Методика обучения решению уравнений и их систем в курсе алгебры 7 класса

Использование логической терминологии при описании решений позволяет параллельно с нахождением корней получать также и логическое обоснование». 
Особенно велика роль логических понятий при итоговом обобщающем повторении курса алгебры и всего курса математики средней школы. Поскольку при этом необходимо выявить структуру крупных частей изученного материала, отсутствует возможность вновь пройти весь путь нахождения приемов решений различных классов уравнений, неравенств и их систем. Логические понятия позволяют не только быстро восстановить путь нахождения таких приемов, но и одновременно обосновать их корректность. Тем самым происходит развитие средств логического мышления учащихся. Учитывая это, на этапах обобщающего повторения целесообразно формулировать свойства равносильности и логического следования в общем виде и иллюстрировать их заданиями, относящимися к различным классам уравнений и их систем.

4. Методические  основы изучения уравнений и  их систем 

В различных учебниках применяется разная терминология, относящаяся, по существу, к одному и тому же классу уравнений. В этом отношении необходимо быть чрезвычайно внимательным и употреблять только те термины, которые введены в учебнике, причем именно в том смысле,  который им придается.

      Опишем  несколько подходов к выделению  первого изучаемого в курсе  алгебры класса уравнений. В  учебнике  для  7 класса средней школы  Макарычева Ю.Н. под редакцией  С.А. Теляковского это линейные  уравнения с одной переменной, т. е. уравнения вида ах = b, где  х - переменная, а и b - числа. Естественно, что это определение выделяет  очень узкий класс уравнений, недостаточный для решения самых  простых задач. Какую роль он  выполняет? Это роль двоякая. Во-первых, уравнения этого класса просто  решаются, причем так описанный  класс допускает полное исследование (что и осуществляется в учебнике). Во-вторых, запись уравнений из  этого класса играет роль образца, к которому могут быть сведены  посредством простейших преобразований  уравнения более широкого класса. Большая часть времени, отводимого  на изучение линейных уравнений  по этому учебнику, используется  именно на то, чтобы сформировать  навыки сведения к линейным  других уравнений, не входящих  в этот класс. Формирование умения  решать уравнения с одним неизвестным  и применять уравнения к решению  задач распределяется по всему  курсу 7-ого класса, поэтому на  начальной стадии внимание должно  акцентироваться на раскрытии  новой символики и терминологии.

     В учебнике 7-ого класса Ш.А.Алимова вводится  и рассматривается класс уравнений, названный по-иному - уравнения первой  степени с одним неизвестным. К особенностям введения этого  класса следует отнести то, что  явного определения он не получает: определение заменяется описанием  и иллюстрацией несколькими примерами. Предполагается, что в итоге их  рассмотрения учащиеся получат  достаточно ясное представление  об объеме понятия. Основное внимание  уделяется изложению правил последовательного  преобразования уравнения к всё  более простому виду. Фактически  при этом приходят к уравнению  ах = b. Этот последний класс уравнений  явно не выделяется, но на примерах  рассматриваются все возможные  случаи решения уравнений из  него. Такой подход позволяет  сконцентрировать внимание непосредственно  на алгоритмах решения уравнений. В учебнике также исследуется  вопрос о числе корней линейного  уравнения.

        Изучая  учебник «Математика 7: Арифметика. Алгебра. Анализ данных», авт. Г.В.Дорофеев, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др. мы видим, что особенностью изложения, принятого в учебнике, является  то, что уравнение возникает как  способ перевода фабульных ситуаций  на математический язык. Переход  к алгебраическому методу решения  задач одновременно служит мотивом  для обучения способу решения  уравнений. Основное внимание в  этой теме уделяется решению  линейных уравнений. Само определение  линейного уравнения вводится  после того, как приходят к  выводу, что многие уравнения  после преобразований  удаётся  привести  к виду ах = b.  
    В различных пособиях и справочниках также вводится понятие уравнения первой степени с одним неизвестным и объясняется алгоритм его решения. В некоторых из них дано явное определение: "Алгебраическое уравнение от одного неизвестного называется уравнением первой степени, если обе его части являются многочленами первой степени относительно неизвестного". По поводу этого определения следует сказать, что по смыслу понятия степени многочлена, введенного в этом учебнике, оно относится к конкретной записи многочлена без приведения подобных членов; например, многочлен 2х+1-(2х-3)-первой степени. В других справочниках  присутствуют оба понятия: и линейного уравнения с одним неизвестным, и уравнения первой степени. Первое из них описывает широкий класс уравнений (левая и правая части уравнения - нуль или многочлены не выше первой степени), а второе - более узкий (уравнение вида kx+b=0, k не равен нулю). Выделение подкласса уравнений первой степени в классе линейных уравнений в принципе может облегчить изложение этого класса. В частности, введение двух терминов (линейное уравнение, уравнение первой степени) позволяет четче описать сам процесс решения. Однако при этом возникает необходимость в усвоении двух, а не одного термина. Точно так же указание явного определения изучаемого понятия по сравнению с описанием имеет преимущество большей четкости, но предъявляет более высокие требования к развитию логического мышления учащихся. 
    Охарактеризованные  варианты изложения теории уравнений, имеющих вид  ax + b = сх + d, свидетельствуют о том, что эта теория допускает несколько различных по стилю и методике изучения развертывании. Можно  сконцентрировать внимание на выделении более узкого класса, играющего роль "канонического вида", к которому приводятся данные уравнения; но можно  обойтись и без этого, а сразу изучать способы решения уравнений общего класса, используя изученные типы преобразований уравнений. Точно так же можно описывать вводимые термины: четким определением или же посредством описания.

