Некоторые приложения аппарата векторных пространств

cos φ =

Далее, два вектора a,b евклидова пространства назовем ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Снова апеллируя к векторной алгебре, назовем сумму а+b двух ортогональных векторов а и b гипотенузой прямоугольного треугольника, построенного на элементах а и b. Заметим, что во всяком евклидовом пространстве справедлива теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Введенные понятия  позволяют выделить в евклидовом пространстве базисы особого вида –  так называемые ортонормированные базисы.

Базис e₁, e₂, … e_n назовем ортонормированным, если он составлен из попарно ортогональных векторов единичной длины. Это значит, что векторы удовлетворяют соотношениям

                     1, i = j

(e_i, e_j) =

                     0, i ≠ j

Во всяком  n-мерном евклидовом пространстве Е существует ортонормированный базис. Доказательство данного факта проводят методом математической индукции. В ходе доказательства определяется алгоритм построения по заданной системе n линейно независимых векторов попарно ортогональных векторов единичной длины e₁, e₂, … e_n. Данный алгоритм называют процессом ортогонализации.

В каждом n-мерном евклидовом пространстве Е существует много ортонормированных базисов. Одним из них может служить декартов прямоугольный базис координатного пространства Аⁿ e₁=(1,0, …, 0), e₂=(0, 1, …, 0), … e_n=(0, 0, …, 1). В Примере 2 данного параграфа мы определили скалярное произведение двух векторов пространства Аⁿ как сумму произведений соответствующих координат этих векторов.

Оказывается та же формула будет действовать и в любом n-мерном евклидовом пространстве Е, если только в нем зафиксирован ортонормированный базис, а координаты всех элементов вычисляются именно в этом базисе (т.е. найдено разложение элементов по этому базису). В самом деле, пусть любые два вектора а=(а₁, а₂, …, а_n) и b=(b₁,b₂, …, b_n) разложены по ортонормированному базису e₁, e₂, … e_n. Тогда a= , b= , скалярное произведение (a,b)=( )= = =a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

 

 

§4. Подпространства. Расстояние от вектора до подпространства

Для обычного трехмерного  пространства хорошо известен следующий  факт: длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую или плоскость, меньше длины любой наклонной. В  известном смысле данный факт сохраняется и в многомерных евклидовых пространствах. Чтобы это понять, введем еще одно важное понятие, обобщающее понятия прямой и плоскости в трехмерном пространстве.

Подмножество L линейного пространства V называется линейным подпространством (или просто подпространством) пространства V в том случае, если L удовлетворяет следующим двум требованиям:

1^◦ Если элементы a и b принадлежат L, то и сумма a+b принадлежит L.

2^◦ Если элемент a принадлежит L, то и элемент λa принадлежит L, где λ – любое вещественное число.

Простейшими примерами  подпространств служат, так называемые необоснованные подпространства –  само пространство V и нулевое подпространство.

Для всех векторов на плоскости (пространство В₂) указанные свойства выполнены, например, для множества всех векторов, принадлежащих некоторой фиксированной прямой. В обычном пространстве указанные свойства выполнены для плоскости.

Заметим также, что всякое подпространство L само образует линейное пространство относительно операций, определенных в V.

Другим примером линейного подпространства является множество, содержащее все линейные комбинации некой совокупности элементов a, b, …c пространства V.

L={λ₁a+λ₂b+…+λ_kc}, где λ₁, λ₂, … λ_k – произвольные скаляры.

Такое множество  называют линейной оболочкой элементов a, b, …c. Линейная оболочка – наименьшее подпространство, содержащее векторы a, b, …c.

В случае, если L – подпространство евклидова пространства Е, можно говорить о величине расстояния от любого вектора y до этого подпространства. Будем для этого рассматривать произвольные векторы х из L, каждый раз измеряя расстояние между y и x длиной разности y-x.

 Это условно показано на рисунке.

 

За расстояние d от вектора до подпространства примем минимальную из указанных длин, т.е.

d= min│y-x│, где x принадлежит L.

