Некоторые приложения аппарата векторных пространств

Определение. Множество V элементов x, y, z, … любой природы называется линейным (или векторным, или аффинным) пространством, если выполнены следующие три требования.

1. Имеется правило, посредством которого любым двум элементам x и y множества V ставится в соответствие третий элемент z этого множества, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый символом z=x+y.
2. Имеется правило, посредством которого любому элементу x множества V и любому вещественному числу λ ставится в соответствие элемент u этого множества, называемый произведением элемента x на число λ и обозначаемый символом u=λx или u=xλ.
3. Указанные два правила подчинены следующим восьми аксиомам
1. x+y=y+x (сложение коммутативно)
2. (x+y)+z=x+(y+z) (сложение ассоциативно)
3. Существует нулевой элемент 0 такой, что x+0=x для любого элемента x (особая роль нулевого элемента)
4. Для каждого элемента x существует противоположный (другими словами симметричный) элемент x` такой, что x+x`=0
5. 1×x=x для любого элемента x (особая роль числового множителя 1)
6. λ(µx)= (λµ)x (сочетательное относительного числового множителя свойство)
7. (λ+µ)x= λx+µx (распределительное относительно суммы числовых множителей свойство)
8. λ(x+y)=λx+λy (распределительное относительно суммы элементов свойство)

Следует подчеркнуть, что при введении понятия линейного  пространства абстрагируются не только от природы изучаемых объектов, но и от конкретного вида правил образования  суммы элементов и произведения элемента на число (важно лишь, чтобы  эти правила удовлетворяли восьми аксиомам, сформулированным выше). Первые четыре аксиомы устанавливают свойства операции сложения, и их можно было бы выразить короче, сказав, что относительно этой операции элементы образуют абелеву группу.

Если природа изучаемых  объектов и вид правил образования суммы элементов и произведения элемента на число указаны, то такое линейное пространство можно назвать конкретным. Далее приведены примеры конкретных линейных пространств.

Пример 1. Множества всех свободных векторов в трехмерном пространстве (В₃), на плоскости (В₂) и на прямой (В₁) с определенными в курсе аналитической геометрии операциями сложения и умножения на число являются линейными пространствами.

Пример 2. Множество {x} всех положительных вещественных чисел. Сумму двух элементов определим как произведение вещественных чисел x и y (понимаемое в обычном для вещественных чисел смысле). Произведение элемента x множества {x} на вещественное число λ определим как возведение положительного вещественного числа x в степень λ. Нулевым элементом множества {x} будет являться вещественное число 1, а противоположным (для данного элемента x)  элементом будет являться вещественное число 1/x.

Пример 3. Арифметическое n-мерное векторное пространство, где под вектором понимается кортеж из n вещественных чисел Аⁿ. Элемент пространства Аⁿ обозначим x=(x₁,x₂,…x_n), вещественные числа x_i, i=1,2,…n называют координатами вектора x. Часто множество Аⁿ называют n-мерным координатным пространством. Операции сложения элементов множества Аⁿ и умножения этих элементов на вещественные числа определяются правилами:

(x₁, x₂, …,x_n)+(y₁, y₂, …, y_n)= (x₁+y₁, x₂+y₂, …, x_n+y_n)

λ(x₁, x₂, …,x_n) = (λx₁, λx₂, …,λx_n)

нулевым элементом Аⁿ является нулевой вектор 0=(0, 0, …, 0)

противоположным элементом  x=( x₁, x₂, …,x_n) является элемент (-x₁, -x₂, …,-x_n)

Пример 4. Множество  С[a, b] всех функций x=x(t), определенных и непрерывных на сегменте a≤t≤b. Операции сложения таких функций и умножения на вещественное число определяются обычными правилами математического анализа.

Пример 5. Множество {P_n(t)} всех алгебраических многочленов степени, не превышающей натурального числа n, с операциями сложения и умножения на вещественное число определенными такими же правилами, как для функций. Можно заметить, что на сегменте a≤t≤b множество {P_n(t)} является подмножеством С[a, b], указанного в примере 4.