     Несмотря на  наличие таких разных подходов  к введению первого класса  уравнений, значительная часть методики  его изучения одинакова при  любом из них. Это объясняется, прежде всего, тем, что основной  целью изучения в данном случае  всегда является освоение правил  решения уравнений данного класса, образующих сравнительно компактную  систему и относящихся исключительно к преобразованиям буквенно-числовых выражений. В последнем отношении рассматриваемый класс сильно отличается от большинства других классов, в изучении которых определенную, а иногда значительную роль играют логические, графические, вычислительные компоненты. 
     При изучении этого класса уравнений учащиеся подходят к осознанию того, что уравнения, с первого взгляда мало отличные друг от друга, могут резко различаться по количеству корней. Это ответственный момент, один из самых существенных в изучении всего курса алгебры, поскольку при этом учащиеся впервые сталкиваются с необходимостью теоретического осмысления именно класса уравнений, а не каждого уравнения в отдельности.

Отметим еще, что рассматриваемый класс является единственным, для которого в современной методике есть разные подходы к проведению исследований. Для каждого из остальных классов уравнений, неравенств, систем исследование проводится, по существу, одинаково при любом построении курса алгебры. Именно те классы уравнений, неравенств, систем, алгоритмы решения которых заучиваются при усвоении материала, исследуются аналогично первому способу; для тех классов, где результирующих формул для получения ответа не указывается, используется второй способ. 
     В итоге тематического изучения первого класса уравнений учащиеся должны овладеть: алгоритмом решения уравнений данного класса; умением применять результаты исследования уравнений данного класса; основными понятиями общей теории уравнении; применением уравнений данного класса к решению текстовых задач.                                    

Заключение

Материал, связанный с уравнениями занимает значительную часть школьного курса математики. Необходимо учитывать два процесса, сопровождающие обучение. Первый процесс – постепенное возрастание количества классов уравнений и приемов их решения, различных преобразований, применяемых в решении. Второй процесс – установление разнообразных связей между различными классами уравнений, выявление  общих классов; закрепление более обобщенных типов преобразований, упрощение описания и обоснования решений.

      В результате  взаимодействия этих процессов  изученный материал должен представляться  учащимся в сравнительно компактном  виде, не затрудняющем, а наоборот, облегчающем усвоение нового.

В ходе написания курсовой работы были выполнены следующие задачи: рассмотрена история возникновения уравнений и их систем, изучены содержание и роль линии уравнений и их систем в современном школьном курсе математики,  определены основные понятия линии уравнений и их систем, изучены основные учебники по алгебре 7 класса,  выявлены методические основы изучения уравнений и их систем. Поставленная цель работы выполнена, т.е. изучена методика обучения решению уравнений и их систем в курсе алгебры 7 класса.

Литература

1. Макарычев Ю. Н. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. Под ред. С.А. Теляковского.-11 изд.- М.: Просвещение, 2002.
2. Дорофеев Г. В. и др. Алгебра 7 класс: Учебник для  общеобразовательных учреждений. Под ред. Г.В. Дорофеева. -5 изд.- М.: Дрофа, 2002.
3. Алимов Ш. А. и др. Алгебра: Учебник для 7 класса общеобразовательных учреждений. 15 изд.- М.: Просвещение, 2007.
4. Мордкович А. Г.  Алгебра 7 класс: Учебник для  общеобразовательных учреждений. 9 изд.- М.:  Мнемозина, 2007.
5. Бекаревич А.Н.  Уравнения в школьном курсе математики. - Минск: : Народная  асвета, 1968 .
6. Глейзер Г. И. История математики в школе VII – VIII классы. – Москва: Просвещение, 1982.
7. Епишева О.Б., Крупич В.И. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности: Книга для учителя. - М: Просвещение, 1990.
8. Мишин В. И.  Методика преподавания математики в средней школе. – Москва: Просвещение, 1987.
9. Колягин Ю.М. и др. Изучение алгебры в 7-9 классах: Книга для учителя. – Москва: Просвещение, 2002.
10. Виноградова Л. В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб.пособие для студентов вузов. - Ростов н/Д : Феникс, 2005.