Оптимизация деятельности ГК «Даймонд

ГБОУ ВПО МО «АКАДЕМИЯ  СОЦИАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ»

ФАКУЛЬТЕТ УПРАВЛЕНИЯ

 

 

 

 

 

 

 

ПРОЕКТНАЯ РАБОТА

по дисциплине: «Математические методы и модели в экономике»

на тему: «Оптимизация деятельности ГК «Даймонд»

 

 

 

 

Работу выполнили студенты группы У-1123 
Полякова Маргарита  
Николаева Ирина 
Белобородова Анна

Проверила:  доктор педагогических наук, профессор 
Сергеева Татьяна Фёдоровна

 

 

 

Москва 
2013

Содержания

Введение……………………………………………………… …………3

Глава 1. Теоретическая часть…………………………………………... 5

1. Транспортная задача………………………………………………... 5
2. Динамическое программирование. Замена оборудования……….. 9
3. Система массового обслуживания………………………………… 11
4. Теория игр. Кооперативные игры…………………………………. 19
5. Линейное программирование. Графический метод……………… 22

Глава 2. Расчетная часть………………………………………………... 24

Заключение……………………………………………………………… 31

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Математические  методы в экономике  — научное направление в экономике, посвящённое исследованию экономических систем и процессов с помощью математических моделей. Включают в себя:

- Математическую экономику;

- Эконометрику;

- Исследование операций;

Математические методы являются важнейшим инструментом анализа  экономических явлений и процессов, построения теоретических моделей, позволяющих отобразить существующие связи в экономической жизни, прогнозировать поведение экономических  субъектов и экономическую динамику. Математическое моделирование становится языком современной экономической  теории, одинаково понятным для учёных всех стран мира.

Математика как основа теории принятия решений широко применяется  для управления (планирования, прогнозирования, контроля) экономическими объектами  и процессами.

Экономико-математическая модель (ЭММ) — это математическое описание экономического объекта или процесса с целью их исследования и управления ими. Это математическая запись решаемой экономической задачи.

В результате использования  математических методов достигается  более полное изучение влияния отдельных  факторов на обобщающие экономические  показатели деятельности организаций, уменьшение сроков осуществления анализа, повышается точность осуществления  экономических расчетов, решаются многомерные  аналитические задачи, которые не могут быть выполнены традиционными  методами. В процессе использования  экономико-математических методов  в экономическом анализе осуществляется построение и изучение экономико-математических моделей, описывающих влияние отдельных  факторов на обобщающие экономические  показатели деятельности организаций.

В своей проектной работе мы исследовали экономическую деятельность ГК «Даймонд», основанную на таких методах оптимизации, как транспортная задача, замена оборудования, системы массового обслуживания, кооперативные игры и линейное программирование.

ГК «Даймонд» специализируется на производстве консервной продукции под торговой маркой «Спело-Зрело». Основной ассортимент представляют консервированный горошек и кукуруза.

С 2000 года  ГК «Даймонд» формирует положительный имидж российского бизнеса. ГК «Даймонд» всегда рассматривает новые возможности, открывает для себя новые направления, запускает «свежие» проекты.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 1. Теоретическая  часть

1. Транспортная задача

Под названием «транспортная  задача» объединяется широкий круг задач с единой математической моделью. Данные задачи относятся к задачам  линейного программирования и могут  быть решены симплексным методом. Однако матрица системы ограничений  транспортной задачи настолько своеобразна, что для ее решения разработаны  специальные методы. Эти методы, как и симплексный метод, позволяют  найти начальное опорное решение, а затем, улучшая его, получить оптимальное  решение.

