Методы аппроксимации функций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)

 

Факультет радиотехники и электроники

 

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

по дисциплине «Спецглавы математики»

 

Тема: «Методы аппроксимации функций».

 

 

Расчетно-пояснительная записка

 

 

Разработал студент группы КП-121                   _______________И.С.Кононученко

 

Руководитель                                                        _______________ Кострюков С. А.

 

Защищена _______________Оценка _______________

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2013

 

 

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ  ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО  ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ

«ВОРОНЕЖСКИЙ  ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  ТЕХНИЧЕСКИЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «ВГТУ», ВГТУ)

 

Кафедра высшей математики и физико-математического моделирования

ЗАДАНИЕ

на курсовую работу

по дисциплине «Спецглавы математики»

 

Тема: «Методы аппроксимации функций».

 

Студент группы КП-121 Кононученко Илья Сергеевич

 

 

Содержание расчётно-пояснительной записки:

1. Методы аппроксимации функций.

    1.1. Непрерывная аппроксимация.

    1.2. Точечная аппроксимация.

    1.3. Интерполяционный полином Лагранжа.

    1.4. Интерполяционный полином Ньютона.

    1.5. Погрешность глобальной интерполяции.

    1.6. Метод наименьших квадратов.

    1.7. Подбор эмпирических формул.

    1.8. Кусочно-постоянная  интерполяция.

    1.9. Кусочно-линейная  интерполяция.

2. Практическая часть.

    2.1. Построить интерполяционный многочлен  для функции f(x)=lnx-                                                                                                                                                                                                          

           по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение

           логарифма от 5,75. Получить оценку  погрешности остаточного члена.

 

    2.2. Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной        

         зависимостью φ(х)=Ах+В, квадратичной  зависимостью  

         φ(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10.

 

 

Сроки выполнения этапов _____________________________

 

Срок защиты курсовой работы _________________________

 

Руководитель                        ____________________ Кострюков С. А.

 

Задание принял студент        ____________________И.С.Кононученко

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Замечания руководителя

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

СОДЕРЖАНИЕ

1. Методы аппроксимации функций.  6

    1.1. Непрерывная аппроксимация. 6

    1.2. Точечная аппроксимация. 7

    1.3. Интерполяционный полином Лагранжа. 8

    1.4. Интерполяционный полином Ньютона. 9

    1.5. Погрешность глобальной интерполяции. 10

    1.6. Метод наименьших квадратов. 11

    1.7. Подбор эмпирических формул. 13

    1.8. Кусочно-постоянная  интерполяция. 14

    1.9. Кусочно-линейная  интерполяция. 15

 2. Практическая часть. 17

    2.1. Построить интерполяционный многочлен  для функции f(x)=lnx-                                                                                                                                                                                                          

           по узлам х=2; 4; 6; 8; 10; 12. Вычислить приближенное значение

           логарифма от 5,75. Получить оценку  погрешности остаточного члена. 17

    2.2. Функцию f(x), заданную таблицей, аппроксимировать линейной          

         зависимостью φ(х)=Ах+В, квадратичной  зависимостью  

         φ(х)=Ах2+Вх+С. Найти х, для которого f(x)=10.    21

Список литературы. 24

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. МЕТОДЫ АППРОКСИМАЦИИ ФУНКЦИЙ.

1. Непрерывная аппроксимация.

Если исходная функция f(x) задана аналитическим выражением, то при построении аппроксимирующей функции возможно требовать минимальности отклонения одной функции от другой на некотором непрерывном множестве точек, например, на отрезке . Такой вид аппроксимации называется непрерывным или интегральным.

Теоретически для наилучшего приближения целесообразно требовать, чтобы во всех точках некоторого отрезка отклонения аппроксимирующей функции от функции f(x) было по абсолютной величине меньше заданной величины :

В этом случае говорят, что функция равномерно приближает функцию f(x) с точностью e на интервале . Практическое получение равномерного приближения представляет большие трудности, и поэтому этот способ применяется главным образом в теоретических исследованиях.

Наиболее употребительным является так называемое среднеквадратичное приближение, для которого наименьшее значение имеет величина

.

Потребовав обращения в нуль частных производных от М по параметрам, определяющим функцию , получают уравнения, позволяющие найти наилучшие значения этих параметров.

 

 

1.2 Точечная аппроксимация.

Аппроксимация, при которой приближение строится на заданном дискретном множестве точек , называется точечной.

Для  получения точечного среднеквадратичного приближения функции y=f(x), заданной таблично, аппроксимирующую функцию строят из условия минимума величины

,

где yi  – значения функции f(x) в точках xi.

Основная сфера применения среднеквадратичного приближения – обработка экспериментальных данных (построение эмпирических формул).

Другим видом точечной аппроксимации является интерполирование, при котором аппроксимирующая функция принимает в заданных точках xi, те же значения yi , что и функция f(x), т.е.       .

Рисунок 1

 В этом случае, близость интерполирующей  функции к заданной функции  состоит в том, что их значения  совпадают на заданной системе  точек.

На рис. 1 показаны качественные графики интерполяционной функции (сплошная линия) и результаты среднеквадратичного приближения (пунктирная линия). Точками отмечены табличные значения функции f(x).

