Развитие логического мышления у младших школьников

Неправильно и  утверждение В. Штерна, что ребенку - дошкольнику недоступны причинно-следственные связи в предметах и явлениях, недоступны и высшие формы логического  мышления, в частности умозаключения. Приводя отдельные примеры детских умозаключений, В. Штерн приходит к выводу о том, что ребенок действует путем трансдукции, то есть делает вывод, идя от одного частного случая (факта) к другому, тоже единичному случаю, минуя общее.

Однако факты  убедительно показывают, что ребенок 3-5 лет может делать совершенно правильные выводы путем индуктивных умозаключений. Это показали в своем исследовании А.В. Запорожец и У.В. Ульенкова. Авторы давали возможность этим 3-6 лет приобрести некоторый опыт. В таз с водой опускались последовательно различные предметы: спичка, гвоздик, английская булавка, пробка, маленькая дощечка и др. Но прежде чем опустить предмет в воду, экспериментатор спрашивал ребенка, поплывет этот предмет или утонет. Естественно, дети сначала лишь гадали, и их предположения часто оказывались неправильными. Но постепенно дети начинали выделять те признаки, которые, по их мнению, были либо существенны для плавучести предмета, либо вели к тому, что предмет тонул. Многие дети сначала выделяли величину предмета как существенный признак. Но проверка на практике показывала, что гвоздик, хоть и маленький, все равно тонет, а большой спичечный коробок легко держится на воде. Постепенно дети пришли к правильному выводу: все деревянное плавает, а железное (металлическое) тонет.

Таким образом, можно сказать, что дети дошкольного  возраста могут высказывать правильные логические суждения и делать относительно верные выводы.

Особенности логического  мышления младших школьников отчетливо  выступают в любых выполняемых  ими мыслительных операций. Сравнение является основой всякой последующей группировки, классификации и систематизации предметов и явлений. Используя сравнение, человек узнает особенности каждого нового предмета или групп. В процессе обучения младших школьников сравнение играет важнейшую роль.

В процессе обучения все мыслительные операции, в том  числе и операция сравнения. Учащиеся 1-3 классов уже могут успешно  сравнивать предметы по представлению, а затем и абстрактные понятия.

Отчетливо выявляются особенности развития логического мышления при изучении его различных форм и процессов: умозаключений, классификации, причинно-следственных связей, понятий. Одной из этих особенностей является сохранение метода "короткого замыкания", характерного для дошкольников.

У младших школьников сохраняется в известной мере стиль мышления старших дошкольников. В поставленной задаче ребенок выхватывает какой-то один признак, условие, сторону и сразу переходит к выводу. По существу, полученный ответ не является синтезом, поскольку он не подготовлен соответствующим анализом. Происходит расслоение аналитико-синтетической мыслительной деятельности - нарушается целостность мыслительного процесса. [7]

Младшие школьники  при условии понятий часто  смешивают в процессе обобщения  признаки существенные и несущественные. Это приводит к ошибкам: или к неоправданному сужению объема понятий, или к неоправданному расширению их объема. Примерами сужений объема понятия являются факты, когда младшие школьники, не относя к растениям грибы потому что, " у них нет листьев", насекомых - к животным потому, что " они маленькие". Примеры расширения объема понятия - такие обобщения школьников, когда они к одной группе относят насекомых и птиц потому, что " они летают", кита и дельфина - к рыбам потому, что " живут в морях и плавают" и т.п.

Умение рассуждать, обосновывать и доказывать то или  иное положение более или менее  уверенно и правильно тоже приходит постепенно и в результате специальной  организации учебной деятельности, когда учитель ставит учащихся в  такие условия, когда они должны самостоятельно сделать те или иные выводы и заключения. [6]

Опираясь на эти способности можно развивать  логическое мышление младших школьников на уроках математики при изучении конкретного смысла действий сложения и вычитания.

1.3 Математический смысл действий сложения и вычитания

Сложение

Действие сложение и вычитание рассматривается  с точки зрения различных теорий: количественной теории, аксиоматической  теории и теории измерения величин.

По правилам построения аксиоматической теории, определение сложения натуральных чисел нужно ввести, используя только отношение "непосредственно следовать за", и понятия "натуральное число" и "предшествующее число".