 

Постановка транспортной задачи

Однородный груз, имеющийся в m пунктах  отправления (производства) А1, А2, ... Аm соответственно в количествах а1, а2, ... аm единиц, требуется доставить в каждый из n пунктов назначения (потребления) В1, В2, ..., Вn соответственно в количествах b1, b2 ..., bn единиц. Стоимость перевозки (тариф) единицы продукции из Аi в Вj известна для всех маршрутов AiBj и cij (i=1,m; j=1,n). Требуется составить такой план перевозок, при котором весь груз из пунктов отправления вывозится и запросы всех пунктов потребления удовлетворяются (закрытая модель), т. е.   а суммарные транспортные расходы минимальны.

 

Математическая модель транспортной задачи

Любой план перевозок называется допустимым, если он удовлетворяет системам ограничений  и требованием неотрицательности.

Допустимый план называтся опорным , если в нем отличны от нуля не более m+n-1 базисных перевозок, а остальные перевозки равны 0.

План будет называться оптимальным, если он, среди всех допустимых планов, дает минимальную суммарную стоимость перевозок.

 

Методы решения транспортных задач

Составляется таблица, в ячейки которой заносят количество перевозимого груза из Аi в Bj груза Xij>=0, а в маленькие клетки - соответствующие тарифы Cij:

 

Затем решение задачи разбивается на два этапа:

1. Определение опорного плана
2. Нахождение оптимального решения, путем последовательных перераспределений перевозок

Для определения начального опорного плана используется метод наименьшего элемента. Сущность способа в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них, причем максимально возможным числом: либо полностью выносится груз из Аi, либо полностью удовлетворяется потребность Вj. Процедура продолжается до тех пор, пока на каком-то шаге не исчерпаются запасы аi и не удовлетворятся все потребности bj. В заключении проверяют, что найденные компоненты плана Хij удовлетворяют горизонтальным и вертикальным уравнениям.

Для нахождения оптимального плана перевозок последовательно используют метод потенциалов. Соотношения (*) определяют систему из m+n-1 линейных уравнений с m+n известными, имеющую бесчисленное множество решений; для её определённости одному неизвестному придают любое число (обычно альфа равное 0), тогда все остальные неизвестные определяются однозначно.

 

Критерий оптимальности

Если известны потенциалы решения  Х0 транспортной задачи и для всех незаполненных ячеек выполняются условия , то Х0 является оптимальным планом транспортной задачи.

Если план не оптимален, то необходимо перейти к следующему плану (таблице) так, чтобы транспортные расходы  не увеличивались.

Для перераспределения плана перевозок  с помощью цикла перерасчёта  сначала находят незаполненную  ячейку (r, s), в которой  , и строят соответствующий цикл; затем в минусовых клетках находят число .

Далее составляют новую таблицу  по следующему правилу:

1. В плюсовых клетках добавляем Х;
2. Из минусовых клеток вычитаем Х;
3. Все остальные клетки вне цикла остаются без изменения.

 

Цикл перерасчёта таблицы - это последовательность ячеек, удовлетворяющая условиям:

1. одна ячейка пустая, все остальные занятые;
2. любые две соседние ячейки находятся в одной строке или в одном столбце;
3. никакие три соседние ячейки не могут быть в одной строке или в одном столбце.

Пустой ячейке присваивают знак + , остальным - поочерёдно знаки - и + . После пересчета цикла получаем новую таблицу, дающую новое решение Х, такое, что F(X1)<=F(X0). Вычисляем потенциалы новой таблицы и проверяем  оптимальность полученного плана перевозок с помощью критерия оптимальности. Если план не является оптимальным, определяем цикл пересчета и переходим к следующей таблице и т.д. до тех пор, пока критерий оптимальности не будет выполнен.

 

Вырожденность в транспортной задаче

Вырожденность в транспортной задаче возникает, когда одна или более базисных переменных обращаются в 0.

При построении первого базисного  решения могут возникать трудности, если суммы по строкам и столбцам равны между собой и обратились в 0. В этом случае из дальнейшего  рассмотрения следует исключить  только одну из них. Другая сумма будет  ликвидирована при присвоении базисной переменной значения 0. Поскольку на каждом шаге удаляется только одна строка или только один столбец, то в результате количество базисных переменных не меняется (даже если некоторые базисные переменные обратились в нуль).

