Многочлени з однією змінною в полі раціональних чисел

ЗМІСТ

 

ВСТУП………………………………………………………………………………………2

I.Основні відомості про многочлен від однієї змінної. Основні властивості многочленів над полем…………………………………………………………………..4

    1.1. Основні відомості про многочлени………………………………………………4

    1.2. Подільність многочленів………………………………………………………….6

    1.3. Найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне многочленів…12

II. Обчислення раціональних коренів. Незвідність многочленів над полем раціональних чисел……………………………………………………………………..15

     2.1. Обчислення раціональних коренів…………………………………………….15

     2.2. Незвідність многочленів над полем раціональних чисел……………………20

III. Елементи теорії многочленів від однієї змінної у шкільному курсі математики………………………………………………………………………………24

ВИСНОВКИ……………………………………………………………………………......28

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………………….29

 

 

 

 

 

 

 

 

ВСТУП

 

Мета дослідження полягає у розгляді поняття многочлена від однієї змінної, висвітленні основних властивостей многочленів від однієї змінної та у розкритті ролі многочленів від однієї змінної над полем раціональних чисел у вищій математиці та у шкільному курсі математики.

 

Завдання дослідження:

 

1. Подання теоретичних відомостей про многочлени від однієї змінної.
2. Розгляд незвідних многочленів над полем раціональних чисел та методів знаходження раціональних коренів.
3. Аналіз елементів теорії многочленів від однієї змінної у шкільному курсі математики.

 

          До середини XIX століття центральним завданням алгебри було знаходження формули для коренів рівняння P (x) = 0, де P - многочлен довільного ступеня. Ця задача була повністю вирішена в роботах молодих математиків першої третини XIX століття – Е. Галуа (1811-1832), Н. Абеля (1802-1829) і П. Руффіні (1765-1822).

 

          Ще в XVI столітті італійськими математиками були знайдені формули для розв'язання рівнянь третього і четвертого степеня. Абель і Руффіні довели, що, починаючи з п'ятого степеня, загальної формули, що використовує, крім додавання і множення, лише добування коренів, не існує, а Галуа відкрив закономірності поведінки коренів, відносно кожного конкретного рівняння.

Паралельно  з цим К. Гаусс довів основну теорему алгебри, яка стверджує, що будь-який многочлен (коефіцієнти многочлена можуть бути не тільки дійсними, але і комплексними числами) має хоча б один корінь (можливо, є не дійсним, а комплексним числом). Після цього питання про обчислення коренів многочлена перемістилось з алгебри в теорію функцій і наближених обчислень.

         У XX столітті роль многочленів стала мінятися. Букви, які входять до многочленів, все більше стали грати роль символів, не пов'язану з їх конкретними значеннями. Самі різні області математики і її додатків стали використовувати символьне обчислення многочленів, не залежне від теорії функцій (математична логіка, топологія, теорія інформації, дискретна і комп'ютерна математика і т. д.).

Наведемо  приклад. У XX столітті найважливішим  завданням людства стала задача передачі інформації (радіо, телефон, передача відеосигналів і т. д.).

           Математично повідомлення може бути записане у вигляді послідовності символів (крапки і тире в старовинній абетці Морзе, нулі і одиниці і т. д.), переданої по так званому каналу зв'язку (наприклад, у вигляді радіосигналів). При передачі можливі спотворення, які при прийомі повідомлення повинні бути виправлені. Була запропонована (і активно використовується по теперішній час) ідея кодування повідомлення - така його передача, що після прийому-передачі можна було б виявити і виправити випадкові помилки. Основний спосіб кодування полягає в наступному. З послідовності сигналів (наприклад, з цифр 0 і 1) складається формальний многочлен  . Потім підбирається деякий фіксований многочлен Q (x) (кодує многочлен) і множиться на P (x). Передається не вихідна послідовність сигналів, а послідовність коефіцієнтів добутку P(x)*Q(x). Многочлен Q (x) можна підібрати так, що при прийомі будуть розпізнаватися випадкові помилки, що виникли при передачі. При цьому пошук кодування многочлена Q (x) виявився чисто алгебраїчним завданням, оскільки ця задача пов'язана з питаннями подільності многочлена і поведінки його коренів. [10]

 

 

 

 

 

 

 

РОЗДІЛ 1. ОCНОВНІ ВІДОМОСТІ ПРО МНОГОЧЛЕН ВІД ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ. ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ МНОГОЧЛЕНІВ НАД ПОЛЕМ

 

1.1. Основні відомості про многочлени

 

          Многочленом ( поліномом: поліс – багато, номе – член) від однієї змінної над цілісним кільцем R називається вираз виду a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀, де n – довільне ціле невід’ємне число, a_n, a_n-1, ..., a₁, a₀ – елементи цілісного кільця R, x, x²,…, x^n-1, xⁿ – деякі символи.