Пример 6. Множество  всех действительных (или комплексных) матриц данного порядка m×n относительно операции сложения матриц и умножения матрицы на число.

Следует также  отметить то, что в сформулированном выше определении линейного пространства числа λ, µ,… брались из множества вещественных чисел. Поэтому определенное таким образом пространство называют вещественным линейным пространством. При более широком подходе можно брать λ, µ,… из множества комплексных чисел. Это приведет к введению понятия комплексного линейного пространства¹.

Элементы произвольного  линейного пространства принято  называть векторами. При этом еще  раз подчеркнем то обстоятельство, что употребление термина «вектор» в более узком смысле (так как  мы делали это в §1) не приводит к недоразумениям. Напротив, взывая к сложившимся геометрическим представлениям, данный образ позволяет уяснить, и даже предвидеть ряд результатов, справедливых для линейных пространств произвольной природы. Далее при изложении, принимая во внимание формулировку темы курсовой работы, мы будем пользоваться как понятием «вектор» и обозначать элементы векторных пространств как а, b, c и т.д., так и понятием элемент и обозначать их как x, y, z и т.д.

Из аксиом 1-8 в качестве логических следствий можно получить ряд утверждений справедливых для произвольных векторных пространств. Так, в произвольном линейном пространстве существует единственный нулевой элемент и для каждого элемента х существует единственный противоположный элемент. При этом нулевой вектор 0 равен произведению произвольного элемента x на вещественное число 0. Для каждого элемента x противоположный элемент равен произведению этого элемента x на вещественное число -1.

По аналогии с положениями аналитической  геометрии введем понятия линейной зависимости элементов произвольного линейного пространства. Выражение вида

αx+βy+…+γz, где α, β, …, γ – произвольные вещественные числа, называют линейной комбинацией элементов x,y, …z пространства V.

Элементы x, y, …, z пространства V называют линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа α, β, …, γ, из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация элементов x, y, …, z с указанными числами является нулевым элементом пространства V, т.е. имеет место равенство: αx+βy+…+γz=0

Элементы x, y, …, z пространства V называют линейно независимыми, если указанная выше линейная комбинация является нулевым элементом пространства V лишь при условии α=β= …=γ=0.

Для того чтобы  элементы x, y, …, z  пространства V были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из этих элементов являлся линейной комбинацией остальных элементов. При этом если среди элементов имеется нулевой, то эти элементы линейно зависимы. А также, если часть элементов x, y, …, z линейно зависима, то и все эти элементы являются линейно зависимыми.

Понятие линейной зависимости является, таким образом, естественным обобщением понятий коллинеарности и компланарности геометрических векторов. Мы знаем, что в пространстве В₃ таких векторов особая роль принадлежит тройке координатных ортов i, j, k. Естественно возникает вопрос отыскания в произвольном векторном пространстве V систем векторов, обладающих подобными свойствами.

Совокупность  линейно независимых элементов e1, e2, … en пространства V называется базисом этого пространства, если для каждого элемента x пространства V  найдутся вещественные числа x₁, x₂, …, x_n такие, что справедливо равенство:

x=x₁e₁+x₂e₂+…+x_ne_n

Данное равенство  называется разложением вектора x по базису e₁, e₂, …, e_n, а числа x₁, x₂, …, x_n называются координатами вектора x (относительно базиса e₁, e₂, …, e_n). Разложение по базису для каждого элемента x является единственным.

Отметим, что  для арифметического линейного  векторного пространства Аⁿ, которое было рассмотрено в Примере 3, одним из базисов являются следующие n элементов: e₁ = (1, 0, …,0), e₂ = (0, 1, …, 0), …, e_n = (0, 0, …,1).

При сложении двух любых элементов линейного пространства их координаты (относительно любого базиса) складываются; при умножении произвольного элемента на любое число все координаты этого элемента умножаются на это число.

