Развитие младших школьников в процессе обучения математике

а) Какому рисунку соответствуют записи 2*3 , 2+3?

 

 

б) Какой рисунок соответствует записи 3 • 5? Если такого рисунка нет, то нарисуй его.

 

 

в) Выполни рисунки, соответствующие данным записям: 3*7, 4 •2+4*3, 3+7.

• Задание 83. Придумайте различные упражнения на соотнесение предметных и символических объектов, которые можно предложить учащимся при изучении смысла сложения, деления, таблицы умножения, деления с остатком.

Показатель сформированное™ приема сравнения – умение детей самостоятельно использовать его для решения различных задач, без указания: «сравни ..., укажи признаки .., в чем сходство и различие...».

Приведем конкретные примеры таких заданий:

а) Убери липший предмет ... (При выполнении его школьники ориентируются на сходство и различие признаков.)

б) Расположи числа в порядке возрастания: 12, 9, 7, 15, 24, 2. (Для выполнения этого задания ученики должны выявить признаки различия данных чисел.)

в) Сумма чисел в первом столбике равна 74. Как, не выполняя сложения во втором и третьем столбиках, найти суммы чисел:

21 22 23

30 31 32

11 12 13

12 13 14 74

г)) Продолжи ряды чисел: 2, 4, 6, 8, ...; 1, 5, 9, 13, ... (Основа установления закономерности (правила) записи чисел — также операция сравнения.)

• Задание 84. Покажите возможность применения приема сравнения при изучении сложения однозначных чисел в пределах 20, сложения и вычитания в пределах 100, правил порядка выполнения действий, а также при знакомстве младших школьников с прямоугольником и квадратом.

3.4. Прием классификации

Умение выделять признаки предметов и устанавливать между ними сходство и различие – основа приема классификации.

Из курса математики известно, что при разбиении множества на классы необходимо выполнять следующие условия: 1) ни одно из подмножеств не пусто; 2) подмножества попарно не пересекаются;

3) объединение всех подмножеств  составляет данное множество. Предлагая  детям задания на классификацию, эти условия необходимо учитывать. Так же, как при формировании  приема сравнения, дети сначала  выполняют задания на классификацию хорошо знакомых предметов и геометрических фигур. Например:

Учащиеся рассматривают предметы: огурец, помидор, капуста, молоток, лук, свекла, редька. Ориентируясь на понятие «овощ», они могут разбить множество предметов на два класса: овощи — не овощи.

• Задание 85. Придумайте упражнения различного содержания с инструкцией «Убери лишний предмет» или «Назови лишний предмет», которые вы могли бы предложить учащимся 1–го, 2–го, 3–го класса.

Умение выполнять классификацию формируется у школьников в тесной связи с изучением конкретного содержания. Например, для упражнений в счете им часто предлагаются иллюстрации, к которым можно поставить вопросы, начинающиеся со слова «Сколько ...?». Рассмотрим рисунок, к которому можно поставить следующие вопросы:

— Сколько больших кругов? Маленьких? Синих? Красных? Больших красных? Маленьких синих?

 

 

Упражняясь в счете, учащиеся овладевают логическим приемом классификации.

Задания, связанные с приемом классификации, обычно формулируются в таком виде: «Разбейте (разложите) все круги на две группы по какому–то признаку».

Большинство детей успешно справляются с этим заданием, ориентируясь на такие признаки, как цвет и размер. По мере изучения различных понятий задания на классификацию могут включать числа, выражения, равенства, уравнения, геометрические фигуры. Например, при изучении нумерации чисел в пределах 100 можно предложить такое задание:

Разбейте данные числа на две группы, чтобы в каждой оказались похожие числа:

а) 33, 84, 75, 22, 13, 11, 44, 53 (в одну группу входят числа, записанные двумя одинаковыми цифрами, в другую – различными);

б) 91, 81, 82, 95, 87, 94, 85 (основание классификации – число десятков, в одной группе чисел оно равно 8, в другой – 9);

в) 45, 36, 25, 52, 54, 61, 16, 63, 43, 27, 72, 34 (основание классификации –сумма «цифр», которыми записаны данные числа, в одной группе она равна 9, в другой – 7).

Если в задании не указано количество групп разбиения, то возможны различные варианты. Например: 37, 61, 57, 34, 81, 64, 27 (данные числа можно разбить на три группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде единиц, и на две группы, если ориентироваться на цифры, записанные в разряде десятков. Возможна и другая группировка).

Задание 86. Составьте упражнения на классификацию, которые вы могли бы предложить детям для усвоения нумерации пятизначных и шестизначных чисел.

