Методика изучения сложения и вычитания в пределах 10

100 + 20 + 6 + 300 + 40+8,

или

(100 + 300) + (20 + 40) + (6 + 8).

Сложим по разрядам:

100 + 300 = 400,

20 +   40 =   60,

6 +     8 =    14.

Теперь остаётся только найти окончательную сумму. Мы поступим так: один десяток, получившийся от сложения единиц, прибавим к десяткам, которых у нас имеется 6, так как от сложения десятков получилось 60. Значит, нам нужно сложить:

400 + 60 + 10 + 4 = 474.

Легко заметить, что при выполнении сложения мы опирались на переместительный и сочетательный законы и правила десятичной нумерации.   '

На этих двух примерах мы показали, как выполняется сложение чисел. Необходимо помнить, что сложение двузначных, трёхзначных и вообще многозначных чисел выполняется по разрядам. Однако форма записи, которой мы пользовались, является неудобной, и мы перейдём к той форме записи, которой и принято пользоваться при сложении больших чисел во всех практических вычислениях. В этом случае записывают слагаемые одно под другим.

Рассмотрим ряд примеров:

В примере «в» от сложения единиц получилось 12, т. е. один десяток и две единицы; две единицы мы подписали под единицами, а один десяток надписали над столбцом десятков и потом присчитали к десяткам. Можно этот десяток не надписывать, а держать в памяти.

Проверка сложения. Сложение можно проверить сложением, для этого следует переставить слагаемые и снова их сложить. О другом способе проверки сложения будет сказано ниже.

Прибавление суммы к числу и прибавление числа к сумме.

1.    В практике вычислений часто требуется к одному  числу   прибавить сумму  нескольких чисел. Пусть, например, требуется к числу 1 234 прибавить сумму таких чисел: 123 + 234 + 345, т.  е.  702.

Выполним это:

1 234 + 702 = 1 936.

Однако можно к данному числу 1 234 последовательно прибавить отдельные слагаемые этой суммы, т. е.

а)   1 234 + 123 = 1 357,

б)   1 357 + 234 = 1 591,

в)   1 591 + 345 = 1 936.

Результат получился тот же самый.

Чтобы прибавить к какому-нибудь числу сумму нескольких чисел, достаточно прибавить к этому числу первое слагаемое, к полученной сумме прибавить второе слагаемое и т. д.

2.   Пусть требуется к имеющейся сумме чисел: 123 + 234+345 +456 + 567 + 789 = 2 514    прибавить число 6 543. Выполним это, т. е. прибавим к сумме 2 514 число 6 543:

2 514 + 6 543 = 9 057.

Но можно было бы тот же результат найти иначе: число 6 543 можно прибавить к любому из данных чисел, а остальные числа без всякого изменения прибавить к полученной сумме двух чисел:

а) 123 + 6 543 = 6 666.

б) 6 666+(234+345+456+567+789) = 6 666+2 391 =9 057.

Чтобы прибавить какое-нибудь число к сумме нескольких слагаемых, достаточно прибавить это число к какому-нибудь одному слагаемому, оставив другие без изменения.

При устном сложении мы будем опираться на те же самые правила и законы, на которых основано и письменное сложение. Но для устного выполнения действия нужно выработать навык быстрого и сознательного применения этих законов к данным числам в уме, а не на бумаге.

Очевидно, что многозначные числа в уме складывать трудно и поэтому их приходится записывать.

Сложение однозначных чисел нужно знать наизусть (помнить). В этом случае не делается ни устных, ни письменных вычислений.

Сложение двузначных чисел рекомендуется выполнять в уме. В уме же можно иногда выполнять сложение и трёхзначных чисел.

1.  Сложим   20 и 34. Будем рассуждать так:  представим второе слагаемое как сумму 30 + 4 и выполним  сложение следующим образом: (20 + 30) + 4, т.е.  

20 + 30 = 50, затем 50 + 4 = 54.

