Методы аппроксимации функций

Рисунок 3

Тогда говорят о подборе эмпирических формул. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов подбора вида этой формулы , содержащей неизвестные параметры a0,a1,…,am, и определение наилучших в некотором смысле этих параметров. Вид формулы иногда известен из физических соображений (для упругой среды связь между напряжением и деформацией) или выбираются из геометрических соображений: экспериментальные точки наносятся на график и примерно угадывается общий вид зависимости путем сравнения полученной кривой с графиками известных функций. Успех здесь в значительной степени определяется опытом и интуицией исследователя.

Для практики важен случай аппроксимации функции многочленами, т.е. F(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm .

После того, как выбран вид эмпирической зависимости степень близости к эмпирическим данным определяется, используя минимум суммы квадратов отклонений вычисленных и экспериментальных данных.

1.8 Кусочно–постоянная интерполяция.

На каждом отрезке [xi-1,xi] интерполяционный многочлен равен константе, а именно левому или правому значению функции.

Для левой кусочно-линейной интерполяции 

F(x)= fi-1, если xi-1 ≤x<xi, т.е.

F(x)=

Для правой кусочно-линейной интерполяции F(x)= fi-1, если xi-1 <x≤xi, т.е.

F(x)=

Легко понять, что условия интерполяция выполняются. Построенная функция является разрывной, что ограничивает ее применение. Для левой кусочно-линейной интерполяции имеем графическое представление:

Рисунок 4

1.9 Кусочно–линейная интерполяция.

На каждом интервале [xi–1, xi] функция является линейной Fi(x)=kix+li .  Значения коэффициентов находятся из выполнения условий интерполяции в концах отрезка: Fi(xi-1)=fi-1, Fi(xi-1)=fi . Получаем систему уравнений: kixi-1+ li= fi-1, kixi+ li= fi  , откуда находим ki= li= fi- kixi .  Следовательно, функцию F(x) можно записать в виде:

F(x)=

x+ fi- kixi , если , т.е.

Или F(x)=ki ·(x-xi-1)+fi-1,  ki = (fi - fi-1) / (xi - xi-1), xi-1 ≤ x ≤ xi, i=1,2,...,N-1

При использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение x, а затем подставить его в формулу.

Итоговая функция будет непрерывной, но производная будет разрывной в каждом узле интерполяции. Погрешность такой интерполяции будет меньше, чем в случае кусочно–постоянной интерполяции. Иллюстрация кусочно–линейной интерполяции приведена на рисунке

Рисунок 5

 

 

 

 

 

 

2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ.

         2.1 Построим интерполяционный многочлен для функции

f(x)=lnx-       по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12.   

Решение:

          Формула для вычисления данного  многочлена выглядит следующим  образом:

L(x)=

   , где  n- количество узлов.

Рассчитаем значения базисных полиномов.

Формула для расчета базисных полиномов:

li(x)=

.

 

Запишем значения узлов функции:

x0=2

x1=4

x2=6

x3=8

x4=10

x5=12

 

Вычислим значения функций f(x) в соответствующих узлах:

f(x0)= =0.6931471805599453-1.5=-0.8068528194400547

f(x1)= =1.386294361119891-1.25=0.136294361119891

f(x2)= =1.791759469228055-1.1666666666666667=0.625092802561388

f(x3)= =2,079441541679835-1.125=0.954441541679835

f(x4)= =2.302585092994045-1.1=1.202585092994045

f(x5)= =2.484906649788-1.083333333333333=1.401573316454667

 

Рассчитаем значения соответствующих базисных полиномов:

l0(x)=

 

l1(x)=

 

l2(x)=

 

l3(x)=

 

l4(x)=

 

l5(x)=

Запишем формулу вычисления многочлена f(x)=lnx- по полученным данным:

L(x)=f(x0)·l0(x)+ f(x1)·l1(x)+ f(x2)·l2(x)+ f(x3)·l3(x)+ f(x4)·l4(x)+ f(x5)·l5(x).

Подставим в формулу полученные значения:

L(x)= ((- 0.8068528194400547) ·(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)+ +0.136294361119891·5(x-2)(x-6)(x-8)(x-10)(x-12)- 0.625092802561388·10·

 · (x-2)(x-4)(x-8)(x-10)(x-12)+ 0.954441541679835·10(x-2)(x-4)(x-6)(x-10)(x-12)-1.202585092994045·5(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-12)+ 1.401573316454667·

·(x-2)(x-4)(x-6)(x-8)(x-10)=0,000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

0.032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+1.50294940468648·x-2.886362165898854

Далее построим график f(x)=lnx-   и сравним его с полученным:

 

Рисунок 6

• f(x)=lnx-

             L(x)= 0.000443792912875·x5-0.001895922201567·x4+

                        0.032520620421826·x3-0.289410042490318·x2+

                        1.50294940468648·x-2.886362165898854

Из рисунка видно, что графики функций совпадают.

Вычислим приближенное значение логарифма от 5,75 с точностью до 0,001.

Решение:

Воспользуемся разложением ln , где х= .

Пользуясь формулой ln = , посчитаем приближенное значение логарифма:

ln5,75=ln

 

Получим оценку погрешности остаточного члена:

Формула нахождения остаточного члена в других точках:

Rn(x)=f(x)-Ln(x).

Подставим значения и вычислим остаточный член:

Rn(x)= -0.234721044665224-(-0.149875603361276)= 0.0122

Для абсолютной погрешности интерполяционной формулы Лагранжа можно получить следующую оценку:

|Rn(x) |≤ .

0.0122374≤9.9512361

Из оценки следует, что выбирая достаточно большое число точек разбиения можно получить результат с необходимой точностью.

2.2 Функцию f(x), заданную таблицей

x	10	15	17	20
f(x)	3	7	11	17

аппроксимируем линейной зависимостью φ(х)=Ах+В, квадратичной зависимостью φ(х)=Ах2+Вх+С.

Решение:

Для решения этой задачи воспользуемся методом наименьших квадратов.

Система нормальных уравнений для линейной зависимости (x)=Ax+B:

Учитывая, что n=4: ;

Получим:

4B+62A=48,

62B+1014A=662

Решаем систему линейных уравнений:

А=

Следовательно, линейная зависимость будет иметь вид:

.

Рассмотрим квадратичную зависимость φ(х)=Ах2+Вх+С. Система нормальных уравнений имеет вид:

Найдем не подсчитанные суммы:

Получим:

 
A= , В=   С=

Следовательно, квадратичная зависимость будет иметь вид:

.

 

Рисунок 7

 Функция, заданная таблицей.

 Линейная зависимость 

 Квадратичная зависимость 

 

По графику найдем значение х, для которого f(x)=10.

x=16.5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                                                                                                                                       

Список литературы.

 

          1. Кириллова С.Ю. Вычислительная математика/Кириллова С.Ю. Изд-во Владим. гос. ун-та, 2009. -102с.

2. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики/ Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда и др.; под ред. Л.И. Бородич.- М.: Высшая школа, 1986. -189с.

          3. http://www.wikipedia.com/

          4. Тюканов, А.С. Основы численных методов: учеб. пособие для студентов. Изд-во РГПУ им. А.И. Герцена, 2007. -226с.

          5. http://www.wolframalpha.com/

          6. http://www.pers.narod.ru/