Каким же должен быть вектор из L, для которого достигается минимум? В качестве ближайшего к y нужно взять такой вектор x₀, чтобы разность y-x₀ была ортогональна (в смысле данного в §3 Главы 1 определения) любому вектору из подпространства L. Можно доказать, что такой вектор x₀ всегда существует и определен однозначно. Его называют ортогональной проекцией вектора y. Следующая выкладка показывает, что длина перпендикуляра y-x₀ действительно наименьшая:

│y-x│²= (y-x, y-x)=((y-x₀)+(x₀-x), (y-x₀)+(x₀-x))=(y-x_0, y-x₀)+2(x- x_0, y-x₀)+(x- x_0, x- x₀) 
Согласно выбору вектора x₀ мы имеем, что (x- x_0, y-x₀)=0. Кроме того (x- x_0, x- x₀)≥0. Отсюда │y-x│² ≥(y-x_0, y-x₀)=│y-x₀│²

 

§4. Линейные преобразования векторного пространства

Остановимся еще  на одном из центральных понятий линейной алгебры, а именно, на линейных преобразованиях векторного пространства. Линейным называется такое преобразование А векторного пространства V, для которого выполнены следующие свойства:

А(a+b) = A(a) +A(b), для любых a,b из V,

A(λa) = λA(a), для любого а из V и любого скаляра λ

Поворот плоскости  вокруг начала координат, проектирование трехмерного пространства на координатную плоскость дают нам простейшие примеры  линейных преобразований.

Линейные преобразования имеют самую тесную связь с матрицами. Чтобы это понять, выберем в n-мерном пространстве некоторый базис e₁, e₂, … e_n и рассмотрим образы базисных векторов А(e₁), A(e₂), …, A(e_n). Каждый из них, как и всякий вектор пространства V, является линейной комбинацией векторов базиса, поэтому мы можем написать

A(e_j) = , для j=1,2,…n (*)

Сопоставим  теперь преобразованию А матрицу A

Поместив в  каждый ее столбец координаты образов А(e₁), A(e₂), …, A(e_n) базисных векторов в самом этом базисе. Так, для упомянутых выше примеров линейных преобразований (поворота на угол α и проектирования на плоскость xOy) матрицы преобразований имеют вид соответственно

       и   

Матрицей А  линейное преобразование определено однозначно: зная ее, можно найти образ любого вектора. Действительно, если b=b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n, то, используя свойства линейного преобразования и разложение (*) образа вектора по векторам базиса, находим:

A(b)=A(b₁e₁+b₂e₂+…+b_ne_n) = b₁A(e₁)+b₂ A(e₂)+…+b_nA(e_n) =  
= b₁ +b₂ +…+b_n = ( e₁+( e₂+…+( e_n 

В матричной  форме это можно выразить так: чтобы получить координаты образа, нужно матрицу преобразования умножить на столбец вектора b:

А× =

Кроме умножения  преобразований, определяемого обычным образом как композиция, имеют смысл операции их сложения и умножения преобразования на число. Суммой преобразований А и В называется такое преобразование А+В, что  
(А+В)(а) = А(а) + В(а) для любого элемента а из множества V. Соответственным образом определяется и умножение на скаляр (λА)(а) = λА(а) для любого элемента а из множества V.

Можно убедиться, что имеется полная параллель  между указанными операциями над  линейными преобразованиями и соответствующими операциями над их матрицами. Так, произведение матриц служит матрицей произведения соответствующих преобразований, аналогично и для операций сложения и умножения на скаляр.

При рассмотрении линейных преобразований обычно выделяют различные их классы, обладающие некоторыми дополнительными свойствами. Так, один из важнейших классов составляют, так называемые, ортогональные преобразования евклидова пространства. При таком преобразовании сохраняется неизменной длина любого вектора из V: │А(а)│ = │а│.

В случае плоскости  и трехмерного пространства преобразования этого типа исчерпываются поворотами и зеркальными симметриями. Эти и другие типы линейных преобразований широко используются во многих математических и прикладных вопросах.

 

 

 

Глава 2. Некоторые приложения аппарата векторных пространств

§1. Системы линейных уравнений. Гиперплоскости, гиперповерхности

Исторически первым вопросом линейной алгебры был вопрос о линейных уравнениях. Построение теории систем линейных уравнений потребовало таких инструментов, как теория матриц и определителей, и оказало существенное влияние на разработку теории векторных пространств.

