Понятие многообразия. Дифференцируемые многообразия. Классические двумерные поверхности

     

     Рис 21

       Мешают концы сингулярного отрезка АВ, на котором пересекаются два листа поверхности, причем пересекаются они так, что в точках А и В возникает сложная структура, отличная от пересечения нескольких локально евклидовых дисков. Тем не менее, построенная модель позволила «взглянуть» на некоторое (пусть не очень «хорошее») изображение проективной плоскости в трехмерном пространстве. На рис. 22 изображена эволюция сечений построенной нами фигуры и ее предпоследнего этапа (4 на рис. 21) плоскостями, ортогональными сингулярному ребру АВ. Эту поверхность можно задать в R³ алгебраическим уравнением: (ax²+by²)(x²+y²+z²)=2z(x²+y²).

     

     Рис 22

     Конечно, мы не хотим на этом останавливаться  н сейчас построим погружение ЯР² в R³. Предварительно опишем несколько простых фактов наглядной топологии, полезных для дальнейшего.

     Рассмотрим  лист Мебиуса р на рис. 23. Он получается склейкой противоположных сторон квадрата с изменением ориентации. Оказывается, склеивая его с диском, мы получим проективную плоскость.

     

     Рис 23

     Лемма 1. Проективная плоскость гомеоморфна многообразию, получающемуся склейкой листа Мебиуса с обычным диском по их общей границе. Другими словами, выбрасывая из ЯР² двумерный диск, мы получаем лист Мебиуса. Условно этот факт запишем так: RP²=μ+ D².

     Доказательство. На рис. 24 показана модель проективной плоскости в виде квадрата со склейками abab. Докажем, что, выбрасывая диск из RP², мы получаем лист Мебиуса. Так как RP²—гладкое замкнутое многообразие, то все равно, где брать центр выбрасываемого диска. В данный момент все точки проективной плоскости равноправны. Выберем точку на середине стороны а. Диск с центром в этой точке изобразится двумя своими полудисками (показаны черным на рис. 24), склеенными по диаметру. Выбрасывая этот диск, мы получаем после распрямления оставшихся углов квадрат, две противоположные стороны которого склеены с изменением ориентации Лемма доказана.

     

     Рис 24

     При классическом (обычном) вложении листа Мебиуса в R³ его граница, т.е. окружность, вложена так, что она два раза обходит вокруг вертикальной оси (рис 25) Попытаемся продеформировать лист Мебиуса в R³ так, чтобы упростить вложение его границы. А именно добьемся, чтобы граница листа Мебиуса изображалась обычной плоской окружностью, т е. расположенной в некоторой плоскости. За это нам придется заплатить усложнением изображения самого листа Мебиуса Как именно он расположится? Оказывается, ответ дается рис 25 Фигура, изображенная здесь, очевидно получается из модели проективной плоскости на рис 21 отсечением от нее нижней чашечки плоскостью, ортогональной плоскости книжного листа. Отрезая чашечку, мы фактически выбрасываем диск из проективной плоскости. Оставшаяся часть (с самопересечением) иногда называется скрещенным колпаком. Итак, скрещенный колпак – это просто лист Мебиуса, расположенный в R так, что его граница – стандартная плоская окружность.

     

     Рис 25

     Лемма 2 Бутылка Клейна получается склейкой двух листов Мебиуса по их границе Другими словами, разрезая бутылку Клейна по подходящей окружности, мы получаем два листа Мебиуса. Условно этот факт запишем так: K²=μ+μ.

     

     Рис 26

     Доказательство. Берем квадрат со склейками abab^-1 изображающий бутылку Клейна. На середине стороны а отметим точку 1/2 и соединим ее с вершинами квадрата так, как показано на рис. 26. Затем разрежем квадрат по этим двум линиям. В результате получим параллелограмм и два треугольника. Параллелограмм, очевидно, является листом Мебиуса. Склеивая два треугольника по их общей стороне b, получаем второй лист Мебиуса. Лемма доказана.

     Как изобразить эту линию разреза  на бутылке Клейна, погруженной в  R³ (рис. 20)? Предоставляем читателю внимательно проследить по рис. 26 и 20 движение линии разреза. Итак, разрезая бутылку Клейна, как показано на рис. 27, получаем два листа Мебиуса. Каждый из них погружен в R³ (с самопересечением). Следовательно, эта модель листа Мебиуса – более регулярная (более «хорошая»), чем в виде скрещенного колпака, который, напомним, не является погружением листа Мебиуса. Отметим, что обнаруженное нами погружение листа Мебиуса замечательно тем, что его граница погружена в плоскость, т. е. его граница является плоской кривой (с самопересечениями).

