Понятие многообразия. Дифференцируемые многообразия. Классические двумерные поверхности

Рис 6 Координатные отображения и отображения склейки

     Многообразия  класса называют также аналитическими.

     В качестве примера снабдим двумерный  тор структурой дифференцируемого  многообразия. В лекции 3 доказан  локальный гомеоморфизм тора и евклидовой плоскости. Атлас на торе может быть построен выбором различных начал  отсчета угловых координат φ и ψ. Рассмотрим построение атласа на торе подробнее. Назовем параллелью геометрическое место точек тора, имеющих одно и то же значение угловой координаты ψ; меридианом – геометрическое место точек тора, имеющих одно и то же значение угловой координаты φ, то есть любую его образующую.

     Разрезав  тор вдоль выбранных параллели и меридиана (рис. 7), получим множество точек, гомеоморфное прямоугольнику, называемому разверткой тора. Введем (новые) координаты на развертке так, что * соответствует параллели разреза, φ=0 и φ=2π – меридиану разреза. Прямоугольник , *c гомеоморфизмом в тор образует координатную карту.

Рис 7 Выбор  координатной карты на торе

     Выберем три пары параллель-меридиан, причем так, что все три параллели  и все три меридиана различны (рис. 8). Каждая такая пара задает способ отсчета угловых координат на торе только что описанным образом, причем каждая точка тора покрыта хотя бы одной из трех карт. Пусть и – две построенные таким способом координатные карты, и точка с координатами ₁φ=0, ₁ψ=0 в карте имеет в карте координаты ₂φ=φ₀, ₂ψ=ψ₀. Тогда имеют место уравнения перехода от координат (₁φ, ₁ψ) в карте к координатам (₂φ, ₂ψ) в карте :

     ₂φ = ₁φ + φ₀, ₂ψ = ₁ψ +ψ₀.

Рис 8 Атлас  на торе

     Очевидно, что отображение склейки, заданное этими уравнениями, имеет производные  любого порядка, и построенная нами структура вещественного многообразия на двумерном торе является, согласно определению, структурой аналитического многообразия.

     Структуры дифференцируемых многообразий нетрудно ввести, например, на сфере, параболоиде  вращения и других известных читателю поверхностях второго порядка [12].

 

     

Классические  двумерные поверхности

 

     Поверхность – традиционное название для двумерного многообразия в пространстве.

     Поверхности определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: (1)

     Если функция непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные, по крайней мере, одна из которых не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхность, заданная уравнением (1), будет правильной поверхностью.

     Помимо указанного выше неявного способа задания поверхность может быть определена явно, если одну из переменных, например z, можно выразить через остальные: (1’)

     Также существует параметрический способ задания. В этом случае поверхность определяется системой уравнений:

      [13].

     Ручки, трубки, пленки.

     Для описания возможных топологических типов замкнутых двумерных многообразий понадобятся термины «ручка»  и «трубка» и «пленка». Ручкой называется часть двумерного многообразия, гомеоморфную тору с дыркой (рис 9).

Рис 9

     Трубкой называется часть двумерного многообразия, гомеоморфную кольцу (кругу с дыркой). Пленкой называется часть двумерного многообразия, гомеоморфную листу Мёбиуса (рис 10).

     

     Рис 10

     Ориентируемость. Двумерное многообразие неориентируемо, если оно содержит хотя бы одну пленку, и ориентируемо в противном случае.

     Сферы с дырами. Сферой с n дырами называется дополнение в сфере внутренности n попарно не пересекающихся кругов. Сфера с одной дырой гомеоморфна кольцу. Сфера с n дырами гомеоморфна кругу с n – 1 дырами (рис 11). Все сферы с n дырами гомеоморфны.

     

     Рис 11

     Сферы с ручками. Замкнутое двумерное  многообразие называется сферой с  p ручками, если в нем можно выделить р попарно непересекающихся ручек, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с р дырками (рис 12). Все сферы с ручками ориентируемы.

     

     Рис 12

     Все сферы с р ручками гомеоморфны. Вот другое их описание: ориентируемое двумерное многообразие гомеоморфно сфере с р ручками, если в нем можно делить р попарно непересекающихся трубок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с 2р дырами (рис 13).

     

     Рис 13

     Сферы с пленками. Замкнутое двумерное многообразие называется сферой с q пленками, если в нем можно выделить q попарно непересекающихся пленок, замыкание дополнения к которым гомеоморфно сфере с q дырами.

     Сфера с двумя пленками называется бутылкой Клейна (рис 14).[1]

     

     Рис 14

     Простейшее  замкнутое двумерное многообразие – сфера. Кроме того, мы уже знакомы с тором. Мы уже говорили, что процесс построения многообразий в какой-то степени напоминает изготовление бумажных фигур, папье-маше, когда глиняная заготовка обклеивается мелкими кусочками бумага в несколько слоев. Так как кусочки достаточно малы, то с их помощью можно воспроизводить довольно сложные глиняные модели. Помня об этой аналогии, ограничимся, для простоты, пока одним клочком бумаги, который возьмем в виде квадрата.

     Для удобства описания склеек фиксируем  на квадрате ориентацию (направление  вращения, например по часовой стрелке), припишем каждому ребру на границе букву и снабдим ребро ориентацией (поставим стрелку). Эта ориентация может совпадать, но может и не совпадать с направлением движения, индуцированным на ребре ориентацией квадрата.

