Развитие младших школьников в процессе обучения математике

Это правило (общее суждение) – общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка.

Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2». Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.

Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения отсутствуют в курсе математики начальных классов.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом:

«Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число».

Составляя таблицы П+1 и П – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение:

«4<5 потому, что 4 при счете называется раньше, чем 5». В данном случае общая посылка: если одно число называется при счете раньше другого, то это число меньше; частная посылка: 4 при счете называют раньше, чем 5; заключение: 4<5.

Дедуктивные рассуждения имеют место в начальном курсе математики и при вычислении значений выражений. В качестве общей посылки выступают правила порядка выполнения действий в выражениях, в качестве частной посылки – конкретное числовое выражение, при нахождении значения которого учащиеся руководствуются правилом порядка выполнения действий.

Анализ школьной практики позволяет сделать вывод о том, что для формирования у школьников умений рассуждать не всегда используются все методические возможности. Например, при выполнении задания:

Сравни выражения, поставив знак <. > или =, чтобы получилась верная запись:

6+3 ... 6+2 6+4 ... 4+6

учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями:

«6+2 < 6+3, потому что 8<9». Этим ответ ограничивается, так как суждение «8<9» чаще всего не обосновывается. Хотя при выполнении данного задания они могли бы сравнить слагаемые в суммах и сделать умозаключение о том, какой следует поставить знак, не прибегая при этом к вычислениям. Интересный опыт работы по формированию умения рассуждать отражен в работе В.П.Леховой5. Она предлагала детям два листа, на одном из которых были написаны общие посылки, на другом – частные. Нужно установить, какой общей посылке соответствует каждая частная. Ученикам дается инструкция: «Вы должны выполнить каждое задание на листе 2, не прибегая к вычислениям, а лишь воспользовавшись одним из правил, записанных на листе 1».

Задание 92. Следуя приведенной выше инструкции, выполните данное задание.

Лист 1

1. Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом вычитаемого, то разность увеличится на столько же единиц.

2. Если делитель уменьшить  в несколько раз, не изменяя  при этом делимого, то частное  увеличится во столько же раз.

3. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, не изменяя при этом другое, то сумма увеличится на столько же единиц.

4. Если каждое слагаемое  делится на данное число, то  сумма тоже разделится на это  число.

5. Если из данного числа  вычесть предшествующее ему число, то получим ...

Лист 2

Задания расположены в другой последовательности, чем посылки.

1. Найди разность 84 – 84, 32 – 31, 54 – 53.

2. Назови суммы, которые  делятся на 3: 9+27, 6+9, 5+18, 12+24, 3+4, '+6.

3. Сравни выражения и  поставь знаки <. > или = :

125–87 ... 127–87 246–93 ... 249–93 584–121... 588– 121

4. Сравни выражения и  поставь знаки <, > или = :

304:8 ... 3044 243:9 ... 243:3 1088:4 . . 1088:2

5. Как быстро найти  сумму в каждом столбике:

9999 12 15 12 16 30 30 32 32 40 40 40 40 Ответ: 91.

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном Курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суждение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним – 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно–однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рисунок:

 

 

Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):

Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.

 

Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.

Миша – такое равенство: 60:12=5.

Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.

Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:

Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?

Миша записал решение задачи так:

1) 18:9=2 (км/ч)

2) 27:9=3 (км/ч)

3) 2+3=5 (км/ч) Маша – так:

1) 18+27=45 (км)

2) 45:9=5 (км/ч) Кто из них  прав: Миша или Маша?

Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины? Маша решила задачу так:

1)7*3=21 (к.)

2) 4*7=28 (к.)

3) 21+28=49 (к.) Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов. А Миша так решил задачу:

1)9 •4=36 (к.)

2) 8*6=48 (к.)

3) 36+48=84 (к.) Ответ: 84 картофелины  собрали с 10 кустов. Кто из них  прав?

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Покажем это на примере заданий:

V Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

П : 6 = 27054 П:7= 4083 (ост. 4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного – 27054, делитель – б». Заключение:

«27054*6».

Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.

Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» или воспользовавшись калькулятором.

Аналогично поступают со второй записью.

Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.

Учащиеся высказывают суждение:

6*8=48 (обоснование – вычисления) 56 – 48=8 (обоснование – вычисления)

8*6=48 (для обоснования суждения  можно воспользоваться общей  посылкой: «от перестановки множителей  значение произведения не изменится»).

48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)' Таким образом, в большинстве случаев для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления.

Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.