     

     Рис 27

     Согласно  лемме 1 проективная плоскость получается заклейкой листа Мебиуса двумерным диском. Доказав лемму 2, мы построили погружение листа Мебиуса такое, что его граница – плоская окружность. Воспользуемся этим погружением, чтобы продолжить его до погружения всей проективной плоскости. Будем считать, что этот лист Мебиуса, погруженный в R³, является частью проективной плоскости. Чтобы погрузить всю проективную плоскость достаточно добавить диск, т.е. заклеить плоскую границу листа Мебиуса погруженным диском. Итак, мы приходим к следующей задаче. Дана плоская кривая у_о, показанная на рис 28 и являющаяся погружением окружности в плоскость. Как заклеить ее погруженным диском?

     

     Рис 28

     Пусть - плоскость, содержащая границу листа Мебиуса (рис 29)

     

 Рис 29

     Начнем  перемещать эту плоскость, поднимая ее вверх параллельно самой себе. Получим семейство плоскостей , зависящих от параметра t, где 0<t<1. Одновременно с подъемом плоскости начнем гладко деформировать в ней исходную плоскую кривую у_о. Получим семейство кривых у_t. С изменением t эти кривые образуют некоторую двумерную поверхность (заметают поверхность). Опишем процесс деформации кривой у₀ в кривые у_t. Он показан на рис 30.

     

     Рис 30

     Эта плавная деформация приводит к тому, что кривая сползает с себя и получается кривая уже без самопересечения, т е окружность, стандартно вложенная в плоскость. Как мы отмечали, при подъеме плоскости эта деформирующаяся кривая заметает некоторую поверхность. В тот момент, когда кривая превратилась в окружность, мы заклеиваем ее гладким диском. Итак, мы заклеили лист Мебиуса диском, т е получили модель проективной плоскости. В то же время мы, очевидно, построили погружение ее в R³.Как устроено множество точек самопересечения этого погружения? Из рис 30 следует, что это множество состоит из трех окружностей, склеенных в одной точке. В результате мы получили некоторую поверхность в пространстве, изображающую погруженную проективную плоскость. Эта реализация проективной плоскости называется поверхностью Боя. Можно нарисовать ее в R³. Для этого представим проективную плоскость как результат отождествления противоположных точек на границе правильного шестиугольника (а не квадрата, как мы делали ранее). См. рис. 31.

     

     Рис 31

       Соответствующий код выглядит так: abcabc. Ясно, что шестиугольник с такими отождествлениями эквивалентен диску, на границе которого отождествлены противоположные точки. Как и раньше, превратим шестиугольник в сферу, из которой вырезай шестиугольник (рис. 31). На сторонах шестиугольника расставлены буквы и стрелки, задающие склейку. Разрежем сферу на три дольки меридианами q, d, р (рис. 31). В результате сфера развалится на три конгруэнтных куска, т е. совмещающихся друг с другом при подходящем повороте. Возьмем один из них, например заключенный между меридианами q и d (рис. 32). Обратим внимание на три острия, поднимающиеся вверх. Склеим их в одной точке, которую обозначим через N (аналог северного полюса сферы). Отметим, что *та склейка не требуется с точки феиия топологии проективной плоскости, однако, как далее будет видно, мы вынуждены склеивать указанные точки, поскольку пытаемся реализовать проективную плоскость в трехмерном пространстве. Результат см. на рис. 32, шаг 2.

     

     Рис 32(шаг 1, шаг 2)

     Теперь  фиксируем два меридиана q, d, а петлю а поднимаем вверх, как показано на рис. 32, шаг 3. Следующие шаги см. на рис. 32 (3). Аналогичные деформации мы выполним и для двух остальных долек первоначальной поверхности. В результате мы получаем три конгруэнтные фигуры. Возьмем вторую дольку. Пусть соответствующие буквы на ней помечены штрихом. Совместим часть границы первой дольки с частью границы второй дольки.

     

     Рис 32(шаг 3)

     Для этого совместим дугу d' с q, причем так, чтобы точка S' совпала с S, а точка N'—с точкой N. Следовательно, петля а' совпадет с петлей с. Какова граница получившейся поверхности, т е склейки двух долек? Ясно, что граница состоит из дуг q', а, с', d. Чтобы этот процесс стал более наглядным, обратимся к исходному шестиугольнику, на котором отметим все участвующие в склейках разрезы (рис 33).