При изучении сложения и вычитания чисел в пределах 10 возможны такие задания на классификацию:

Разбейте данные выражения на группы по какому–то признаку:

а) 3+1, 4–1, 5+1, 6–1, 7+1, 8 – 1. (В этом случае основание для разбиения на две группы дети легко находят, так как признак представлен явно в записи выражения.)

Но можно подобрать и другие выражения:

б) 3+2, 6–3, 4+5, 9–2, 4+1, 7 – 2, 10 – 1, 6+1, 3+4. (Разбивая на группы данное множество выражений, ученики могут ориентироваться не только на знак арифметического действия, но и на результат.)

Приступая к новым заданиям, дети обычно сначала ориентируются на те признаки, которые имели место при выполнении предшествующих заданий. В этом случае полезно указывать количество групп разбиения. Например, к выражениям: 3+2, 4+1, 6+1, 3+4, 5+2 можно предложить задание в такой формулировке: «Разбей выражения на три группы по какому–то признаку». Ученики, естественно, сначала ориентируются на знак арифметического действия, но тогда разбиения на три группы не получается. Они начинают ориентироваться на результат, но тоже получаются только две Группы. В процессе поиска выясняется, что разбить на три группы можно, ориентируясь на значение второго слагаемого (2, 1, 4).

В качестве основания для разбиения выражений на группы может выступать и вычислительный прием. С этой целью можно использовать задание такого типа: «По какому признаку можно разбить данные выражения на две группы: 57+4, 23+4, 36+2, 75+2, 68+4, 52+7,76+7,44+3,88+6, 82+6?»

Если учащиеся не могут увидеть нужное основание для классификации, то учитель помогает им следующим образом: «В одну группу я запишу такое выражение: 57+4,– говорит он,– в другую: 23+4. В какую группу вы запишете выражение 36+9?». Если и в этом случае дети затрудняются, то учитель может подсказать им основание: «Каким вычислительным приемом вы пользуетесь для нахождения значения каждого выражения?».

Задания на классификацию можно применять не только для продуктивного закрепления знаний, умений и навыков, но и при знакомстве учащихся с новыми понятиями. Например, для определения понятия «прямоугольник» к множеству геометрических фигур, расположенных на фланелеграфе, можно предложить такую последовательность заданий и вопросов:

Убери «лишнюю» фигуру. (Дети убирают треугольник и фактически разбивают множество фигур на две группы, ориентируясь на количество сторон и углов в каждой фигуре.)

Чем похожи все остальные фигуры? (У них 4 угла и 4 стороны ) V Как можно назвать все эти фигуры? (Четырехугольники.)

Покажи четырехугольники с одним прямым углом (6 и 5). (Для проверки своего предположения ученики используют модель прямого угла, соответствующим образом прикладывая его к указанной фигуре.)

Покажи четырехугольники: а) с двумя прямыми углами (3 и 10);

б) с тремя прямыми углами (таких нет); в) с четырьмя прямыми углами (2, 4, 7, 8, 9).

Разбей четырехугольники на группы по количеству прямых углов (1–я группа – 5 и 6, 2–я группа – 3 и 10, 3–я группа – 2, 4, 7, 8, 9).

Четырехугольники соответствующим образом раскладываются на фланелеграфе. В третью группу входят четырехугольники, у которых все углы прямые. Это прямоугольники.

Таким образом, при обучении математике можно использовать задания на классификацию различных видов:

1. Подготовительные задания. К ним относятся: «Убери (назови) "лишний" предмет», «Нарисуй предметы  такого же цвета (формы, размера)», «Дай название группе предметов». Сюда же можно отнести задания  на развитие внимания и наблюдательности:

«Какой предмет убрали?» и «Что изменилось?».

2. Задания, в которых на  основание классификации указывает  учитель.

3. Задания, при выполнении  которых дети сами выделяют  основание классификации.

• Задание 87. Составьте различные виды заданий на классификацию, которые вы могли бы предложить учащимся при изучении геометрического материала, деления с остатком, вычислительных приемов устного умножения и деления в пределах 100, а также при знакомстве с квадратом.

3.5. Прием аналогии

Понятие «аналогичный» в переводе с греческого языка означает «сходный», «соответственный», понятие аналогия – сходство в каком–либо отношении между предметами, явлениями, понятиями, способами действий.

В процессе обучения математике учитель довольно часто говорит детям: «Сделайте по аналогии» или «Это аналогичное задание». Обычно такие указания даются с целью закрепления тех или иных действий (операций). Например, после рассмотрения свойств умножения суммы на число предлагаются различные выражения:

(3+5) •2, (5+7)•3, (9+2) *4 и т. д., с которыми выполняются действия, аналогичные данному образцу.