• Задание 93. Опишите способы обоснований истинности суждений. высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. При изучении каких вопросов курса математики начальных классов целесообразно предложить эти задания9

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*7+9+5 8*6+8+3 7*9+9+5 8*7+3 9*8+5 7*8+3

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике 'одинаковы:

12*5 16*4 (8+4)*5 (8+8)*4 (7+5)*5 (9+7)*4 (10+2)*5 (10+6)*4

Вставь знаки <, > или =, чтобы получились верные записи:

(14+8)*3 ... 14*3+8*3 (27+8)*6 ...27*6+8 (36+4)*18 ...40*18 .

Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства

8*8=8П7П8 8*3=8П4П8 8*6=6П8П0 8*5=8П0П32

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

8*(4*6) (9*3)*3 8*24 2*27 (8*4)*6 9*(3*2) 6*32 (2*3)*9

3.8. Взаимосвязь логического  и алгоритмического мышления школьников

Умение последовательно, четко и непротиворечиво излагать свои мысли тесно связано с умением представлять сложное действие в виде организованной последовательности простых. Такое умение называется алгоритмическим. Оно находит свое выражение в том, что человек, видя конечную цель, может составить алгоритмическое предписание или алгоритм (если он существует), в результате выполнения которого цель будет достигнута.

Составление алгоритмических предписаний (алгоритмов) –сложная задача, поэтому начальный курс математики не ставит своей целью ее решение. Но определенную подготовку к ее достижению он может и должен взять на себя, способствуя тем самым развитию логического мышления школьников.

Для этого, начиная с 1–го класса, нужно, прежде всего, учить детей «видеть» алгоритмы и осознавать алгоритмическую сущность тех действий, которые они выполняют. Начинать эту работу следует с простейших алгоритмов, доступных и понятных им. Можно составить алгоритм перехода улицы с нерегулируемым и регулируемым перекрестком, алгоритмы пользования различными бытовыми приборами, приготовления какого–либо блюда (рецепт приготовления), представить в виде последовательных операций путь от дома до школы, от школы до ближайшей остановки автобуса и т. д.

Способ приготовления кофейного напитка написан на коробке и представляет собой следующий алгоритм:

1. Налить стакан горячей  воды в кастрюлю.

2. Взять чайную ложку  напитка.

3. Засыпать (всыпать) кофейный  напиток в кастрюлю с водой.

4. Нагреть содержимое  кастрюли до кипения.

5. Дать напитку отстояться.

6. Налить напиток в  стакан.

Рассматривая такие инструкции, сам термин «алгоритм» можно не вводить, а говорить о правилах, в которых выделены пункты, указывающие на определенные действия, в результате выполнения которых решается поставленная задача.

Следует заметить, что сам термин «алгоритм» можно употреблять только условно, так как те правила и предписания, которые рассматриваются в курсе математики начальных классов, не обладают всеми свойствами, его характеризующими. Алгоритмы в начальных классах описывают последовательность действий на конкретном примере не в общем виде, в них находят отражение не все операции, входящие в состав выполняемых действий, поэтому их последовательность строго не определена. Например, последовательность действий при умножении чисел, оканчивающихся нулями, на однозначное число (800*4) выполняется так:

1. Представим первый множитель  в виде произведения однозначного  числа и единицы, оканчивающейся  нулями: (8*100) •4;

2. Воспользуемся сочетательным свойством умножения:

(8*100)*4 =8 *(100*4);

3. Воспользуемся переместительным  свойством умножения:

8*(100*4)=8*(4*100);

4. Воспользуемся сочетательным  свойством умножения:

8*(4*100)=(8*4)*100;

5. Заменим произведение  в скобках его значением:

(8*4)*100 =32*100;

6. При умножении числа  на 1 с нулями нужно приписать  к числу столько нулей, сколько  их во втором множителе:

32*100=3200.

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить последовательность действий в таком виде, но, представляя отчетливо все операции, учитель может предлагать детям различные упражнения, выполнение которых позволит детям осознать способ деятельности. Например:

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*(8*100) 800*7 (9*8)*100 (8*7)*100 (9*100)*8 8*(7*100) 9*100 8*700 72*100 56*100

Объясни, как получено выражение, записанное справа:

4*6*10=40*6 2*8*10=20*8 8*5*10=8*50 5*7*10=7*50

Можно ли утверждать, что значения произведений в каждой паре одинаковы:

45*10 54*10 32*10 9*50 60*9 8*40

Для осознания детьми алгоритмической сути выполняемых ими действий нужно переформулировать данные математические задания в виде определенной программы.

Например, задание «найти 5 чисел, первое из которых равно 3, каждое следующее на 2 больше предыдущего» можно представить в виде алгоритмического предписания так:

1. Запиши число 3.

2. Увеличь его на 2.

3. Полученный результат  увеличь на 2.

4. Повторяй операцию 3 до  тех пор, пока не запишешь 5 чисел. Словесное алгоритмическое предписание  можно заменить схематическим:

 

 

Это позволит учащимся более четко представить каждую операцию и последовательность их выполнения.