1.3 Интерполяционный полином Лагранжа.

Лагранж предложил строить интерполяционный полином в виде разложения

,   

где li(x) – базисные функции.

Для того, чтобы полином удовлетворял условиям Лагранжа, т.е. был бы интерполяционным, базисные функции li(x) должны обладать следующими свойствами:

1)     быть полином степени n

2)     удовлетворять условию .

Лагранж показал, что функции, обладающие указанными свойствами, должны иметь следующий вид

li(x)=

.

С учетом этого выражения интерполяционный полином Лагранжа может быть записан в виде

                                         

.               (4.6)

В отличие от интерполяционного полинома в канонической форме для вычисления значений полинома Лагранжа не требуется предварительно определять коэффициенты полинома путем решения системы уравнений. Однако для каждого значения аргумента x полином Лагранжа приходится пересчитывать вновь, коэффициенты же канонического полинома вычисляются только один раз. Поэтому практическое применение полинома Лагранжа оправдано только в том случае, когда интерполяционная функция вычисляется в сравнительно небольшом количестве точек x.

Интерполяционный полином Лагранжа оказывается очень удобным для приближенного вычисления определенных интегралов. Если, например, некоторую функцию заменить интерполяционным полином Лагранжа , то определенный интеграл от нее может быть вычислен следующим образом

.

 Значения интегралов от  не зависят от f(x) и могут быть легко вычислены аналитически.

1.4 Интерполяционный полином Ньютона.

 Рассмотрим еще одну форму  записи интерполяционного полинома 

Требования совпадения значений полинома с заданными значения функции в узловых точках Ni(xi)=yi, i=0,1,…,n приводит к системе линейных уравнений с треугольной матрицей для неизвестных коэффициентов :

,        

решить которую не составляет труда.

Интерполяционный полином называется полиномом Ньютона. Интересная особенность полинома Ньютона состоит в том, что каждая частичная сумма его первых (m+1) слагаемых представляет собой интерполяционный полином степени m, построенный по первым (m+1) табличным данным.

1.5 Погрешность глобальной интерполяции.

Ошибка приближения функции f(x) интерполяционным полиномом  n-й степени Ln(x) в точке x определяется разностью

.

Можно показать, что погрешность Rn(x) определяется следующим выражением

.

Здесь – производная (n+1) порядка функции f(x) в некоторой точке , а функция определена как

Если максимальное значение производной f (n+1)(x) равно

,

то для погрешности интерполяции следует оценка

.

Конкретная величина погрешности в точке x зависит, очевидно, от значения функции в этой точке. Качественный характер зависимости показан на рис. 2.

 

Рисунок 2

Вследствие описанного поведения погрешности, глобальная интерполяция в некоторых случаях может давать совершенно неудовлетворительный результат. Из рисунка видно, что погрешность интерполяции тем выше, чем ближе точка x лежит к концам отрезка . За пределами отрезка интерполяции (т.е. при экстраполяции) быстро растет, поэтому погрешность возрастает существенно.

1.6 Метод наименьших квадратов.

Пусть для исходных данных xi, fi, i=1,…,N (нумерацию лучше начинать с единицы), выбран вид эмпирической зависимости: y=φ(a0,a1,…,am)  с неизвестными коэффициентами a0,a1,…,am . Запишем сумму квадратов отклонений между вычисленными по эмпирической формуле и заданными опытными данными:

S(a0,a1,…,am)= (φ(x1,a0,a1,…,am)-fi)2 .

Параметры a0,a1,…,am  будем находить из условия минимума функции S(a0,a1,…,am). В этом состоит метод наименьших квадратов (МНК).

Известно, что в точке минимума все частные производные от S  по   равны нулю:

 (1)

Рассмотрим применение МНК для частного случая, широко используемого на практике. В качестве эмпирической функции рассмотрим полином

φ(x)=a0+a1x+a2x2+…+amxm

Формула (1) для определения суммы квадратов отклонений примет вид:

S(a0,a1,…,am)=

( a0+a1x+a2x2+…+amxm-fi)2 (2)

Вычислим производные:

Приравнивая эти выражения к нулю и собирая коэффициенты при неизвестных a0,a1,…,am , получим следующую систему линейных уравнений:

Данная система уравнений называется нормальной. Решая эту систему линейных уравнений, получаем коэффициенты  .

В случае полинома первого порядка m=1, т.е.  , система нормальных уравнений примет вид:

 

При m=2 имеем:

 

Как правило, выбирают несколько эмпирических зависимостей. По МНК находят коэффициенты этих зависимостей и среди них находят наилучшую по минимальной сумме отклонений.

1.7 Подбор эмпирических формул.

При интерполировании функций мы использовали условие равенства значений интерполяционного полинома и данной функции в узлах интерполяции. Если же исходные данные получены в результате опытных измерений, то требование точного совпадения не нужно, так как данные не получены точно. В этих случаях можно требовать лишь приближенного выполнения условий интерполяции . Это условие означает, что интерполирующая функция F(x) проходит не точно через заданные точки, а в некоторой их окрестности, так, например, как это показано на рис.