения lim_x→Δx((f(x)-f(x₀))/x- x₀)=lim_x→ΔxΔf/Δx

Δf=f(x)-f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

Δx=x- x₀

Если в данной точке  имеется конечная производная, то говорят, что функция в этой точке дифференцируема. Функция называется дифференцируемой, если она дифф. в каждой точке области определения.

T: Если f(x) дифф. в точке x₀, то она непрерывна в этой точке. Док-во:

f(x)     f(x₀)

lim_x→0Δf/Δx = f ^|(x₀)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀) – БМВ(Δx→0)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀)=α(x)

f(x₀+Δx)-f(x₀)=f ^|(x₀)Δx+α(x)Δx ф-ция непрерывна в x₀

Односторонней производной функции f(x) в точке x₀ называется производная справа(lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|₊(x₀); Δx>0) или слева(lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|_-(x₀); Δx<0).

T: Для того чтобы функция была дифф в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы сущ. и были равны односторонние производные.

Геометр. смысл: (показать tg угла наклона)

секущей называется любая

прямая проходящая через M₀

Линия предельных положений  –

касательная к графику в точке M₀

y-y₀=k(x- x₀)=(Δy/Δx)(x- x₀)

y-y₀=y^|(x₀)(x- x₀)

y^|(x₀)=tgα

2. Теорема о непрерывности  дифференцируемой функции.

Если ф-ция f(x) дифф. в точке x₀, то она и непрерывна в этой точке.

lim_Δx→0Δf/Δx=f ^|(x₀)

Δf=f(x)- f(x₀)=f(x₀+Δx)-f(x₀)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀) – БМВ(Δx→0)

(f(x₀+Δx)-f(x₀))/(Δx) - f ^|(x₀)=α(x)

f(x₀+Δx)-f(x₀)=f ^|(x₀)Δx+α(x)Δx

Δf ^|| - БМВ

Ф-ция f непрерывна в точке x₀

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Правила дифференцирования.

1) f(x)=const, то f  ^|(x)=0

2) [C(f(x))]^|=C*f ^|(x)

C(f(x))=g(x)

lim_x→0(Δg/Δx)=lim_x→0(Cf(x)-Cf(x₀))/(x-x₀)= Clim_x→0(f(x)-f(x₀))/(x-x₀)=Cf ^|(x₀)

 

3. Производная алгебраической суммы равна алгебраической сумме производных. .

Покажем это. Пусть некоторая  функция у, равная имеет приращение . Тогда функции и тоже должны получить приращения  и , соответственно. Новое значение будет , а для – , следовательно,

Найдем  по определению (2) производной

.

4. Производная произведения равна . Покажем справедливость этого равенства.

Если, как в первом случае, дать приращение , то функции u  и v также получат приращение, следовательно, и функция тоже изменится. Найдем .

.

По определению производной

Если необходимо вычислить  производную нескольких сомножителей, например, , если все три функции имеют производные в точке , используя правило вычисления производной для двух сомножителей, получим

5.  Производная частного. Рассмотрим функцию , причем, кроме существования производных в точке для функций и необходимо положить, что в точке отлична от нуля.

Найдем  .

и тогда из определения  производной имеем

.

 

 

 

4. Производная сложной  функции.

Для того чтобы функция была дифф в точке x₀, необходимо и достаточно, чтобы ее приращение Δf было представлено в виде:

Δf=AΔx+БМВ, А – const

неопределенность:

f(x)     x₀        f ^|(x₀)

lim_Δx→0(Δf/Δx)=f ^|(x₀)

(Δf/Δx)- f ^|(x₀)=БМВ

Δf= f ^|(x₀)Δx+БМВΔx

Достаточность:

Δf=AΔx+БМВ | :Δx

Δf/Δx=А+БМВ/Δx

БМВ/Δx→0

БМВ должна быть более высокого порядка  чем Δx.

Теорема о производной сложной функции

y(x)      x₀        y ^|(x₀)=y^|₀

z(x)      y₀       z ^|(y₀)= z^|₀

y₀=y(x₀)

z(y(x))= (x₀)

(x₀)=z ^|_y(y₀) y ^|_x(x₀)= z ^|₀ y ^|₀

Δ = (x₀+Δx)- (x₀)=z(y(x₀+Δx))-z(y(x₀))= z(y₀+Δy)-z(y₀)=Δz=z^|(y₀)Δy+α= z^|(y₀)[y^|₀(x₀)Δx+β]+α= z^|(y₀)y^|₀(x₀)Δx+z^|(y₀)β+α; z^|(y₀)β+α – БМВ

• (x₀)= z ^|(y₀) y ^|(x₀)= z ^|₀ y ^|₀

 

 

 

4. Производная сложной функции. Пусть дана , где . Тогда имеет место теорема, которую приведем здесь без доказательства.

Теорема. Если функция имеет в точке производную и функция имеет в точке производную , тогда сложная функция имеет в точке производную, равную

         

 

5. Производная обратной  функции.

y=y(x) дифф. в точке x₀      y₀=y(x₀)   y^|(x₀)≠0

x=x(y) -> обратная ф-ция y, тогда в точке у₀ функция х дифференцируема и ее производная х^|(y₀)=1/y^|(x₀)

х^|(y₀)=lim_Δy→0(Δx/Δy)=lim_Δy→0(1/(Δy/Δx))= lim_Δx→0(1/(Δy/Δx))= 1/y^|(x₀)

 

 

 

6. Производная обратной функции.