В данной работе мы не будем останавливаться на конкретных методах решения систем линейных уравнений, так как это предполагает проведения отдельного масштабного исследования. Вместе с тем небольшой обзор систем линейных уравнений позволит еще раз подчеркнуть общность геометрических фигур и их многомерных аналогов, в том числе ввести такие понятия как гиперплоскости и гиперповерхности.

При решении  геометрических задач методом координат, как правило, возникают системы линейных уравнений с двумя или тремя неизвестными. Например, для отыскания точки пересечения двух прямых на плоскости приходится решать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными:

где каждое из уравнений определяет прямую на плоскости, а решение ( дает координаты точки пересечения прямых, или радиуса-вектора этой точки. Аналогично и в системе линейных уравнений с тремя неизвестными каждое уравнение можно интерпретировать как уравнение плоскости в пространстве, а всякое решение ( такой системы как точку или вектор в пространстве с указанными координатами.

В общем случае система m линейных уравнений с n неизвестными (или, кратко, линейная система) имеет следующий вид:

 

Указанная выше система называется однородной, если все ее свободные члены , i=1,2, … m. Если хотя бы один из свободных членов отличен от нуля, то система называется неоднородной. Система называется квадратной, если число уравнений равно числу неизвестных (m=n). Решением системы называется такая совокупность n чисел  
(c₁, c₂, …, c_n,) которая при подстановке в систему на место неизвестных обращает все уравнения в верные равенства. Если система имеет хотя бы одно решение, то она является совместной, и несовместной, если у нее не существует ни одного решения.

Хотя непосредственное геометрическое истолкование системы, содержащей более трех неизвестных, уже невозможно, однако прежний геометрический язык сохраняется, если рассмотреть данную систему в n-мерном координатном векторном пространстве Аⁿ (см. Пример 3 §2 Главы 1).

По аналогии с обычной плоскостью множество  всех n-мерных векторов, удовлетворяющих одному линейному уравнению с n неизвестными, называют гиперплоскостью в n-мерном пространстве. При таком определении множество всех решений системы есть не что иное, как пересечение нескольких гиперплоскостей.

Также гиперплоскость определяют как подпространство  с размерностью, на единицу меньшей, чем объемлющее пространство. В общем случае уравнение гиперплоскости, проходящей через точку Х с координатами (Х1, Х2, …Хn), в n-мерном евклидовом векторном пространстве можно записать как равенство: (N, x) = (N, X), где N (η₁, η₂, … η_n) – вектор, ортогональный (нормальный) к гиперплоскости. Гиперплоскость делит пространство на два полупространства, все точки каждого из них определяются неравенствами.

В сходном смысле можно говорить и о произвольных поверхностях или областях в n-мерном пространстве, понимая под ними множество векторов, задаваемых одним или несколькими уравнениями, или неравенствами, не обязательно линейными. Так, гиперповерхностью называется множество точек, координаты которых удовлетворяют одному равнению F(x₁, x₂, …, x_n) = 0 с n неизвестными. Простейшим после плоскости примером гиперповерхности является сфера радиуса R в n-мерном пространстве – множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению .

 

§2. Линейное программирование: задачи на оптимизацию и симплекс-метод

Линейное программирование (кратко ЛП) – сравнительно недавно возникший раздел прикладной математики³, теоретической базой которого является как раз линейная алгебра. Линейное программирование применимо к решению многих задач оптимизации, часто возникающих на практике, прежде всего в экономической деятельности субъектов. Так, с помощью методов ЛП можно решать задачи составления оптимального плана производства с точки зрения максимизации прибыли или минимизации издержек, задачи по организации транспортных перевозок (транспортные задачи), задачи выбора инвестиционных проектов или формирования инвестиционных портфелей и многие другие.

Во всех указанных  выше примерах существует величина, количественно  характеризующая цель и называемая целевой функцией (прибыль, издержки, транспортные расходы, доходность портфеля ценных бумаг и т.д.). По условиям задачи требуется, чтобы целевая функция достигла своего минимума или максимума. Целевая функция зависит от неких величин, которые называют переменными решения или неизвестными. Поиск оптимальных решений осуществляется при наличии вполне определенных ограничений на изменения переменных решения.