Но возможен и другой вариант, когда, используя аналогию, ученики находят новые способы деятельности и проверяют свою догадку. В этом случае они сами должны увидеть сходство между объектами в некоторых отношениях и самостоятельно высказать догадку о сходстве в других отношениях, т. е. сделать заключение по аналогии. Но для того, чтобы учащиеся смогли высказать «догадку», необходимо определенным образом организовать их деятельность. Например, ученики усвоили алгоритм письменного сложения двузначных чисел. Переходя к письменному сложению трехзначных чисел, учитель предлагает им найти значения выражений: 74+35, 68+13, 54+29 и т. д. После этого спрашивает: «Кто догадается, как выполнить сложение таких чисел: 254+129?». Выясняется, что в рассмотренных случаях складывали два числа, то же самое предлагается в новом случае. При сложении двузначных чисел их записывали одно под другим, ориентируясь на их разрядный состав, и складывали поразрядно. Возникает догадка – вероятно, так же можно складывать и трехзначные числа. Заключение о правильности догадки может дать учитель или предложить детям сравнить выполненные действия с образцом.

Умозаключение по аналогии возможно также применять при переходе к письменному сложению и вычитанию многозначных чисел, сравнивая его со сложением и вычитанием трехзначных.

Умозаключение по аналогии можно использовать при изучении свойств арифметических действий. В частности, переместительного свойства умножения. Для этой цели учащимся сначала предлагается найти значения выражений:

6+3 7+4 8+4 3+6 4+7 4+8

– Каким свойством вы воспользовались при выполнении задания? (Переместительным свойством сложения).

– Подумайте: как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения?

Учащиеся по аналогии записывают пары произведений и находят значение каждого, заменяя произведение суммой.

Для правильного умозаключения по аналогии необходимо выделить существенные признаки объектов, в противном случае вывод может оказаться неверным. Например, некоторые учащиеся пытаются применить способ умножения числа на сумму при умножении числа на произведение. Это говорит о том, что существенное свойство данного выражения – умножение на сумму, оказалось вне их поля зрения.

Формируя у младших школьников умение выполнять умозаключения по аналогии, необходимо иметь в виду следующее:

• Аналогия основывается на сравнении, поэтому успех ее применения зависит от того, насколько ученики умеют выделять признаки объектов и устанавливать сходство и различие между ними.

• Для использования аналогии необходимо иметь два объекта, один из которых известен, второй сравнивается с ним по каким–либо признакам. Отсюда, применение приема аналогии способствует повторению изученного и систематизации знаний и умений.

• Для ориентации школьников на использование аналогии необходимо в доступной форме разъяснить им суть этого приема, обратив их внимание на то, что в математике нередко новый способ действий можно открыть по догадке, вспомнив и проанализировав известный способ действий и данное новое задание.

• Для правильных действий по аналогии сравниваются признаки объектов, существенные в данной ситуации. В противном случае вывод может быть неверным.

• Задание 88. Приведите примеры умозаключений по аналогии, которые возможно использовать при изучении алгоритмов письменного умножения и деления.

3.6. Прием обобщения

Выделение существенных признаков математических объектов, их свойств и отношений – основная характеристика такого приема умственных действий, как обобщение.

Следует различать результат и процесс обобщения. Результат фиксируется в понятиях, суждениях, правилах. Процесс же обобщения может быть организован по–разному. В зависимости от этого говорят о двух типах обобщения – теоретическом и эмпирическом.

В курсе начальной математики наиболее часто применяется эмпирический тип, при котором обобщение знания является результатом индуктивных рассуждений (умозаключений).

В переводе на русский язык «индукция» означает «наведение», поэтому, используя индуктивные умозаключения, учащиеся могут самостоятельно «открывать» математические свойства и способы действий (правила), которые в математике строго доказываются.

Для получения правильного обобщения индуктивным способом необходимо:

1) продумать подбор математических  объектов и последовательность  вопросов для целенаправленного наблюдения и сравнения;

2) рассмотреть как можно  больше частных объектов, в которых  повторяется та закономерность, которую ученики должны подметить;

3) варьировать виды частных  объектов, т. е. использовать предметные  ситуации, схемы, таблицы, выражения, отражая в каждом виде объекта одну и ту же закономерность;

4) помогать детям словесно  формулировать свои наблюдения, задавая наводящие вопросы, уточняя  и корректируя те формулировки, которые они предлагают.