Оптимизация деятельности ГК «Даймонд

 

Где - интенсивность поступления требований в систему;

- интенсивность обслуживания одного  требования одним обслуживающим  устройством.

Из (1) и (2) получаем, что  .

Произведение показывает количество требований, поступающих в систему обслуживания за среднее время обслуживания одного требования одним устройством.

Загрузка - это среднее число заявок, приходящих за среднее время обслуживания одной заявки.

Для СМО с ожиданием количество обслуживаемых устройств n должно быть строго больше коэффициента . В противном случае число поступающих требований будет больше суммарной производительности всех обслуживающих устройств, и очередь будет неограниченно расти.

Для СМО с отказами и смешанного типа это условие может быть ослаблено, для эффективной работы этих типов  СМО достаточно потребовать, чтобы  минимальное количество обслуживаемых  устройств n было не меньше коэффициента загрузки .

 

4. Теория игр. Кооперативные игры.

Построением математических моделей конфликтных ситуаций и  разработкой методов решения  возникающих в этих ситуациях  задач занимается теория игр.

Методы и рекомендации теории игр применимы к многократно  повторяющимся конфликтным ситуациям.

Игра – это упрощенная математическая модель конфликтной  ситуации. Игра ведется по определенным правилам. Любая игра включает в  себя следующие компоненты:

1. Количество субъектов (участников игры), которые участвуют в конфликте.
2. Набор возможных действий для каждого игрока (стратегий).
3. Функции выигрыша (платежа), отражающие степень удовлетворенности интересов каждого игрока.
4. Есть результат игры, к которому приводят выбранные игроками стратегии, которые определяют выигрыш и проигрыш игроков.

Суть игры состоит в  том, что каждый участник принимает  такое решение, которое, как он полагает, обеспечит ему наилучший исход. Исходом игры называется значение некоторой  функции, называемой функцией выигрыша (платежной функцией), которая может задаваться в матричном или аналитическом виде.

Величина выигрыша зависит  от стратегии, применяемой игроком.

Стратегия – это совокупность правил, однозначно определяющих последовательность действий игроков в каждой конкретной ситуации, складывающейся в процессе игры.

Оптимальной называется стратегия, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально  возможный средний выигрыш. Количество стратегий у каждого игрока может  быть конечным или бесконечным. В  зависимости от этого игры подразделяются на конечные и бесконечные.

Игра состоит из отдельных  партий. Партия – каждый вариант  реализации игры. В партии игроки совершают  ходы. Ход – выбор и реализация игроком одного из допустимых вариантов  поведения.

В игре могут сталкиваться интересы двух или нескольких игроков, поэтому игры бывают парные и множественные. В зависимости от взаимоотношений  участников различают игры некооперативные (бескоалиционные), когда участники  не имеют права заключать соглашения и кооперативные (коалиционные).

В кооперативных играх  игрокам выгодно кооперироваться, чтобы получить общую прибыль.

Кооперативной игрой двух лиц называется игра с непостоянной суммой, в которой игрокам разрешается  обсуждать перед игрой свои стратегии  и договариваться о совместных действиях, образуя коалиции.

В классических кооперативных  играх участвуют обычно не два, а  больше игроков.

Ведем:

I – множество всех игроков

S – коалиция

Используя данные обозначения называем кооперативной игрой n-лиц пару (I,V), где V – функция, определенная на множестве S, подмножества I/

Рассмотрим математический аппарат кооперативной игры.

n – количество игроков

- количество  коалиций

V(S) – гарантированный выигрыш коалиции S.

Когда учитываются все  коалиции, то принимается во внимание, что каждый игрок может выступать  как отдельная коалиция.

Для описания игры используется понятие «существенная игра». Данный термин обозначает то, что при образовании  коалиции участники получают дополнительный доход.

Самым главным в кооперативной  игре является понятие дележа. Дележом  называют вектор, элементами которого является распределение в абсолютных или относительных величинах  полученного дохода (прибыли).

При дележе используются следующие  принципы:

1. Индивидуальной рациональности – каждый игрок, войдя в коалицию получит больше, нежели он будет действовать самостоятельно.
2. Групповой рациональности – игроки должны делить между собой реально возможный выигрыш.

Понятие дележа распространяется на любую коалицию. Именно дележ, как  результат соглашения игроков является решением игры. Вариантов дележа может  быть много.

V(S)+V(T)≤V(S∪T) – при выполнении этого условия игра называется существенной.

Разность между результатом  объединения и суммой результатов  коалиций дает дополнительный выигрыш, который будет распределяться между  членами коалиции. В результате каждый игрок получит определенный выигрыш.

Множество всех дележей образует определенную совокупность. В этой совокупности выделяют так называемое С-ядро.

С-ядро – это множество  не доминируемых дележей.

Дележ может быть представлен  также 0-1 редуцированной форме, которая  представляет собой доли распределения  выигрыша между всеми участниками.

Сумма всех долей равна 1.

Для нахождения решения кооперативной  игры в 0-1 редуцированной форме используют теорему Неймана Моргенштейна.