Предварим определение  сложения следующими рассуждениями. Если к любому натуральному числу ? прибавить 1, то получим число ?ґ, следующее за ?, т.е. ?+1=?ґ, и, следовательно, мы получим правило прибавления 1 к любому натуральному числу. Но как прибавлять к числу ? натуральное число b, отличное от 1? Воспользуемся следующим фактом: если известно, что 2+3=5, то сумма 2+4 равна числу 6, которое непосредственно следует за числом 5. происходит так потому, что в сумме 2+4 второе слагаемое есть число, непосредственно следующее за числом 3. таким образом, сумму ?+bґ можно найти, если известна сумма ?+b. Эти факты и положены в основу определения сложения натуральных чисел в аксиоматической теории. Кроме того, в нем используется понятие алгебраической операции.

Сложением натуральных чисел  называется алгебраическая операция, обладающая свойствами:

1) (ЃН ? Ѓё N) ?+1=?ґ

2) (ЃН ?, b Ѓё N) ?+bґ= (?+b) ґ.

3) Число ?+b называется суммой чисел ? и b, а сами числа ? и b - слагаемыми.

Как известно, сумма любых  двух натуральных чисел представляет собой также натуральное число, и для любых натуральных чисел ? и b сумма ?+b - единственна. другими словами, сумма натуральных чисел существует и единственна. особенностью определения является то, что заранее не известно, существует ли алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами, а если существует, то единственна ли она? [11]

С точки зрения количественной теории сложение целых неотрицательных чисел связано с объединением конечных непересекающихся множеств.

Если A и B - конечные множества  и A ? B = Ш, то m (A U B) = m (A) +m (B). Именно этот факт положен в основу определения суммы целых неотрицательных чисел, где m (A) - это численность множества A;

m (B) - это численность множества B.

Суммой целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число ?+b, равноечислу элементов в объединении непересекающихся множеств A и B таких, что m (A) = ?, m (b) =b.

?+b = m (A U B), где ?= m (A); b = m (B); A ? B = Ш

Число ? и b при этом называются слагаемыми.

Операция, с помощью которой  по данным целым неотрицательным  числам ? и b находится целое неотрицательное  число c, являющееся их суммой, называется сложением.

Коммутативный и ассоциативный законы сложения распространяются на любое конечное число слагаемых.

В начальном курсе математики сложение целых неотрицательных  чисел вводится на конкретных примерах и задачах, решение которых связано  с необходимостью объединять рассматриваемые  множества и пересчитывать элементы в полученном объединении.

При непосредственном сравнении измерения величин можно установить равно они или нет. Если величины не равны, то можно указать, какая из них меньше, а какая больше. Для того чтобы получить более точный результат, необходимо величины измерить. Измерение различных величин, в техническом отношении, носит совершено различный характер. Для дли он один, для масс - он другой, для времени - третий и т.д. Однако в основе любого измерения лежит один и тот же принцип: измеряемый объект сравнивается с эталоном, т.е. с предметом или явлением, величина которого принята за единицу измерения. В результате сравнения получается число, характеризующее измеряемую величину.

Длина является величиной  характеризующей пространственную протяженность объектов. Тем самым можно выяснить смысл арифметических операций над натуральными числами, рассматриваемые как меры длин отрезков.

Пусть отрезок z состоит из отрезков x и y, и пусть длины этих отрезков при выбранной единице e выражаются натуральными числами c, ?, b, т.е. c= m _e (z), ? = m_e (x), b= m _e (y). Это означает, что отрезок x состоит из ? отрезков, равных e; отрезок y состоит из b отрезков, равных e. Следовательно, весь отрезок z состоит из ?+b отрезков, равных e т.е. m_e (z) = c = ?+b = m_e (x) +m_e (y). Таким образом, можно дать определение суммы натуральных чисел:

Суммой натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?+b, являющееся мерой длины отрезкаz, состоящего из отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ? и b:

?+b= m_e (z), где z= x+y; m_e (x) = ?; m_e (y) = b

Существование и единственность суммы натуральных  чисел вытекают из существования  и единственности меры длины отрезка  при выбранной единицы измерения.

Рассмотрим  основные законы, которым удовлетворяет  операция сложения целых неотрицательных чисел:

1. (ЃН?,b Ѓё N_e) (?+b= b+?) - коммутативный закон сложения.

(ЃН?,b, c Ѓё N_e) ( (?+b) + c = ?+ (b+c)) - ассоциативный закон сложения. [1]

Вычитание

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел вычитание обычно определяется как операция, обратная сложению.

Вычитанием натуральных чисел ? и b называется операция, удовлетворяющая условию: ?-b =с тогда итолько тогда, когда b+с =?.

Число ?-b называется разностью чисел ? и b, число ? - уменьшаемым, а число b - вычитаемым.

