Развитие логического мышления у младших школьников

Нарушение требования рассмотрения теории и практики в их единстве проявляется также в том, что на уроках математики нередко перед детьми ставятся в отвлеченной форме вопросы теоретического характера, разучиваются соответствующие определения, "правила" и т.п. в отрыве от их практического применения. При этом приходится сталкиваться и с такими случаями, когда от учащихся требуется знание формулировок, которые либо вовсе не предусмотрены программой, либо должны быть усвоены детьми значительно позднее. Так обстоит дело, например, когда учитель в I классе требует полного ответа на вопрос: "Как называются числа при сложении?" В такой форме знания математической терминологии вообще не следует требовать. (Важно лишь, чтобы дети понимали смысл соответствующих слов, когда их использует учитель, и постепенно включали бы эти термины и в свою речь) Так обстоит дело и тогда, когда учитель уже в I классе требует от учащихся объяснения того, как может быть проверено вычитание с помощью сложения.

Чтобы не допускать подобных методических ошибок, приводящих к искусственной перегрузке учащихся, важно ясно представлять себе всю систему работы над арифметическим материалом с I по IV класс, понимать значение и место тех элементов теории, которые предусмотрены программой.

Из требований программы  вытекают следующие задачи:

1) довести до сознания  детей смысл рассматриваемых  действий, научить их правильно  выбирать нужное арифметическое  действие при решении различных  простых задач.

2) на доступном  для младших школьников уровне  и в доступной для них форме  познакомить их с теми свойствами  рассматриваемых действий, которые  являются теоретической основой  изучаемых приемов устных и  письменных вычислений.

3) научить применять  изученные свойства в разнообразных условиях, используя соответствующие знания в целях рационализации вычислений, а также в целях отыскания наиболее рационального способа решения задач.

4) обеспечить  усвоение детьми связей, существующих  между действиями.

5) научить применять соответствующие знания: а) в вычислениях (при нахождении частного с опорой на знание соответствующего случая умножения, при нахождении разности с опорой на знание соответствующего случая сложения); б) при проверке правильности выполненных вычислений; в) при решении задач на нахождение неизвестного компонента действий и г) при решении простейших уравнений.

6) обеспечить  сознательное и прочное усвоение  детьми основных приемов устных  и письменных вычислений, умение  сознательно выбирать такие из  известных приемов вычислений, которые более всего отвечают особенностям каждого конкретного примера.

7) сформировать  у детей сознательные и прочные  навыки быстрых и правильных  вычислений.

Для успешного  решения каждой из этих конкретных задач курса необходимо не только определить содержание и систему соответствующих упражнений но целесообразно использовать различные методы обучения.

Осознание смысла действий, существующих между ними связей, зависимости между компонентами и результатами действий может быть обеспечено только в том случае, если рассмотрение этих теоретических вопросов будет вестись на прочной базе собственного опыта детей. При этом следует учитывать, что речь здесь должна идти не только о жизненном опыте, приобретаемом детьми в ходе разнообразных практических действий с предметами, но и об опыте, накапливаемом при изучении математики в школе.

Учителю начальных  классов необходимо детям разъяснить смысл количественного натурального числа, не связывая его со счетом, то есть, использовать теоретика - множественные понятия. Именно этот подход поможет понять учителю начальных классов, как построены те курсы начальной математики, которые основаны на теоретика - множественной модели системы натуральных чисел.

С теоретико-множественной  точки зрения сложению соответствуют такие предметные действия с совокупностями (множествами, группами предметов), как объединение и увеличение на несколько элементов либо данной совокупности, либо совокупности, сравниваемой с данной. Можно выделить четыре вида ситуаций, связанных с операцией объединения:

увеличение  данного предметного множества  на несколько предметов;

____<__

увеличение  данного предметного множества  на несколько других

предметов;

____<??

увеличение  на несколько предметов множества, равночисленного данному;

составление одного предметного множества из двух данных.

____ __

В связи с  этим, прежде, чем знакомиться с  символикой записи действий и вычислениями результатов действий, ребенок должен научиться моделировать на предметных совокупностях все эти ситуации, понимать (т.е. правильно представлять) их со слов учителя, уметь показывать руками как процесс, так и результат предметного действия, а затем характеризовать их словесно.