Линейное пространство называется n-мерным, если в нем существует n линейно независимых элементов, а любые n+1 элементов уже являются линейно зависимыми. В этом случае число n называют размерностью пространства, например V, и обозначают dimV². Если линейное пространство имеет размерность n, то любые n линейно независимых элементов образуют его базис. И, наоборот, если базис линейного пространства содержит n векторов, то размерность данного пространства равна n. Так, размерность арифметического линейного векторного пространства Aⁿ равна n, размерность пространства {x} (рассмотренного в примере 2) равна единице.

Следует отметить, что различные линейные пространства одной и той же размерности n в смысле свойств, связанных с введенными в этих пространствах операциями, по существу не отличаются друг от друга. В этой связи вводится определение изоморфных линейных пространств. Так, два произвольных вещественных линейных пространства V и V` называются изоморфными, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие. А именно, если элементам x и y пространства V отвечают элементы x` и y` пространства V`, то элементу x+y отвечает элемент x`+y`, а элементу λx – элемент λx` при любом вещественном λ. В этом случае нулевому элементу пространства R отвечает нулевой элемент пространства R`. Можно доказать, что любые два n-мерных вещественных линейных пространства изоморфны. Таким образом, единственной существенной характеристикой конечномерного линейного пространства является его размерность. Можно сказать также, что всякое n-мерное линейное пространство изоморфно n-мерному координатному пространству Аⁿ.

 

§3. Евклидовы линейные пространства

Следующий шаг  связан с введением в пространствах любой размерности скалярного произведения. Оно позволит говорить в общей ситуации о таких (присущих евклидовой геометрии) понятиях, как длина, угол, ортогональность.

В вещественном линейном пространстве V задано скалярное произведение, если каждой паре его векторов a,b из V соответствует действительное число, обозначаемое (a,b), и при любом выборе векторов выполнены следующие свойства:

1. (а,b)=(b,a);
2. (a`+a``,b)=(a`,b)+(a``,b)
3. (λa,b)=λ(a,b) для любого числа λ
4. (a,a)≥0, причем (a,a) = 0 тогда и только тогда, когда а =0

В этом определении  выделены важнейшие свойства обычного скалярного произведения геометрических векторов, из которых в качестве следствия можно получить и все  другие его свойства.

Линейное пространство, в  котором задано скалярное произведение, называют обычно евклидовым пространством и обозначают Е.

Подчеркнем, что при введении понятия евклидова пространства абстрагируются не только от природы  изучаемых объектов, но и от конкретного  вида правил образования суммы элементов, произведения элемента на число и скалярного произведения векторов (важно лишь, чтобы эти правила удовлетворяли восьми аксиомам линейного пространства и четырем аксиомам скалярного произведения).

Если же природа  изучаемых объектов и вид перечисленных  правил указаны, то евклидово пространство называется конкретным.

 Примеры евклидовых пространств следующие.

Пример 1. Линейное пространство В₃ всех свободных векторов

Пример 2. Арифметическое векторное линейное пространство Аⁿ, если положить то, что для любой пары векторов а=(а1, а2, … аn), b=(b1,b2, …, bn) из Aⁿ

(a,b)=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

Пример 3. Бесконечномерное линейное пространство С[α,β] всех функций x(t), определенных и непрерывных на сегменте α≤t≤β. Скалярное произведение двух функций x(t) и y(t) определим как интеграл (в пределах от α до β) от произведения этих функций.

Для любых двух векторов a и b произвольного евклидова пространства справедливо неравенство (a,b)2≤(a,a),(b,b), называемое неравенством Коши-Буняковского.

В любом евклидовом пространстве естественным образом определяется длина │a│= √(a,a). Таким образом, можно говорить, что скалярное произведение определяет «метрику» в линейном пространстве, т.е. способ измерения длин. В евклидовом координатном пространстве Aⁿ с определенным выше скалярным произведением действует знакомое правило для вычисления длины │a│=√a₁²+a₂²+…+a_n² – длина вектора есть корень квадратный из суммы квадратов его координат.

В любом вещественном евклидовом пространстве можно ввести понятие угла между двумя произвольными элементами а и b этого пространства. В полной аналогии с векторной алгеброй назовем углом φ между векторами а и b тот (изменяющийся в пределах от 0 до π) угол, косинус которого определяется соотношением