Теорема. Если имеет в точке производную, отличную от нуля, тогда в этой точке обратная функция также имеет производную и имеет место соотношение

.                           (6)

Пользуясь этой теоремой, найдем производные  обратных тригонометрических функций.

1. на интервале . ,  тогда , откуда следовательно, .

2. . .  , откуда

3. . ; , откуда

4. ;  ;

5. , где и являются функциями от . Для нахождения применим формулу (5). Для этого предварительно найдем функцию

и ее производную

.

По формуле (5) получаем .

Эту же формулу можно получить иначе. Представим в виде

и найдем производную этой функции

.

 

 

 

 

6. Производная элементарных  функций.

 

№ п/п	Функция	Производная	№ п/п	Функция	Производная
1.	C – const		11.
2.			12.
3.			13.
4.			14.
5.			15.
6.			16.
7.			17.
8.			18.
9.			19.
10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Дифференциал функции.  Свойства и геометрический смысл.

Δf=AΔx+БМВ; AΔx=дифф. функции в данной точке.

Дифф. функции у – это приращение ординаты касательной, проведенной к графике в точке x₀.

Cв-ва:

1) y=x, согл. опр.

dy=x^|Δx=Δx

dx=Δx дифф. независ. аргумента – приращение этого аргумента.

df=f^|dx

 

 

 

 

 

 

8.Инвариантность(неизменность) формы первого дифференциала.

z=z(y) y=y(x)

dz=z^|_ydy   (3)

dz=z^|_xdx=z^|_yy^|_xdy=z^|_ydy

Св-ва:

dC=0

dCf=Сва

d(f±g)=df±dg

d(fg)=gdf+fdg

d(f/g)= gdf-fdg/g²; d(fg)=(fg)^|dx=(f^|g+fg^|)dx=

f^|dxg/df+ fg^|dx/dg=df+dg

Первый дифференциал функции  Z выражается по одной и той же формуле независимо от того, будет ли Z рассматриваться как функция от независимой переменной x или от зависимой переменной Y.

Форма первого дифференциала  (3) сохраняется , поэтому говорят, что первый дифференциал имеет инвариантную форму или еще имеет инвариантное свойство.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Производные функции,  заданных параметрически и неявно.

Парамеричемки:

y^|_x=dy/dx=y^|_tdt/x^|_tdt=y^|_t/x^|_t

y^|_x=y^|_t/x^|_t

пример:

y^|_x-? y^||_x-?

y^|_x=(t²)^|/(cost)^|=-2t/sint

y^||_x^2=(y^|_x)^|

y^||_x^2=(-2t/sint)^|/(cost)^|==(2sint-2tcost)/(sin³t)

Неявно:

F(x,y)=0

y=y(x)

пример: xcosy+y=0 y^|_x-?

y=y(x)

cosy+x(-siny)y^|+y^|=0

y^|=-cosy/1-xsiny

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Производные и дифференциалы  высших порядков.

Производная n-ого порядка – производная от производной (n-1)-ого порядка.

f ^||(x) – II порядок

f ^|||(x) – II порядок

f ^|V(x) – II порядок

f^V(x) – II порядок

f⁽ⁿ⁾(x)

f⁽ⁿ⁾(x)= (f^(n-1)(x))^|

пример:

y=arctgx

y^|=1/1+x²

y^||=(1/1+x²)^|=-2x/(1+x²)²

Дифференциал n-ого порядка – дифференциал от (n-1)-ого порядка.

dⁿf(x) – обозначение

dⁿf(x)=d(d^(n-1)f(x))

Пусть имеется f(x), x – независимый аргумент.

dⁿf=f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ

11. Теоремы Ферма, Ролля,  Коши и Лагранжа.

Т Ферма: (необходимый признак экстремума)

экстремум – максимум и минимум  функции.

T: Если функция в точке х₀ имеет экстремум и дифф. в этой точке, то ее производная равна нулю.

y=f(x)  х₀ – экстремум max

берем производную в точке х₀

f ^|(x)=lim_Δx→0(Δf/Δx)

если Δx>0 тогда Δf/Δx≤0

если Δx<0 тогда Δf/Δx≥0

=> f ^|(х₀)=0

Т Ролля:

Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема внутри его и принимает на его концах равные значения, то сущ. точка с внутри отрезка такая, что в этой точке f  ^|(x)=0

f  ^|(c)=0

f(x)    m     M

По Т. Вейерштрасса (могут приниматься  I либо на концах II либо внутри промежутка)

I f(a)=f(b)

m=M=>f(x)=const сущ. точка с, что произв. равна 0

II M=f(х₀), х₀€(a,b)

По Т.Ферма в этой точке производная  равно 0.

Т. Коши:

Пусть f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и производная g^|(x) не 0. Тогда справедлива формула:

(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c)  c€(a,b) – некоторая точка опр. внутри отрезка

Док-во:

h(x)=f(x)+λg(x) λ-какое-то число

λ – мы выберем такое, чтобы  h принимало равные значения на концах отрезка.

h(a)=h(b)

f(a)+λg(a)=f(b)+λg(b)

λ= (f(a)-g(b))/(g(b)-g(a))

h(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g(b)

По Т. Ролля сущ. точка с, где  h^|(c)=0

h^|(x)= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b) 
0= f ^|(x)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))*g^|(b) => 
(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f(c)/g^|(c)