Многочлени з однією змінною в полі раціональних чисел

f(x)=р (х)р (х)...р (х), де р (х) – незвідні в полі Р, і=1,2,...,l.

Звідси  випливає ще один запис многочлена f(x):

 

f(x)=[p (x)] [p (x)] …[p (x)] ,

 

де р (х) – попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні в полі Р.

 

          Таке зображення називають канонічним розкладом многочлена f(x) в полі Р.

Основна відмінність  многочленів над полем Q від многочленів  над полями R та С полягає в  тому, що над полем Q існують многочлени як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним  є довільний многочлен степеня  вищого 2, а в кільці С[x] – степеня  вищого 1.

Ясно, що будь-яке  алгебраїчне рівняння з раціональними  коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна  звести до рівняння з цілими коефіцієнтами  . [19]

 

           Терема Ейзенштейна (критерій незвідності).

Якщо в многочлені з  цілими коефіцієнтами    коефіцієнти , діляться на деяке просте число , причому не ділиться на , а старший коефіцієнт не ділиться на , то многочлен незвідний у полі Q .

 

Доведення.    

 

 Досить показати , що при заданих  умовах  не може бути добутком двох многочленів ненульового степеня з цілими коефіцієнтами . Припустимо супротивне, тобто, що .

 

Тут r+s = n.    Нехай .

Тоді

 

Оскільки  , тобто , ділиться на p, але не ділиться на , то на p може ділитися лише одне з чисел: або . Нехай , тоді . З другої рівності випливає, що (бо за умовою, а с₀ р). Тоді з третьої рівності . Так можна показати, що всі коефіцієнти діляться на p. Але це неможливо, бо тоді й a_n ділилось б на p (із останньої рівності), що суперечить умові теореми.

Отже , - незвідний в полі Q ▲.

 

 Таким  чином, у кільці многочленів  над полем Q є многочлени довільного  степеня , незвідні в полі Q .

 

Лема (про незвідні многочлени).

 

          Нехай - незвідний многочлен і і , тоді абo або _.

Доведення.

          Припустимо не ділиться на і покажемо . Доведемо від супротивного, що многочлени і взаємнопрості. такий, що , , тоді з незвідності многочлена , де , тобто і асоціативні. Оскільки , то і для асоційованого виконується . Прийшли до суперечності.

          Таким чином і - взаємнопрості і за наслідком з теореми про НСД такі, що . Домножимо цю рівність на маємо:

.

Зрозуміло, що за умовою, тоді .

 

 

Зауваження 1.

Індукцією по числу многочленів  можна довести наступне твердження. Нехай  незвідний многочлен , де , тоді хоч для одного номера .

 

Зауваження 2.

Доведена лема виконується тільки якщо незвідний многочлен. Справді, нехай звідний многочлен, тоді існують такі многочлени, що і степені цих многочленів більші нуля.

= + тобто > ,  > ,

а тому жоден із многочленів , не ділиться на . Прийшли до суперечності. [17]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 3. ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ МНОГОЧЛЕНІВ ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ У ШКІЛЬНОМУ КУРСІ МАТЕМАТИКИ

 

          Історично поняття многочлена виникло в елементарній алгебрі у зв'язку з переходом від рівняння першого степеня з одним невідомим до квадратного рівняння, а потім і до деяких окремих типів рівнянь третього та четвертого степеня. Розвиток теорії многочленів був пов'язаний із спробами пошуку загальних методів розв'язування рівнянь вищих степенів. При цьому намітилися два підходи до побудови теорії многочленів - функціональний та алгебраїчний. У рамках цих підходів по-різному розглядається вираз а₀+а₁x+а₂х²+...+а_nхⁿ та трактуються операції додавання і множення многочленів.

    Якщо під значенням символу х у виразі а₀+а₁x+а₂х²+...+а_nхⁿ розуміти деяке конкретне число, що береться з тієї ж множини, якій належать коефіцієнти а₀, а₁,

а₂ , … , а_n ( наприклад, множини дійсних чисел) та операції додавання і множення розглядати як операції над числами, то під виразом а₀+а₁x+а₂х²+...+а_nхⁿ треба розуміти функцію f(x), яка задана на даній множині.

     Функціональний погляд на многочлен характерний для математичного аналізу. Для алгебри таке розуміння не зовсім зручне й не завжди можливе. Це зумовлено тим, що многочлени мають велике значення у теорії кілець і полів, та існують скінченні кільця та поля, над якими многочлени недоцільно розглядати як неперервні функції. Тому при алгебраїчному підході до побудови теорії многочленів у математиці спочатку дають означення многочлена, яке пов'язане з поняттям кільця многочленів над полем, обґрунтовують існування такого кільця, його єдиність з точністю до ізоморфізму, доводять, що в такому кільці елементи можна подані у вигляді а₀+а₁x+а₂х²+...+а_nхⁿ, де а₀, а₁, а₂ , … , а_n і що вони належать числовому полю, над яким розглядають кільце многочленів. [14]

          Ці два підходи, що склалися в математичній науці, знайшли відображення і в шкільній математиці у відповідній методичній обробці. Так, вивчення тотожних перетворень виразів, розклад многочлена на множники, правила виконання дій над многочленами є реалізацією алгебраїчного підходу, а розгляд многочлена як функції дійсної змінної, знаходження значень многочлена при заданих значеннях аргументу, визначення проміжків знакосталості, монотонності є реалізацією функціонального підходу до вивчення теорії многочленів. Для шкільного курсу алгебри мають значення обидва підходи. В одних випадках доводиться зосереджувані увагу на алгебраїчній стороні питання, в інших - інтерес викликає функціональна сторона.