     

Рис 33

     Три ребра этого шестиугольника. исходящие из его центра, снабжены парой букв, что показывает, какие ребра склеиваются при восстановлении проективной плоскости из трех долек. На рис 32, шаг 6 показана вертикальная пунктирная ось симметрии третьего порядка. Это означает, что при повороте фигуры вокруг этой оси на угол ребро d совпадет с q, а петля а — с петлей с. Итак, добавляем к двум уже склеенным долькам последнюю третью дольку в соответствии со склейками, задаваемыми шестиугольником на рис 33. В результате получается поверхность Боя (рис 34 (1)).

     

     Рис 34(1, 2)

       Отчетливо видно, что мы построили погруженную поверхность, т.е. при изменении точки по поверхности касательная плоскость в этой точке меняется непрерывно (и гладко). Поверхность не имеет никаких изломов и других особых точек. Она имеет только несколько линий самопересечения, которые организованы в три петли. В окрестности каждой точки на этих петлях, отличных от точки N (центра фигуры), пересекаются два листа поверхности. На рис. 34 (2) показана поверхность Боя с четырьмя «окнами» [8].

 

     

     Заключение

 

     В данной курсовой работе были рассмотрены наглядные представления о многообразии и его формах.

     Для этого были охарактеризованы сами определения и свойства многообразий. Затем описаны виды двумерных многообразий в наглядной форме.

     Таким образом, можно констатировать, что  цель исследования достигнута и все  поставленные задачи решены, а именно:

1. Раскрыто понятие многообразия.

     Основоположником  метода склеивания и создателем понятия  многообразия является К.Ф. Гаусс.

     Многообразие  п измерений представляет собой топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной открытой n-мерной сфере.

2. Дана характеристика дифференциальным многообразиям.

     Приведены определения дифференциального  многообразия в различных трактовках авторов, таких как Дубровин, Новиков, Чирка.

     Представлены  примеры дифференциальных многообразий – тор, лента Мебиуса, а так  же способы их построения.

     Рассмотрены: операция приклеивания, связная сумма, свойства проективной плоскости, как  многообразия, отображение склейки  и другие структуры дифференциальных многообразий.

3. Представлен обзор классических двумерных поверхностей.

     Дано  определение поверхности и способы  ее задания. Введены термины «ручка», «трубка» и «пленка».

     Приведены примеры простейших двумерных поверхностей – сфера с дырками, сфера с  ручками, сфера с пленкой.

     Исследован  процесс склейки на двумерных поверхностях на таких наглядных примерах, как бутылка Клейна, лист Мебиуса, поверхность Боя.

     Следовательно, можно сказать, что наглядность при изучении многообразий, их свойств, дифференциальных форм и двумерной структуры необходима для лучшего понимания и прослеживания основной идеи заложенной в понятие многообразия. 

 

     

     Список  использованных источников:

 
     

1. Блашке, В. Введение в дифференциальную геометрию / В. Блашке – Ижевск: издательский дом «Удмуртский университет», 2000 – 232 с.
2. Дубровин, Б.А., Новиков, С.П., Фоменко, А.П. Современная геометрия: Методы и приложения / Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.П. Фоменко – Москва: Наука, 1996 – 760 с.
3. Казарян, М.Э. Дифференциальные формы, расслоения, связности / М.Э. Казарян – Москва: МЦНМО, 2000 – 16 с.
4. Казарян, М.Э. Курс дифференциальной геометрии / М.Э. Казарян – Москва: МЦНМО, 2002 – 42 с.
5. Новиков, С.П., Фоменко, А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии / С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – Москва: Наука, 1997 – 432 с.
6. Рам, Ж. Дифференцируемые многообразия / Ж. Рам – Москва: Издательство ИНОСТРАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ. 1986. 248 с.
7. Тайманов, И.А. Лекции по дифференциальной геометрии / И.А. Тайманов – Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2002. 176 с.
8. Фоменко, А.Т. Наглядная геометрия и топология / А.Т. Фоменко – Москва: ЧеРо. 2008. 416 с.
9. Фоменко, А.Т. Дифференциальная геометрия и топология / А.Т. Фоменко – Ижевск: Ижевская республиканская типография. 2009. 252 с.
10. Чирка, Е.М. Лекционные курсы НОЦ / Е.М. Чирка – Москва: МИАН, 2006 – 106 с.
11. Шварц, Дж. Дифференциальная геометрия и топология / Дж. Шварц – Москва: МИР. 1990. 224 с.
12. Электронный ресурс: http://cito-web.yspu.org/link1/metod/met59 node4.html – Курс лекций А.С. Тихомиров Дифференциальная геометрия и элементы