х^k називають k-м степенем змінної (невідомого) х, a_k – k-м коефіцієнтом многочлена, a_kx^k – k-м членом многочлена (k = 0,1,...,n); a₀ називають ще вільним членом.

Позначають  многочлени від змінної х малими латинськими буквами: f(x), g(x), q(x),…, множину всіх многочленів від х над цілісним кільцем R   –   R[x].

Відмінний від  нуля член многочлена f(x), степінь якого більший за степінь усіх інших ненульових членів цього многочлена, називається старшим членом, його коефіцієнт – старшим коефіцієнтом, а його степінь – степенем многочлена f(x). Степінь многочлена f(x) позначають deg f (degree – степінь). [7]

Форму запису многочлена, впорядкованого за спаданням  степеня x^k, називають канонічною. Елемент a₀ ≠0 називають многочленом нульового степеня, а елемент 0 – нуль-многочленом ( позначають θ(х) = 0).

Нехай задано два многочлени :

 

f(x) = a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ ,       a_i R, i = 0, 1,…, n,

g(x) = b_mx^m+b_m-1x^m-1+…+b₁x+b₀,    b_j R, j = 0,1,…, m.

 

Многочлени f(x) і g(x) називають рівними між собою, якщо канонічні форми цих многочленів співпадають, тобто рівними є степені обох многочленів і їх відповідні коефіцієнти.

Сумою многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

.

при n>m.

 

Добутком многочленів f(x) і g(x) називається многочлен

 

 де  при i›n, при j›m.

Множина R[x] усіх многочленів над цілісним кільцем R утворює цілісне кільце відносно операцій додавання і множення многочленів. [8]

Дійсно, оскільки додавання і множення многочленів  зводиться до виконання аналогічних  операцій над їх коефіцієнтами, які  є елементами деякого цілісного  кільця R, то асоціативність і комутативність додавання і множення многочленів випливають із виконання відповідних властивостей в кільці R. Звідси ж випливає і дистрибутивність множення відносно додавання. Нульовий елемент в множині R[x] існує, це . Отже, R[x]–комутативне кільце. Залишилось показати відсутність дільників нуля. Якщо то якщо то Отже має старший коефіцієнт (оскільки в R немає дільників нуля) і тому не є нуль-многочленом, що й треба довести. Таким чином, R[x] – цілісне кільце. ▲[2]

 

 

 

 

 

1.2. Подільність многочленів

 

а) Ділення з  остачею

Для розгляду теорії подільності многочленів  від однієї змінної цілісне кільце R, якому належать усі коефіцієнти многочленів, потрібно замінити полем Р, для того, щоб для довільного елемента існував обернений елемент , або щоб разом із довільними двома елементами , b≠0 поля Р до цього ж поля належала і їх частка . Цілісне кільце многочленів від однієї змінної з коефіцієнтами із поля Р позначають тепер   P[x].

Два різні  многочлени із P[x], як правило, не діляться один на одного. Однак для P[x] можна побудувати теорію подільності, аналогічну теорії подільності цілих чисел, якщо операцію ділення многочленів в P[x] замінити більш загальною операцією ділення з остачею.

Вважається, що многочлен  ділиться з остачею на многочлен g(x)≠0 P[x], якщо в P[x] існують такі многочлени s(x) та r(x), що , причому або r(x)=0, або deg r<deg g. [4]

 

Теорема (про ділення з остачею).

          Довільний многочлен f(x) з кільця P[x] однозначно ділиться з остачею  на будь-який ненульовий многочлен  g(x) з цього кільця.

Доведення.

Встановимо можливість ділення  з остачею. Нехай 

                                                                                     

Якщо f(x)=0, то s(x)=0 і r(x)=0.

Якщо n=deg f<deg g=m, то s(x)=0 і r(x)=f(x).

Нехай n m. Виконаємо доведення методом індукції за n.

При n=0 отримаємо m=0, f(x)=a₀, g(x)=b₀≠0, тому s(x)= , r(x)=0. Ясно, що s(x) P[x], бо P (ось де потрібна була заміна R на Р, здійснена на початку параграфа).

Припустимо, що теорема вірна для всіх многочленів f(x) степеня, меншого за n, і доведемо її для многочленів степеня n.

Розглянемо  многочлен р(х)=f(x)– Cтарші члени обох многочленів справа є рівними а_nхⁿ, тобто взаємно знищаться. Тому deg p(x) < n і, за припущенням індукції,  p(x) ділиться з остачею на  g(x):

 

p(x)=g(x)·s₁(x)+r₁(x),   де   s₁(x),r₁(x) P[x],          r₁(x)=0   або   deg r₁<deg g.