Задания, которые  ребенок должен научиться выполнять  по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия сложения:

1. Возьми три  морковки и два яблока (наглядность). Положи их в корзину. Как  узнать, сколько их вместе? (Надо  сосчитать.)

2. На полке  стоит 2 чашки и 4 стакана. Обозначь  чашки кружками, стаканы квадратиками. Покажи сколько их вместе. Сосчитай.

3. Из вазы  взяли 4 конфеты и 1 вафлю. Обозначь  их фигурками и покажи, сколько  всего сладостей взяли из вазы. Сосчитай.

Все три ниже предлагаемые ситуации моделируют объединение двух множеств.

1. У Вани три  значка. Обозначь значки кружками. Ему дали еще и у него  стало на 2 больше. Что надо сделать,  чтобы узнать, сколько у него  теперь значков? (Надо 2 добавить.) Сделай это. Сосчитай результат.

2. У Пети было 2 игрушечных грузовика. Обозначь  грузовики квадратиками. И столько же грузовых машин. Обозначь легковые машины кружками. Сколько ты поставил кружков? На день рождения ему подарили еще три легковые машины. Каких машин теперь больше? Обозначь их кружками. Покажи, на сколько больше.

3. В одной  коробке 6 карандашей, а в другой на 2 больше. Обозначь карандаши из первой коробки зелеными палочками, карандаши из второй коробки - красными палочками. Покажи, сколько карандашей в первой коробке, сколько во второй. В какой коробке карандашей больше? В какой меньше? На сколько?

Эти три ситуации моделируют увеличение на несколько единиц данной совокупности или совокупности, сравниваемой с данной.

Символически  данные ситуации описываются с помощью  действия сложения: 6+2=8.

При формировании у детей представлений о вычитании можно условно ориентироваться на следующие предметные ситуации:

уменьшение  данного предметного множества  на несколько предметов (множество  предметов, которые удаляются, зачеркнуто);

уменьшение  множества, равночисленного данному  на несколько

предметов;

сравнение двух предметных множеств, то есть ответ  на вопрос: "На сколько предметов  в одном множестве больше (меньше), чем в другом?"

В процессе выполнения предметных действий у младших школьников формируется представление о  вычитании как о действии, которое связано с уменьшением количества предметов.

Действию вычитания соответствуют четыре вида предметных действий:

а) удаление части совокупности (множества);

б) уменьшение данной совокупности на несколько единиц;

в) уменьшение на несколько единиц совокупности, сравниваемой с данной;

г) разностное сравнение двух множеств.

Приведем задания, которые ребенок должен научиться  выполнять по словесному описанию педагога до знакомства с символикой действия вычитания:

1. Удав нюхал  цветы на полянке. Всего цветов было семь. Обозначь цветы кружками. Пришел Слоненок и нечаянно наступил на два цветка. Что надо сделать, чтобы это показать? Покажи, сколько теперь сможет понюхать Слоненок.

2. У Мартышки  было шесть бананов. Обозначь  их кружками. Несколько бананов  она съела и у нее стало на 4 меньше. Что нужно сделать, чтобы это показать? Почему ты убрал 4 банана? (Стало на 4 меньше.)Покажи оставшиеся бананы. Сколько их?

3. У жука 6 ног.  Обозначь количество ног жука  красными палочками. А у слона  ног на 2 меньше. Обозначь количество ног слона зелеными палочками. Покажи. У кого ног меньше. У кого ног больше? На сколько?

4. На одной  полке стоит 5 чашек. Обозначь  чашки кружками. А на другой  полке - 8 стаканов. Обозначь стаканы  квадратиками. Поставь их так,  чтобы сразу было видно, чего больше - стаканов или чашек. Чего меньше? На сколько?

Следующие задания  приведены в соответствии с видами предметных действий, указанных выше.

Символически  данные ситуации описываются с помощью  действия вычитания: 8 - 5 = 3.

После того, как  ребенок научиться понимать на слух и моделировать все означенные виды предметных действий, его можно знакомить со знаками действий. На этом этапе последовательность указаний педагога такова:

1) обозначьте  то, о чем говориться в задании  кружками (палочками и т.п.);

2) обозначьте  указанное число кружков (палочек)  цифрами;

3) поставьте  между ними нужный знак действия.

