Понятие многообразия. Дифференцируемые многообразия. Классические двумерные поверхности

Оглавление 

Введение 2

Понятие многообразия 3

Дифференцируемые  многообразия 5

Классические  двумерные поверхности 12

Заключение 28

Список  использованных источников 30 

 

     

Введение

 

     Современная геометрия и топология занимают особое место в математике благодаря  наглядности многих образов, с которыми они имеют дело. В то же время  эта наглядность сегодня успешно  подвергается формализации и далеко идущему абстрагированию. Во многих глубоких научных математических работах, посвященных многомерной геометрии, активно используется «наглядный жаргон», выработанный при исследовании двумерных и трехмерных образов, таких как «разрежем поверхность», «склеим листы», «вывернем сферу наизнанку» и т.д. Эта терминология помогает исследователям при доказательстве многих невероятно трудных результатов.

     В данной курсовой работе будут рассмотрены  наглядные представления о многообразии.

     Обьектом курсовой работы являются многообразия и способы их исследования.

     Предмет – понятие многообразия, дифференцируемые многообразия, классические двумерные многообразия.

     Цель курсовой работы – рассмотреть наглядные представления о многообразии и его формах.

     Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

1. Раскрыть понятие многообразия.
2. Дать характеристику дифференциальным многообразиям.
3. Представить обзор классических двумерных поверхностей.

     Для решения данных задач применялись  следующие методы исследовании: обзор литературы, анализ наглядных пособий, метод аналогии.

     Курсовая  работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованных источников.

Понятие многообразия

 

     Существует  несколько способов построения карт поверхности земного шара. Все  они, так или иначе, сводятся к одной процедуре: к проекции выпуклой сферической поверхности глобуса на плоскость. Более или менее очевидно, что построить взаимно однозначное и непрерывное проектирование всей сферы на какую-либо область плоскости невозможно. Кроме того, при попытке изображения на плоской карте достаточно больших кусков земной поверхности неизбежно возникают искажения. Поэтому картографы прибегают к различным ухищрениям, сводящимся в основном к тому, что сфера разрезается на несколько достаточно малых кусков, и каждый из них отдельно проектируется на часть плоскости. Исходная сфера восстанавливается из них при обратной склейке в соответствии с правилами, обычно указываемыми на плоской карте. Таким образом, здесь достаточно сложный объект (сфера) получается из нескольких более простых объектов их склейкой по общей части. В наиболее четком виде понятие многообразия оформилось в работах К.Ф. Гаусса во время его исследований в области геодезии, картографирования земной поверхности. При практическом построении карт достаточно больших участков земной поверхности они разбиваются на более мелкие, частично перекрывающиеся области, в каждой из которых работает своя группа специалистов. Они создают карту каждой отдельной области, снабженную опорными точками. При построении общего атласа эти отдельные карты сшиваются, склеиваются по тем их участкам, которые перекрывались и тем самым отражены в нескольких локальных картах. Привязывание друг к другу отдельных локальных карт осуществляется путем сопоставления и наложения друг на друга их общих опорных точек. Эта процедура лежит в основе важнейшего общематематического понятия – многообразия [5]. А так же это обобщение применимо к громадному классу сложнейших геометрических фигур.

     Многообразие  п измерений представляет собой топологическое пространство, каждая точка которого обладает окрестностью, гомеоморфной открытой n-мерной сфере. Мы всегда будем предполагать, что в этом пространстве существует счетная база, т. е. счетная система открытых множеств, обладающая тем свойством, что всякое открытое множество может быть представлено как соединение множеств, входящих в эту систему [6].

 

     

Дифференцируемые  многообразия

 

     Рассмотрим  несколько определений, которые  были предложены различными авторами:

     Дифференцируемым  n-мерным многообразием называется произвольное множество точек М, в котором введена следующая структура: 1) множество М представлено в виде объединения конечного или счетного числа областей U_q; 2) в каждой области U_q заданы координаты , а = 1, ..., n, называемые локальными координатами. Сами области U_q при этом называют координатными окрестностями или картами [2].

     Дифференцируемым (гладким) многообразием называется произвольное множество точек М, снабженное следующей структурой, называемой «атласом»: множество М покрыто совокупностью своих подмножеств называемых «локальными картами» [5].

     Дифференцируемое многообразие – хаусдорфово топологическое пространство (топологическое пространство X называется хаусдорфовым, если любые две различных точки x, y из X обладают непересекающимися окрестностями U(x), V(y)). n-мерная карта на M – это пара (U, x), где U – открытое подмножество в M и x: U → D Rⁿ – гомеоморфизм (это взаимно-однозначное и непрерывное отображение, обратное к которому тоже непрерывно) на открытое множество D Rⁿ. n-мерное (топологическое) многообразие – это просто M с набором n-мерных карт (,), покрывающих M (M = ) [10].

     Простейшими примерами топологических многообразий являются числовая прямая с классической топологией, окружность и евклидова  плоскость. Более содержательный пример – двумерный тор. Тор – хаусдорфово пространство (рис. 1).