Трудности могут возникать и  при улучшении базисного допустимого  плана. Применение правил может обратить в нуль более одной базисной переменной. В этом случае важно помнить, что  только одна из них должна стать  не базисной, остальные следует сохранить базисными, но с нулевыми значениями.

 

 

2. Динамическое программирование. Замена оборудования

Динамическое программирование - раздел математики, посвящённый теории и методам решения многошаговых задач оптимального программирования.

В динамическом программировании для управляемых процессов среди всех возможных управлений ищется то, которое доставляет экстремальное (наименьшее или наибольшее) значение целевой функции — некоторой числовой характеристике процесса. Под многошаговостью понимают либо многоступенчатую структуру процесса, либо разбиение управления на ряд последовательных этапов (шагов), соответствующих, как правило, различным моментам времени. Т. о. в названии Д. п. под "программированием" понимают "принятие решений", "планирование", а слово "динамическое" указывает на существенную роль времени и порядка выполнения операции в рассматриваемых процессах и методах.

Методы Д. п. являются составной  частью методов, используемых в исследовании операций, и применяются как в  задачах оптимального планирования, так и при решении различных  технических проблем (например, в  задачах определения оптимальных  размеров ступеней многоступенчатых ракет, в задачах оптимального проектирования прокладки дорог и др.).

Пусть, например, процесс  управления некоторой системой состоит  из m-шагов (этапов), на i-м шагу управление y_i переводит систему из состояния x_i-1 в новое состояние x_i, которое зависит от x_i-1 и y_i:

x_i=x_i(y_i,x_i-1).

Т. о., управлениеу₁,у₂, ..., у_m переводит систему из начального состояния x₀ в конечное х_m. Требуется выбратьx₀иу₁, ...,у_m таким образом, чтобы целевая функция F= å^m_i=1j_i(x_i-1,y_i) достигла максимального значения F*. Основным методом Д. п. является сведение общей задачи к ряду более простых экстремальных задач. Пользуясь так называемым принципом оптимальности, сформулированным американским математиком Р. Беллманом, легко получить основное функциональное уравнение:

и (k= 2, ...,m- 1)

f₁(x₀) =F*,

где

( k = 1, ...,m).

Т. о., метод Д. п. приводит к необходимости решения этой рекуррентной системы функциональных уравнений. В процессе решения последовательность этапов проходится дважды: в приведённом  варианте рекуррентной системы в  первый раз от конца к началу (находятся  оптимальные значения F*их*₀), второй раз — от начала к концу (находятся оптимальные управления y*₁, ...,у*_m).

Методы Д. п. находят применение не только в дискретных, но и в  непрерывных управляемых процессах, например в таких процессах, когда  решения надо принимать в каждый момент некоторого интервала времени. Д. п. дало новый подход к задачам вариационного исчисления.

Хотя метод Д. п. существенно  упрощает исходные задачи, однако непосредственное его применение, как правило, сопряжено  с громоздкими вычислениями. Для  преодоления этих трудностей разрабатываются  приближённые методы Д. п.

Чем дольше механизм эксплуатируется, тем выше затраты на его обслуживание и ниже его производительность. Когда  срок эксплуатации механизма достигает  определенного уровня, может оказаться  более выгодной его замена. Задача замены оборудования, таким образом, сводится к определению оптимального срока эксплуатации механизма.

Предположим, что мы занимаемся заменой механизмов на протяжении n лет. В начале каждого года принимается решение либо об эксплуатации механизма еще один год, либо о замене его новым. Обозначим через r(t) и c(t) прибыль от эксплуатации t-летнего механизма на протяжении года и затраты на его обслуживание за этот же период. Далее пусть s(t) - стоимость продажи механизма, который эксплуатировался t лет. Стоимость приобретения нового механизма остается неизменной на протяжении всех лет и равна I.