2.  Сложим 42 и 56. Представим каждое слагаемое как сумму десятков и единиц (40 + 2 и 50 + 6). Будем складывать 40 и 50, получим 90; затем 2 и 6, получим 8 и,  наконец,  сложив  90 и 8, получим 98.

3.  Сложим ещё 78 и 24. Сделаем немного короче, чем прежде. Не изменяя первого слагаемого,  представим второе как сумму 20 и 4. Тогда можно сначала к 78 прибавить 20,   получим  98, а затем к 98 ещё прибавить 4. Всего будет 102.

4.   574 + 325 = 500 + 300 + 74 + 25 = 899.

5.   Сложим 48 и 35. Округлим первое слагаемое до 50, а потом от полученной суммы  отнимем 2, т. е.

48 + 35 = 50 + 35 — 2 = 85 — 2 = 83.

Этот прием называется приёмом округления.

6. При устном сложении нескольких чисел часто полезно опираться на переместительный закон сложения. Пусть требуется сложить три числа: 23 + 59 + 17.

Чтобы скорее сложить эти числа, следует переставить слагаемые так:

23 + 17 + 59.

Тогда первые два слагаемых сразу дают в сумме 40 и остаётся выполнить одно сложение:

40 + 59 = 99.

Перестановка слагаемых делается, конечно, в уме.

Общий приём устного сложения состоит в том, что разбивают слагаемые на разряды и выполняют сложение, начиная с высших разрядов.

Простейшие случаи сложения на счётах.

Сложение чисел удобно выполнять на счётах. Покажем   простейшие   случаи сложения, а в будущем рассмотрим и все остальные случаи.

1. Сложить 23 и 32. Первое слагаемое (23) откладывается так: на второй  проволоке откладываем 2 косточки (два  десятка) и на первой проволоке откладываем 3 косточки (три единицы). Второе слагаемое откладываем подобным же образом: на второй проволоке — 3 косточки и на первой — 2 косточки. В левой стороне счётов у нас получилось: на второй проволоке 5 косточек (5 десятков) и на первой проволоке тоже 5 косточек (5 единиц). Значит, искомая сумма будет 55, т. е. 23 + 32 = 55.

2.  Сложить 135 и 252. Будем объяснять короче.

Первое слагаемое: на третьей проволоке откладываем 1 косточку, на второй — 3 косточки, на первой — 5 косточек.

Второе слагаемое: на третьей проволоке откладываем 2 косточки, на второй — 5 косточек, на первой — 2 косточки. Итог: 387, т. е.  135 + 252 = 387.

3.  Сложить 52 314 и 5 362.

Первое слагаемое: на пятой проволоке откладываем 5 косточек, на четвёртой — 2, на третьей — 3, на второй — 1, на первой — 4.

Второе слагаемое: на четвёртой проволоке откладываем 5 косточек, на третьей — 3, на второй — 6 и на первой — 2. Итог: 57 676, т. е. 52 314 + 5 362 = 57 676.

Вычитание – одно из четырех арифметических действий; операция, обратная сложению. Обозначается знаком минус «−».

В выражении   (читается «икс минус игрек») элемент   называется уменьшаемым, элемент   называется вычитаемым, а результат вычитания называется разностью   и  .

В области положительных чисел вычитание не всегда выполнимо (из меньшего числа нельзя вычесть большее). Это обстоятельство является формальным поводом для введения в арифметику нуля иотрицательных чисел; в расширенной таким образом числовой области вычитание всегда однозначно выполнимо.

Вычитание удобно рассматривать (или даже определять) как разновидность сложения — сложение положительного и отрицательного чисел. К примеру,   можно рассматривать как сложение чисел   и  , то есть   тождественно  .

Рассмотрим задачу: «Стекольщик остеклил рамы нового дома. В первый день он остеклил 9 рам, а во второй день — остальные 6 рам. Сколько рам он остеклил в течение двух дней?» Эта задача решается посредством сложения:

9 + 6 =15.

Здесь были даны два слагаемых -9 и 6 и по ним вычислена их сумма 15.