          Теорія многочленів у курсі математики середньої школи вивчається протягом багатьох років. Умовно процес вивчення цієї теми можна розбити на декілька етапів. [23]

       Перший етап включає формування понять «числовий вираз» (починаючи з 3 класу), «буквений вираз» (з 4 класу) і закінчується темою «Одночлен» (у 7 класі).

       На цьому етапі навчання основна увага приділяється формуванню умінь і навичок конструювання алгебраїчних виразів і знаходженню їх функціональних значень, тотожному перетворенню алгебраїчних виразів над конкретною числовою множиною.

       У 6 класі в темі «Переставний і сполучний закони множення» зазначається, що названі закони дають змогу спрощувати вирази, що складаються з числових і буквених множників. Якщо вираз є добутком числа і однієї або кількох букв, то число називають числовим коефіцієнтом або просто коефіцієнтом. Коефіцієнти таких виразів, як а або аb, вважають такими, що дорівнюють 1, оскільки а=1a. аb=1аb. Множення -1 на будь-яке число а дає число -а: -1а =-а. Тому числовим коефіцієнтом цього виразу є число -1.

        Введення в 6 класі дії піднесення до натурального степеня дає можливість розширити «фронт» спрощення буквенних виразів, основу якого тепер складають означення степеня з натуральним показником, сполучний, переставний і розподільний закони додавання і множення. [19]

Приклад:                     

 Спростити вираз:

-11у(2у-4)+10у(Зу-2)-4y(1-у).

Застосуймо розподільний  закон:

-11y*2y+11y*4+10y*3y-10y*2-4y+4y*y;

Переставний закон множення:

(-11)y*2y+11*4y+10*3yy-10*2y-4y+4yy;

Сполучний закон множення (спрощуючи  вирази, що містять однакові множники)

 -22y²+44y+30y²-20y-4y+4y²;

Переставний і сполучний закон  додавання:

(-22y²+30y²+4y²)+( 44y-20y-4y);

Розподільний закон:

(-22+30+4) y²+(44-20-4) y=12 y²+20 y. [21]

          Пояснення процедури перетворення виразів значно спрощується після введення поняття «подібні доданки»: подібні доданки можуть відрізнятися один від одного тільки коефіцієнтами (6 клас).

 У курсі алгебри (7 клас) ще раз звертаються до поняття степеня з натуральним показником і доводять властивості степенів.

Зазначені теоретичні відомості дають  змогу ввести поняття «одночлен» на конструктивному рівні: вирази 5a²x, 2b³, bc³ є добутками чисел, змінних і їхніх степенів. Такі вирази, а також числа, змінні та їхні степені називають одночленами.

         У 7 класі вводять означення многочлена: многочленом називається сума одночленів. Одночлени, з яких складається многочлен, називають членами многочлена. Степенем многочлена називають найбільший із степенів одночленів, що входять до його складу.

         Введенням поняття «многочлен» починається другий етап вивчення елементів алгебри многочленів. Вводяться, за певними законами (правилами), дії додавання, віднімання, множення многочленів. При цьому наголошується замкненість множини многочленів стосовно цих дій: суму (різницю) і добуток будь-яких двох або декількох многочленів можна зобразити у вигляді многочлена.

Зображення многочлена у вигляді  добутку двох або декількох многочленів (серед яких можуть бути й одночлени) називають розкладом многочлена на множники. Способи розкладу: винесення  спільного множника за дужки, спосіб групування, за формулами скороченого  множення. [14]

       Програмою з математики для шкіл та класів математичною профілю передбачено вивчення питань теорії подільності многочленів (ділення з остачею, теорема Безу, схема Горнера та ін.). Це допомагає при вивченні теорії многочленів використовувати аналогію з множиною цілих чисел, яка заснована на структурній однотипності множини многочленів та множини цілих чисел. Запропонована методична система вивчення теорії многочленів передбачає використання цієї аналогії.

         Зокрема, підготовка до вивчення елементів теорії подільності многочленів (10 кл.) містить узагальнення відповідних знань та вмінь учнів за курс неповної середньої школи. При цьому увага зосереджується на означенні поняття многочлена, степеня многочлена, кореня многочлена, поняття многочлена нульового степеня, нульового многочлена; виконанні операцій над многочленами; елементах теорії подільності цілих чисел. [20]

          Відзначимо, що теорія подільності може бути змістовно розвинута для досить великої кількості кілець, до яких належать кільця многочленів та цілих чисел. Тому природним та ефективним є використання аналогії, яка існує між цими теоріями.