Рис 1 Тор как хаусдорфово пространство

     Тор - топологическое пространство, допускающее  счетную базу. Для ее построения зафиксируем счетную базу классической топологии в трехмерном евклидовом пространстве. Затем в качестве множеств, образующих базу на торе, возьмем пересечения  тора и множеств базы топологии трехмерного  пространства.

     (Вещественным) топологическим многообразием c краем называется хаусдорфово топологическое пространство (X, ) со счетной базой, каждая точка которого принадлежит одному из двух следующих классов:

      1) класс точек, каждая из которых  обладает окрестностью, гомеоморфной  евклидову пространству Rⁿ;

      2) класс точек, каждая из которых  обладает окрестностью, гомеоморфной  полупространству  евклидова пространства Rⁿ.

     Точки первого класса называются внутренними  точками многообразия X, точки второго класса – точками границы или точками края. Число n называется размерностью топологического многообразия X.

       Примерами одномерных многообразий  с краем служат отрезок и  полупрямая, примерами двумерных  - круг, тор с удаленным диском  и лента Мебиуса (рис. 2).

Рис 2 Примеры  многообразий с краем: а) полупрямая, б) тор с удаленным диском, в) лента  Мебиуса

       Для конструирования топологических  многообразий часто используется  операция приклеивания, заключающаяся  в следующем. Пусть X и Y - топологические многообразия, Z_X X, Z_Y Y  - подмножества, причем Z_X гомеоморфно Z_Y. Пусть - гомеоморфизм. Отождествляя каждую точку x Z_X с ее образом , получим новое многообразие , называемое склейкой многообразий X и Y вдоль гомеоморфизма f.

       Построим с помощью этой операции  двумерное многообразие, играющее  важную роль в различных областях  математики - вещественную проективную  плоскость RP².

     Построение  начинается с полусферы, например, заданной условиями . Ее границей является окружность   получаемая в пересечении сферы плоскостью xOy (экватор). Рассмотрим гомеоморфизм границы полусферы на себя, задаваемый центральной симметрией относительно начала координат . Вещественная проективная плоскость получается склеиванием экватора полусферы вдоль гомеоморфизма f (рис. 3). Для получения другой интерпретации вещественной проективной плоскости рассмотрим трехмерное аффинное пространство. На множестве всех прямых этого пространства определено отношение параллельности, которое, как хорошо известно, читателю, является отношением эквивалентности. Тогда имеется разбиение множества всех прямых трехмерного пространства на классы параллельности. Каждый такой класс состоит из (бесконечного!) набора всех прямых пространства, имеющих данное направление. Класс параллельных прямых может быть задан направляющим вектором прямой этого класса. Выбор направляющего вектора не однозначен; все направляющие векторы данной прямой (и данного класса параллельных прямых) коллинеарны и имеют ненулевую длину. Тогда каждый класс параллельных прямых задается направлением, то есть классом ненулевых коллинеарных векторов.

Рис 3 Вещественная проективная плоскость

       Проективная плоскость – это многообразие, точки которого соответствуют классам параллельных прямых трехмерного аффинного пространства или, равносильно, классам коллинеарности ненулевых векторов трехмерного векторного пространства. Зафиксируем в нем базис; тогда каждый вектор задается координатами , причем хотя бы одна из координат отлична от нуля.

     Векторы, принадлежащие одному направлению, имеют пропорциональные координаты, поэтому направление может быть задано способом, известным из курса  проективной геометрии как однородные координаты. Однородные координаты – это класс пропорциональных упорядоченных троек чисел, хотя бы одно из которых отлично от нуля. Каждый из таких классов определяет направление и, следовательно, точку проективной плоскости. Это соответствие представлено на рис. 4. Направления изображены в виде прямых, проходящих через начало координат и пересекающих полусферу, из которой проективная плоскость получалась путем склейки границы. Каждая из прямых, не принадлежащих плоскости экваториального сечения (плоскости xOy), пересекает полусферу в единственной точке и таким образом выделяет точку проективной плоскости, отвечающую данному направлению. Каждая прямая, принадлежащая плоскости экваториального сечения, пересекает полусферу в двух точках границы, отождествляемых склейкой, и, тем самым, также выделяет единственную точку проективной плоскости.

Рис 4 Соответствие между направлениями и точками  проективной плоскости

     Для построения связной суммы многообразий X и Y одинаковой размерности n выберем окрестности B_x и B_y точек и соответственно, гомеоморфные открытому n-мерному шару. Очевидно, границы многообразий и гомеоморфны (n – 1-мерной сфере). Пусть f - какой-нибудь гомеоморфизм границ. Тогда связная сумма многообразий X и Y определяется как их склейка вдоль гомеоморфизма f (рис. 5).

Рис 5 Связная  сумма топологических многообразий

     Топологическое  многообразие X называется дифференцируемым класса (или ), если гомеоморфные отображения подчинены следующему условию: для любых i, j ограничения отображений f_i и f_j согласованы в следующем смысле: определено отображение , задаваемое функциями, имеющими непрерывные частные производные порядка k (соответственно, имеющими непрерывные частные производные любого порядка), такое, что (рис. 6). Отображения f_i называются координатными отображениями, пара – картой, а соответствующий покрытию набор – атласом дифференцируемого многообразия X. Отображения иногда называют отображениями склейки.