Теперь изменим нашу задачу следующим образом: стекольщик, который получил заказ остеклить рамы в новом доме, прежде всего поинтересовался, сколько рам, и выяснил, что их 15; таким образом, сумма была известна ему заранее. Далее, когда он в первый день остеклил 9 рам, перед ним возник вопрос: сколько рам ему остаётся сделать завтра?

В этом случае ему не надо делать сложение, не надо искать сумму, так как он её знает, ему нужно найти остаток, а остаток находится другим действием, которое состоит в том, чтобы от данной суммы отсчитать   известное   слагаемое.

Рассмотрим ещё одну задачу: «Уезжая на юг в отпуск, я взял с собой 20 почтовых конвертов. С юга я отослал 12 писем родным и знакомым. Сколько у меня осталось неиспользованных конвертов?»

Нетрудно от общего числа конвертов (20) мысленно отделить число израсходованных (12) и получить остаток, т. е. число конвертов, оставшихся неиспользованными (8).

И в этой задаче было дано общее число предметов — их сумма (20), указано одно слагаемое, т. е. число израсходованных предметов (12), а требовалось найти число оставшихся предметов, или второе слагаемое (8), т. е. 20 — 12 = 8.

Подобные задачи решаются вычитанием. Следовательно, вычитанием называется действие, посредством которого по данной сумме и одному данному слагаемому отыскивается другое слагаемое.

Во второй задаче из числа 20 нужно было вычесть число 12. Число 8, которое получится в результате этого действия, и будет ответом на вопрос задачи.

Число, из которого вычитают, называется уменьшаемым. Число, которое вычитают, называется вычитаемым. Число, которое получается в результате действия,   называется разностью.

Вычитание представляет собой действие, которое возможно в тех случаях, когда вычитаемое не больше уменьшаемого.

Если сравнить вычитание  со  сложением, то  получится cледующий   вывод:    при   сложении   даются   слагаемые    (например,10  + 5), а ищется сумма (15), при   вычитании  же даётся сумма и одно из слагаемых (15 и, например, 10),   а ищется  второе слагаемое (5). Таким образом, число, которое при сложении является искомым, при вычитании оказывается данным, и наоборот. Поэтому вычитание называют действием, обратным сложению.

Замечания. 1. Вычитание нуля из числа не изменяет этого числа, т. е. 5 — 0 = 5.

2. Если уменьшаемое равно вычитаемому, то разность равна нулю,

например 10 — 10 =0.

Вычитание имеет ряд свойств. Первое свойство.  Рассмотрим такой пример.   Если от числа 11  надо отнять сумму двух чисел: 2 и 3, то можно поступить двумя способами.

1) Сначала найти эту сумму (2 + 3 = 5), а потом вычесть её из   11, т. е.    сделать так:   11 — (2 + 3) = 11 — 5 = 6.

2) Но можно  поступить  иначе. Не  находить сумму 2 и 3, а сделать последовательно два вычитания, т. е.  сначала вычесть из одиннадцати 2, а из полученного результата вычесть 3, т. е.

11 — (2 + 3) = 11 — 2 — 3 = 9 — 3 = 6.

Вывод. Чтобы  вычесть сумму  из числа,   достаточно  вычесть из этого числа первое слагаемое, из полученной разности — второе слагаемое и т. д.

Это и есть первое свойство вычитания. Обозначим уменьшаемое буквой а, отдельные слагаемые вычитаемой суммы буквами b и с; тогда первое свойство можно будет записать так:

а — (b + с) = а — b — с.

Второе свойство. Рассмотрим такой пример. Если из суммы 10 + 5 нужно вычесть 4, то можно поступить двумя способами.

1) Сначала найти эту сумму  и потом вычесть из неё 4, т. е. 10 + 5 = 15; 15 — 4 = 11.

2) Или поступить так: вычесть 4 из  какого-нибудь слагаемого, оставляя  другое без изменения:

(10 + 5) — 4 = (10 — 4) + 5 = 10 + (5 — 4) = 11.