          Тому вивчення теоретичного матеріалу цієї теми можна розпочати з дослідження структури множини многочленів з раціональними коефіцієнтами відносно операцій додавання і множення, результати виконання яких потрібно подати у загальному вигляді:

f(х)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀

g(x)= b_nxⁿ+b_n-1x^n-1+…+b₁x+b₀

f(x)+g(x)= (a_n+b_n) xⁿ+( a_n-1+ b_n-1) x^n-1+…+( a₁ +b₁)x+( a₀ +b₀)

f(x)g(x)= a_nb_n x²ⁿ+( a_nb_n-1+ a_n-1b_n) x^2n-1+( a₀b₁+ a₁b₀)x+ a₀b₀. [18]

 

Висновки:

 

       У поданій курсовій роботі ми розглянули поняття многочлена від однієї змінної, висвітлили основні властивості многочленів та розкрили роль многочленів від однієї змінної над полем раціональних чисел у вищій математиці. Також були подані відомості про подільність многочленів та властивості подільності. Ми розглянули схему Горнера, теорему Безу, висвітлили поняття найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного многочленів, незвідність многочленів та методи знаходження раціональних коренів. Проаналізували роль даної теми саме у шкільному курсі математики. Мали місце практичні приклади по знаходженню коренів многочленів.

 

 

 

 

 

 

 

 

Список  використаних джерел:

 

А.Г. Курош Курс высшей алгебры/ А.Г. Курош// Санкт-Петербург.— 2003г.— С. 165.

А.И. Кострикин Введение в алгебру/ А.И. Кострикин// М.: Физматлит.— 2001г.— С. 59.

Андронов И. К., Окунев А. К. Арифметика рациональных чисел/ И.К. Андронов, А.К. Окунев// М. : Просвещение.— 1971.— С. 64-70.

Бородін О.І. Теорія чисел/ О.І. Бородін// К. : Вища школа.— 1970.— С. 46.

Брадис В. М. Теоретическая арифметика/ В.М. Брадис// М. : Учпедгиз.—1954.— С. 194.

Васильев А. В. Введение в анализ. Вып. 2. Общие понятия о числах/ А.В. Васильев// Казань.— 1910.— С. 89.

Винберг Э.Б. Алгебра многочленов/ Э.Б. Винберг// М., Просвещение.—1980. – С. 120-134.

Виноградов И. М. Основы теории чисел/ И.М. Виноградов// М.: Наука.— 1981.— 9-е изд.— С. 98.

Данилов Ю.А. Многочлены Чебышева/ Ю.А. Данилов// Мн.: Высшая школа.— 1984.— С. 57.

Деменчук В. В. Многочлены и мікрокалькулятор/ В.В. Деменчук// Мн.: Высшая школа.— 1988.— С.143.

Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики: Учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович В. А., Кудрявцев// М.: ООО «Издательство Астрель» .— 2001.— С. 456.

Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б.І. Алгебра і теорія чисел. В 2 ч./ С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.І. Хацет// К. : Вища шк. Головне вид-во.— 1977.— С. 260.

Завало С. Т., Костарчук В. М., Хацет Б. I. Алгебра і теорія чисел: В 2 ч/ С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.І. Хацет // К. : Вища шк. Головне вид-во С.Т. Завало, В.М. Костарчук, Б.І. Хацет.— 1980.— С. 258-290.

Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел/ Л.Я. Куликов// М. : Высшая школа.— 1979.— С. 93.

Курош А. Г. Курс высшей алгебры/ А.Г. Курош// М. : Наука.— 1975.— С. 75.

Ляпин Е. С., Евсеев А. Е. Алгебра и теория чисел: В 2 ч. Числа/ Е.С. Ляпин, А.Е. Евсеев// М. : Просвещение.— 1974.— Часть 1 .— С. 49-56.

Макаров И. П. Теория функций действительного переменного/ И.П. Макаров// М. : Просвещение.— 1965.— С. 59.

Мельников Ю.Б. Многочлены. Изд. 3-е, испр. и доп/ Ю.Б. Мельников// Екатеринбург.— 2010.— С. 368.

Окунев Л. Я Высшая алгебра/ Л.Я. Окунев// М. : Просвещение.— 1966.— 2 издание.— С. 89-93.

Проскуряков И. В. Понятие множества, группы, кольца и поля. Теоретические основы арифметики/ И.В. Проскуряков// М. : Гостехтеоретиздат.— 1951.— С. 65.

Табачников С.Л. Многочлены/ С.Л. Табачников// М: ФАЗИС.— 2000.— Изд.2-е, пересмотр.— С. 46.

Хом Г.Г. Алгебра и теория чисел в школьной математике: Учебное пособие/ Г.Г. Хом// Мурманск.— 1951.— С. 120.

Числа и многочлены/ Сост. А.А. Егоров// М.: Бюро Квантум.— 2000.— С. 128.

Шкіль M.I., Колесник T.B., Хмара T.M. Алгебра і початки аналізу/ М.І. Шкіль, Т.В. Колесник, Т.М. Хмара// Київ.: Освіта.— 2000.— Підручник для учнів 10 класу з поглибленим вивченням математики в середніх закладах освіти.— С. 227.