В начальном  обучении математике определение вычитания, обратного сложению, в общем виде, как правило, не дается, но им постоянно  пользуются, начиная с появления  действий над однозначными числами. Учащиеся должны хорошо понимать, что  вычитание связано со сложением, и использовать эту взаимосвязь при вычислениях. [11]

С точки зрения количественной теории разностью множеств A и B называется множество, содержащеевсе элементы, которые принадлежат множеству A и не принадлежат множеству B.

Разностью множеств A и B обозначают A \ B. Тогда, по определению, имеем:

A\ B = {x | x Ѓё A и x? B}.

В школьном курсе  математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств A \ B называют дополнениеммножества B до множества A, и обозначают символом BўҐ_A.

Пусть BЎшA. Дополнением множества B до множества A называется множество, содержащее всеэлементы множества A, которые не принадлежат множеству B. A \ B = BўҐ_A

Из определения  следует, что BўҐ_A= {x | x Ѓё A и x? B}.

Как уже было сказано, в случае, когда BЎшA,

Разностью целых неотрицательных чисел ? и b называется целое неотрицательное число с,удовлетворяющее условию b+с =?.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности, можно доказать, что для любых множеств A, B и C справедливы следующие неравенства:

1) (A \ B) \ C = (A \C) \ B;

2) (A U B) \ C = (A \C) U (B \ C);

3) (A \ B) ? C = (A ? C) \ (B ? C);

4) A \ (B U C) = (A \ B) ? (A \C);

5) A \ (B ? C) = (A \ B) U (A \C). [11]

Используя определение разности целых неотрицательных чисел, можно дать теоретика - множественноеобоснование правил, связывающих операции вычитания:

1. Правило вычитания числа из суммы:

а) (?+b) - с= (?-b) +b, если ??с

б) (?+b) - с= ?+ (b - с), если b?с

Чтобы вычесть из суммы число, достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

2. Правило вычитания суммы из числа:

?- (b + с) = (?-b) - с.

Чтобы вычесть  из числа сумму, достаточно вычесть  из этого числа последовательно каждое слагаемое суммы.

Рассмотрим  смысл действий сложения и вычитания  с точки зрения измерения величин.

Пусть отрезок x состоит из отрезков y и z, и пусть, как прежде, ? = m_e (x), b= m_e (y), c= m_e (z).

Тогда отрезок z называется разностью отрезков x и y и обозначают z= x - y. Очевидно, что в этом случае мера отрезка z равна разности мер отрезков x и y, т.е. c= m_e (z) = m_e (x) - m_e (y) = ?-b.

Разностью натуральных чисел ? и b называется натуральное число ?-b, равное мере длины отрезка z,являющегося разностью отрезков x и y, мерами длин которых являются числа ? и b,

?-b= m_e (z), где z= x-y; m_e (x) = ?; m_e (y) = b

Необходимо заметить, что  о разности отрезков x-y имеет смысл  говорить только в том случае, когда  отрезок x больше отрезка y. Следовательно, разность натуральных чисел ? и b, существует, единственна и является натуральным числом только при соблюдении условия ? >b. [1]

1.4 Методический  смысл действий сложения и  вычитания

В течение всех четырех лет начального обучения ведется работа по формированию у детей понятий о натуральном числе и арифметических действиях. С самого начала это делается в неразрывной связи с рассмотрением различных случаев практического применения этих понятий, с работой, направленной на усвоение детьми некоторых свойств чисел, десятичной системы счисления, арифметических действий и основанных на них приемов вычислений. Результатом этой работы должно стать усвоение детьми как включенных в программу вопросов теоретического характера, так и сознательное и прочное овладение навыками применения изученных вопросов теории к решению разнообразных практических и учебных задач и выполнению устных и письменных вычислений. Теория и практика должны при этом в ходе всей работы над арифметической частью программы выступать в их единстве и взаимосвязи. Как показывают наблюдения за опытом реализации программы в практике массовой школы, именно это важнейшее требование программы довольно часто нарушается.

Проявляется это в том, что, отрабатывая, скажем, навыки устных вычислений, учителя нередко забывают при этом о необходимости довести до сознания детей теоретическую основу выполняемых операций, не приучают к тому, чтобы в случае появления ошибок в ходе вычислений учащиеся возвращались к рассмотрению тех вопросов теории, которые могут помочь им осознать причину допущенной ошибки и самостоятельно исправить ее. Между тем именно сознательность усвоения - основа, на которой могут быть сформированы действительно прочные навыки уверенных, правильных и быстрых вычислений.