 

Звідси 

f(x) - = g(x)·s₁(x)+r₁(x), тобто

f(x)=g(x)·s(x)+r(x),

 

де     r(x)=r₁(x) P[x],      s(x)=s₁(x) ,

причому r(x)=0   або deg r<deg g.

Можливість ділення  f(x) на g(x) з остачею доведена.

Покажемо  єдиність частки s(x) і остачі r(x). Припустимо, що можливі два варіанти:

f(x)=g(x)∙s(x)+r(x),      deg r<deg g ;

 

f(x)=g(x)∙s^*(x)+r^*(x),   deg r^*<deg g.

 

Віднімемо рівності :      g(x)[s(x) – s^*(x)]=r^*(x) – r(x).

За умовою g(x) 0. Якщо б r(x) r^*(x), то й s(x) s^*(x). Але тоді отримується суперечність, оскільки степінь правої частини менший степеня лівої частини. Отже, r(x)=r^*(x). Але тоді  і   s(x)=s^*(x). Таким чином, частка і остача єдині.▲

 

Наслідок. Кільце P[x] многочленів над полем Р є евклідовим.

На практиці ділення многочленів здійснюють відомим способом „ ділення кутом  ”, в основі якого лежить метод, використаний при доведенні теореми про  ділення з остачею.

Оскільки  частка s(x) і остача r(x) визначаються однозначно, то для їх знаходження можна користуватися і методом невизначених коефіцієнтів, який ґрунтується на прирівнюванні коефіцієнтів при однакових степенях x в лівій і правій частині рівності f(x)=g(x)∙s(x)+r(x), де s(x) шукають у вигляді многочлена із невизначеними коефіцієнтами степеня n–m , а r(x) – степеня m-1. [10]

 

Приклад.

 

Поділити f(x) на g(x) і знайти s(x) та r(x):

                                                                           f(x)=x⁴-2x³+x-1  ,  g(x)=x²-2.

1) Ділення кутом:

 

_x4–2x3      +x  –1

x2–2

x4      –2x2

x2–2x+2

_–2x3+2x2

–2x3     +4x

_2x2–3x   2x2     –4

–3x+3

 

 

 

 

 

 

 

Отже,   s(x)=x²–2x+2,   r(x)= –3x+3.

 

 

2) Ділення методом невизначених коефіцієнтів:

    x⁴–2x³+x–1=(x²–2)(A₂x²+A₁x+A₀)+(B₁x+B₀)

                           

 

Отже,  s(x)=x²–2x+2, r(x)= –3x+3. [18]

 

б) Ділення многочлена на лінійний двочлен

Розглянемо  важливий випадок ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x–α. Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.

 

a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀=(x–α)(A_n-1x^n-1+A_n-2x^n-2+…+A₁x+A₀)+r.

 

Тут r = const, оскільки deg r(x)=m–1=1–1=0.

Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах, отримаємо:

 

a_n=A_n-1                       A_n-1=a_n,

a_n-1=A_n-2-αA_n-1           A_n-2=a_n-1+αA_n-1,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

a₁=A₀-αA₁                  A₀=a₁+αA₁,

a₀=r-αA₀                     r=a₀+αA₀.

Із отриманих  формул випливає, що поділити многочлен  на лінійний двочлен можна за певною схемою, яка називається схемою Горнера.

 

 

 

 

	an	an-1	an-2	an-3	…	a1	a0
α	an      An-1	αAn-1+ +an-1    An-2	αAn-2+ +an-2    An-3	αAn-3+ +an-3    An-4		αA1+ +a1    A1	αA0+ +a0    A0

 

Теорема (Безу).  Для довільного елемента α поля Р остача при діленні многочлена f(x) P[x] на x-α дорівнює f(α).

Дійсно, згідно формули ділення з остачею f(x)=(x-α)s(x)+r. Підставимо x=α. Отримаємо f(α)=r, що й треба довести.▲ [19]

 

За допомогою  багаторазового ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x-α з допомогою схеми Горнера можна дістати розклад многочлена f(x) за степенями двочлена x-α, який часто використовується в алгебрі та математичному аналізі.

f(x)=(x-α)f₁(x)+r₀,

f₁(x)=(x-α)f₂(x)+r₁,

f₂(x)=(x-α)f₃(x)+r₂,

- - - - - - - - - - - - -

f_n-1(x)=(x-α)f_n(x)+r_n-1.

 

Ясно, що f_n(x) є многочленом нульового степеня. Позначимо f_n(x)=r_n. Виключивши послідовно всі   f_i(x), i=1,2,…, n-1, отримаємо

 

f(x)=r_n(x-α)ⁿ+r_n-1(x-α)^n-1+…+r₁(x-α)+r₀.

 

Таким чином, отримаємо подання  многочлена f(x) як многочлена від змінної y=x-α.