Для игры (I,V), I – игроки, V- результат игры, характеристическая функция которой представлена в 0-1 редуцированной форме существует решение (С-ядро не пусто), если выполнимо следующее условие:

V(S) ≤

Где n- множество игроков,

|S| - число игроков в коалиции S

Сами решения будем  искать, используя следующую формулу:

V(S) = , i ∈I

 

5. Линейное программирование. Графический метод.

Пусть - система линейных ограничений (т.е. система линейных уравнений или нестрогих линейных неравенств) с переменными , а - целевая функция вида . Задача линейного программирования формулируется следующим образом: найти при условиях  . Обычно включает в себя условия неотрицательности всех переменных : - это вытекает из реального смысла чисел .

Различают две формы задач  линейного программирования:

- каноническую форму,  когда система ограничений состоит  только из уравнений и условий  неотрицательности (транспортная задача);

- стандартную форму, когда  система состоит только из  неравенств.

Эти две формы сводятся одна к другой введением новых  или исключением некоторых переменных.

Процесс построения математической модели конкретной задачи линейного  программирования включает в себя три  основных этапа:

1. выбор переменных;
2. построение целевой функции;
3. учет ограничений, налагаемых на переменные.

В линейном программировании используется графический метод, с  помощью которого определяют выпуклые множества (многогранник решений). Если основная задача линейного программирования имеет оптимальный план, то целевая  функция принимает значение в  одной из вершин многогранника решений.

Решение задачи линейного  программирования графическим методом  включает следующие этапы:

1. На плоскости X10X2 строят прямые.
2. Определяются полуплоскости.
3. Определяют многоугольник решений;
4. Строят вектор N(c1,c2), который указывает направление целевой функции;
5. Передвигают прямую целевую функцию c1x2 + c2x2 = 0 в направлении вектора N до крайней точки многоугольника решений.
6. Вычисляют координаты точки и значение целевой функции в этой точке.

Глава 2. Расчетная часть

Задача №1. Линейное программирование (графический метод)

ГК «Даймонд» под торговой маркой «Спело-Зрело» производит овощную консервацию (кукурузы и горошка). Стоимость одной банки кукурузы составляет 40 рублей, а стоимость банки горошка 18 рублей за штуку. Ежедневно на заводе производиться 23 тыс. банок кукурузы и 17 тыс. банок горошка. Необходимо выяснить какова возможная максимальная ежедневная прибыль завода, если известно, что спрос на кукурузу  превышает спрос на горошек в 2,7 раза.

Решение:

X₁ – спрос на кукурузу (количество банок)

X₂ - спрос на горошек (количество банок)

F = 40x₁ + 18x₂ —> max

2.7x₁ £ x₂ ,

X₁ £ 23,

X₂  £ 17

Х₁; Х₂ ≥ 0

Х₂

17 А

 Х₁

   2    4   6    8 10 12 14 16 18 20 22 24 26  

А(6,3;17)

Исходя из поставленных условий  с помощью графического решения  задачи линейного программирования находим координаты точки А, в которой достигается максимальная ежедневная прибыль.

Подставляя полученные значения в заданную оптимизируемую функцию, находим объем возможной максимальной прибыли.

F_max = 40*6.3 + 18*17 = 558 тыс. руб.

Задача №2. Транспортная задача

ГК «Даймонд» имеет три склада, запасы которых составляют соответственно: 120,100 и 80 тыс.банок. Продукцию нужно доставить в три магазина, потребности которых составляют 90, 90 и 120 тыс.банок. Стоимость доставки с каждого склада в магазины представлена в таблице(руб/ед.). Определить оптимальный план, минимизирующий стоимость доставки.

 

Склады	Магазины			Запасы
	В1	В2	В3
А1	Х           7	90         6	30         4	120	u1 = 0
А2	10         3	Х         8	90         5	100	u2 = 2
А3	80         2	Х  +      3	Х           7	80	u3 = 1
Потребность	90	90	120
	V1=1	V2=6	V3=4

⁺10  90^- min  80  ; 90

 ^-80 +

90  10

 Х 80

 

	В1	В2	В3
А1	Х           7	90         6	30         4	u1 = 0
А2	90         3	Х          8	10         5	u2 = 1
А3	Х          2	80        3	Х          7	u3 = -3
	V1=2	V2=6	V3=4

 

F_min = 90*6+30*4+90*3+10*5+80*3 = 540+120+270+50+240 = 1220 тыс.руб

Задача №3. Динамическое программирование. Замена оборудования

В определенный момент времени  на ГК «Даймонд»   установлено новое оборудование. Зависимость производительности этого оборудования от времени его использования, а также зависимость затрат на содержание и ремонт оборудования при различном его использовании приведена в таблице. Определить  на какой год следует заменить оборудование.

V_t = стоимость продукции, произведенной в течение каждого года.

Z_t = ежегодные затраты

Затраты, связанные с заменой  оборудования = 10

	0	1	2	3	4	5	6
Vt	27	26	26	25	24	23	21
Zt	15	15	16	16	16	17	19
∆	12	11	10	9	8	6	2