Например:

В вазе 4 тюльпана белых и 3 розовых. Обозначьте цифрами  число белых тюльпанов и число  розовых тюльпанов. Какой знак нужно  поставить в записи, чтобы показать, что все тюльпаны стоят в однойвазе?

Составляется  запись: 4+3

Такую запись называют "математическое выражение". Она характеризует количественные признакиситуации и взаимоотношения рассматриваемых совокупностей.

Число 7, получаемое в ответе, называют значением выражения.

Запись вида 3+4=7 называют равенством.

Прежде чем  переходить к равенству, полезно  предлагать детям задания:

а) на соотнесение  ситуации и выражения (подбери выражение  к данной ситуации или измени ситуацию в соответствии с выражением - ситуация может быть изображена на картинке, нарисована на доске, смоделирована на фланелеграфе);

б) на составление  выражений по ситуациям (составь  выражение в соответствии с ситуацией).

После того, как  дети научаться правильно выбирать знак действия и объяснять свой выбор, можно перейти к составлению равенства и фиксированию результата действия.

Выражение вида 3+5 называют значением суммой.

Числа 3 и 5 в  этой записи называют слагаемыми

Запись вида 3+5=8 называют равенством. Число 8 называют значением выражения. Поскольку число 8 в данном случае получено в результате суммирования, его также часто называют суммой.

Например:

Найдите сумму  чисел 4 и 6 (Ответ: сумма чисел 4 и 6 - это 10)

Выражение вида 8 - 3 называют разностью.

Число 8 называют уменьшаемым, а число 3 - вычитаемым.

Значение выражения - число 5 могут называть значением разности.

Например:

Найдите разность чисел 6 и 4. (Ответ: разность чисел 6 и 4 - это 2)

Поскольку названия компонентов действий сложения и  вычитания вводятся по соглашению (детям сообщаются эти названия и их необходимо запомнить), педагог активно использует задания, требующие распознавания компонентов действий и употребления их названий в речи.

Так же, учащиеся выполняют предметные действия в  виде графических и символических моделей. В качестве основной цели здесь выступает не решение простых задач, а сознание предметного смысла числовых выражений и равенств.

Деятельность  учащихся сначала сводиться к  переводам предметных действий на язык математики, а затем к установлению соответствия между различными моделями.

Например: учитель  показывает, как записать равенство, и знакомит детей с этим понятием, а также с термином "значения суммы".

Затем числовые равенства интерпретируются на числовом луче.

Также можно  предложить задание, "Пользуясь рисунком, вставьте числа в "окошки"":

При работе с  этим рисунком знак "+" служит ориентиром для описания картинки: " Слева 3 звездочки, справа - 1. Всего на рисунке 4 звездочки" Названные числа расставляют  в "окошки", и получается равенство: 3+1=4.

Возможно, познакомить  детей с числом нуль как с компонентом  арифметического действия сложения. Для этой цели предлагается задание: "Ничего не изменилось". Для этого  можно записать равенство: 5+0=5, 5-0=5

Из курса  математики известно, что для сложения целых неотрицательных чисел выполняются коммуникативные и ассоциативные свойства. В начальном курсе математики учащиеся знакомятся с коммуникативным свойством сложения, называя его "переместительное свойство сложения" или "перестановка слагаемых". При формировании у детей представлений о смысле сложения полезно предлагать им действия связанные с переместительным свойством сложения, например:

а) На левой тарелке 4 апельсина, на правой-3. Покажи, сколько  апельсинов на двух тарелках.

Ученики выполняют  схематический рисунок и записывают равенства, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках.

б) Теперь на левой  тарелке 3 апельсина, на правой - 4. Покажи, сколько апельсинов на двух тарелках.

Ученики выполняют  схематический рисунок и записывают равенство, подсчитав количество апельсинов на двух тарелках.

ЃZЃZЃZЃZ ЃZЃZЃZ 4+3=7

ЃZЃZЃZ ЃZЃZЃZЃZ 3+4=7

Сравнивая рисунки  и математические записи, дети подмечают, что количество апельсинов на двух тарелках не изменилось.

В процессе выполнения предметных действий у ребенка формируется представление о сложении как о действии, которое связано с увеличением количества предметов. [5]