     

     

     Рис 15

     Выберем какую-либо вершину квадрата (например, левую нижнюю) и, двигаясь по часовой  стрелке, будем последовательно выписывать встречающиеся буквы а^ε и b^ε в степенях ε = ± 1, указывая степенью ε = + 1 факт совпадения стрелки на ребре с направлением нашего движения, а степенью ε = - 1 факт противоположного направления стрелки. В результате получится некоторое слово W, составленное из букв (рис. 15). Соответствующие слова W имеют вид: 1) abb^-1a^-1, 2) aba^-1b^-1, 3) abab, 4)abab^-1. На рис. 16 видно, что результатом склейки квадрата в соответствии с требованиями, указанными в записи слова 1), является обычная сфера S² .

     

     Рис 16

     При этом, для удобства, мы заменили исходный квадрат на гомеоморфный ему объект: сферу, из которой вырезана четырехугольная дырка, на сторонах которой расставлены те же буквы и стрелки (рис. 16). Словесное описание деталей склейки мы опустим, заменив его известной формулой средневековых геометров: "смотри".

     Второе  слово на рис. 15 задает нам процесс склейки, наглядно изображенный на рис. 17. Получился двумерный тор (бублик). Итак, в первых двух случаях мы получили двумерные ориентируемые многообразия, гладко вложенные в R³. Их ориентируемость легко следует из определения.

     

     Рис 17

     Третье  слово на рис. 15 задает проективную плоскость RP². Чтобы убедиться в этом, вспомним классическое определение проективной плоскости. Ее точками являются всевозможные прямые l в R³, проходящие через фиксированную точку, например через начало координат (рис. 18).

     

     Рис 18

     Эквивалентная модель строится так. Рассмотрим стандартную  сферу с центром в начале координат. Тогда каждая прямая из нашего пучка однозначно определяется точками ее пересечения со сферой. Таких точек ровно две. Они диаметрально противоположны на сфере. Условно обозначим эту пару точек так: (x, — х). Итак, проективная плоскость может быть задана как совокупность пар вида (x, — х), где x пробегает, сферу. Эквивалентная модель: проективная плоскость получается из сферы S² отождествлением ее диаметрально противоположных точек. Условно это записывают так: RP²=-S /Z₂. Дело в том, что на сфере можно задать гладкое действие группы Z₂, состоящей из двух элементов: единицы и инволюции σ, т. е. преобразования, квадрат которого равен единице (тождественному преобразованию). Инволюция задается формулой σ(x) = -х. Факторизуя сферу по действию этой группы (т. е. отождествляя точки x и σ(x)), мы и получаем проективную плоскость.

     Следующая эквивалентная модель проективной  плоскости: рассмотрим верхнюю (или  нижнюю) полусферу  и отождествим на ее границе, т. е. ии граничной окружности, диаметрально противоположные точки (рис. 18). Эквивалентность этой подали предыдущим очевидна. Достаточно разрезать, сферу плоскостью, проходящей через центр сферы. Отбрасывая нижнюю полусферу, мы обнаруживаем, что для построения RP² вполне можно обойтись лишь верхней полусферой, но при этом следует отождествить диаметрально противоположные точки на экваторе.

     Эта модель может быть переформулирована  так. Применяя гомеоморфизм (считая, что сфера сделана из тонкой резины, которую можно растягивать без разрывов и склеек), продиформируем полусферу в большую сферу, из которой выброшен маленький диск, причем затем на границе получившейся дырки отождествлены диаметрально противоположные точки (рис 18).

     Ту  же полусферу можно гомеоморфно продеформировать в плоский двумерный диск, на границе которого отождествлены противоположные точки (рис 19). Диск гомеоморфен плоскому квадрату. Чтобы описать отождествление точек на границе квадрата, симметричных относительно его центра, достаточно расставить на сторонах буквы а и b, как показано на рис. 19. В результате получается слово abab, указанное выше как один из кодов проективной плоскости.

     

Рис 19

     Перейдем  к последнему, четвертому слову-коду на рис. 15. Поверхность, получающаяся из квадрата при его склейке в соответствии с этим кодом, называется бутылкой Клейна К²  и (как и проективная плоскость) является не ориентируемым замкнутым двумерным многообразием. Построение К² аналогично склейке тора из квадрата, но в конце построения появляется важное отличие: теперь мы не можем склеить основания цилиндра в R³ без самопересечения поверхности. На рис. 20 наглядно показано, как именно нужно выполнить последнюю склейку. Итак, нам удалось смоделировать бутылку Клейна в виде замкнутой поверхности в R³. Правда, расположена она с самопересечением, но в то же время ясно, что мы построили погружение К² в R .

     

     Рис 20

     Можно убедиться, что каждая замкнутая  двумерная поверхность, гладко вложенная в R³, обязательно разбивает R³ на внутреннюю и внешнюю части, каждая из которых является трехмерным многообразием с краем. Каждое из этих многообразий ориентируемо, и поскольку события происходят в R³, то на их краю однозначно определено понятие внешней и внутренней нормали к поверхности. Это означает, что исходная двумерная поверхность ориентируема.

     Вернемся  к задаче погружения проективной плоскости в R³. Сначала попытаемся "хотя бы грубо" смоделировать RР² в виде поверхности в R . Берем квадрат, отвечающий слову-коду 3 на рис. 15, т. е. abab. Считая квадрат изготовленным из тонкой резины, продавливаем его вниз, за плоскость книжного листа и получаем сферу, из которой вырезан маленький квадрат с указанными склейками на его сторонах. Дальнейшие события показаны на рис. 21 ("смотри!"). В результате получается довольно сложная поверхность с самопересечением. Для наглядности на рис. 21 показаны ее сечения плоскостями, ортогональными сингулярному отрезку в верхней части фигуры (и тем самым плоскости книжного листа). Ясно, что построенное нами отображение f проективной плоскости в R³ не только не является вложением, но даже не является погружением.