В этом и состоит второе свойство вычитания, которое словами можно высказать так: чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из какого-нибудь одного слагаемого.

(предполагается, что слагаемое  больше вычитаемого). Запишем теперь это свойство с помощью букв:

(a + b) — с = (а — с) + b = а + ( b — с).

Для того чтобы научиться выполнять вычитание многозначных чисел, нужно сначала усвоить вычитание однозначных чисел из однозначных или двузначных, когда разностью является однозначное число. Это можно сделать так. Сначала будем заниматься вычитанием единицы, потом вычитанием двойки, затем — тройки и т. д.

У нас получится таблица вычитания, которая возникает из таблицы сложения, только здесь на первом месте стоит сумма, из неё вычитается одно слагаемое, а после знака равенства будет второе слагаемое. Эту таблицу надо знать наизусть.

Пользуясь этой таблицей, мы можем не только вычитать однозначные числа и получать однозначную разность, но выполнять вычитание единиц высших разрядов, т. е. десятков, сотен и т. д. В самом деле, вычтем из 5 десятков 2 десятка, получим 3 десятка. Это можно записать цифрами: 50 — 20 = 30.

Для выполнения письменного вычитания необходимо действовать по алгоритму:

1. Возьмём для вычитания трёхзначные  числа:

654 — 123 и, представив их как суммы  разрядов:

(600 + 50 + 4) — (100 + 20 + 3), будем вычитать  по разрядам:

(600 — 100) + (50 — 20) + (4 — 3) = 500 + 30 + 1 = 531.

Или в столбик:

2. Теперь рассмотрим случай более  трудный: 782 — 437. Трудность его состоит  в том, что уменьшаемое содержит 2 единицы, а вычитаемое 7 и, следовательно, из единиц уменьшаемого нельзя вычесть единиц вычитаемого. В таком случае поступают следующим образом: берут, или, как говорят, «занимают», у 8 десятков один десяток, в нём содержится 10 единиц; если к ним присоединить 2 имеющиеся у нас единицы, то получим всего 12 единиц. Вычитая из 12 единиц 7, получим 5 единиц. Теперь остаётся вычесть десятки. У нас в уменьшаемом осталось 7 десятков, потому что один десяток мы раздробили в единицы. Значит, от 7 десятков нужно отнять 3, получим 4 десятка.

Запишем это:

Над цифрой 8 поставлена точка, которая должна напоминать о том, что от этого числа мы «занимали» единицу. (Эту точку можно не ставить.) Остаётся из 7 сотен вычесть 4 сотни.

Ответ.   Разность равна 345.

Вычитание проверяется сложением на том основании, что уменьшаемое является суммой, а вычитаемое и разность — слагаемыми. Поэтому для проверки вычитания следует сложить вычитаемое с разностью. Если результат будет равен уменьшаемому, то весьма возможно, что действие сделано правильно.

Пример.                                                    Проверка.

Также вычитание можно проверить вычитанием, так как уменьшаемое является суммой, а вычитаемое и разность — слагаемыми и, кроме того, от перестановки слагаемых сумма не меняется, то в целях проверки можно из уменьшаемого вычесть разность. Если после этого получится вычитаемое, то весьма возможно, что вычитание сделано правильно.

Пример.                                               Проверка.

В практике вычислений бывают такие случаи, когда сложение и вычитание встречаются вместе. Рассмотрим эти случаи.

1. Пусть требуется к числу  прибавить разность, например: к числу 123 прибавить разность чисел 78 и 56, т. е. 22. Выполним это действие:

123 + 22 =145.

Однако можно было бы сначала к числу 123 прибавить уменьшаемое, а затем отнять вычитаемое, и  результат получился  бы тот же самый:

а) 123 + 78 = 201;         б) 201 — 56 = 145.

Чтобы прибавить разность к числу, достаточно прибавите к нему уменьшаемое и из полученной суммы вычесть вычитаемое.