Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

43

 

Евклид геометриясын әр тұрлі аксиоматикалық жүйелер негізінде құру идеясы қазіргі мектеп геометриясы курсын қайта | күруда өз жемісін бермей койған жоқ. Біздің еліміздің мектептерінде соңғы 20 жылда бір-бірінен айтарлықтай айырмашылығы бар аксиомалар жүйесі негізінде құрылған геометрияның әр тұрлі курстарының окытылып келуі, осыпыц айқын дәлелі бола алады. Мектеп геометриясының әр тұрлі курстарын, Евклид жазықтығының аксиомалар жүйесін басшылыққа ала отырып қарастырамыз.

А.Н. Колмогоров ұсынған аксиомалар жүйесі бойынша күрылған планиметрия курсында негізгі (анықталмайтын) ұғымдар ретінде төрт ұғым: нүкте, түзу, ара қашықтык, жазықтық алынған, ал негізгі (дәлелденбейтін) сөйлемдер ретінде бес топқа бөлінген 12 аксиома алынған.

2.5 Нақты дүние  қасиеттерінің шама ұғымы арқылы бейнеленуі

Айналамызда бізді қоршап тұрған нақты дүние заттар мен құбылыстардың жиынтығы және олардың арасындағы әр тұрлі қатынастар арқылы сипатталады. Және нақты дүние үдайы үздіксіз және әртұрлі өзгерістерге үшырап отырады.

Мәселен, ауа-райы, адамиың жасы әзгереді, жануарлар мен өсімдіктер дүниесі өзгеріске үшырайды. Осы прцестерді сипаттау үшін заттар мен құбылыстардың қандай да бір қасиеттерін білу және оларды салыстыра отырып, бағалау қажет болады. Біздің

44

 

санамызда заттар мен құбылыстар қасиеттерінің бейнеленуі барысьшда қандай да бір ұғым (дербес жагдайдп шами ұғымы) қалыптасады. Үзындық, аудан, масса, уақыт, сыйымдылык (көлем), жылдамдық, температура, баға және т.б. шамалардың мысалдары болып табылады. Бұл ұғымдар тек математикада ғана емес, сондай-ақ физика, химия және басқа да ғылымдарда да қолданылатын негізгі ұғымдардың бірі болып табылады. Бұл жағдайда шама ұғымына айқын тұрде сипаттама беру өте қиын, өйткені әр тұрлі ғылым салаларында, тіптен бір ғана ғылым саласының әр тарауларында да шама ұғымы әр тұрлі магыпада қарас шрылады. Сонымен бірге, көбіне, "шама" термині "мөлшер" терминінің синонимі ретінде қолданылады немесе "шама" және "шаманың мәні" терминдері бірдей мағынада карастырылады. Көп жағдайларда, мүны шама ұғымының таза (арнайы) математикалык ұғым болып табылмайтындығымен, сондықтан әр тұрлі мағынада көрінетіндігімен түсіндіруге болады.

Шамалар жайындағы жалпы түсініктер оларға тән ерекшеліктерді сипаттауға мүмкіндік береді.

Біріншіден, шамалар - нақты объектілер мен құбылыстардың ерекше қасиеттері. Мәселен, заттардың бойлылық (созымдылық) қасиеті үзындық деп аталады. Бұл сөзді нақты объектілердің бойлылығы (созымдылығы) жайында әңгіме болғанда колданамыз. Сондықтан нақтылы объектілердің үзындығы туралы айтқанда, бұл шамалардың тегі бір деп түсініледі. Жалпы, біртекті шамалар қандай да бір жиын объектілерінің бір ғана ортақ касиетін, әр текті

45

 

шамалар объектілердің әрқилы қасиеттерін сипаттайды. Мәселен, ұзындық және аудан - әртекті шамалар.

Екіншіден, шама - заттар мен құбылыстардың, оларды салыстыруға мүмкіндік беретіндей касиеттері. Сондай-ақ, осы қасиеті арқылы оған бірдей деңгейде ие болатын объектілер жұбын тағайындауға болады. Мысалы, үзындығы болу касиетіне ие болатын барлық заттар жиынында ұзындығы бірдей заттар эквиваленттілік класын құрайды.

Үшіншіден, шама заттарды немесе құбылыстарды салыстыруға мүмкіндік беретіндей қасиет болуымен бірге осы қасиеттің көмегімен екі эквивалентті емес заттардың кайсысы бұл қасиетке көбірек ие болатындығын тағайындауға болады. Мысалы, "үзындығы бар" қасиетіне ие болатын барлық заттар жиынында үзындығы әр тұрлі екі заттьтң кайсысы үзынырак болатындыгын тағайындауға болады.

Шама ұғымы ғылымның көптеген салаларында бастапкы, яғни анықталмайтын ұғым ретінде қабылданады. Дегенмен математикада қандай да бір шамалар класының айкын тұрдегі (көбіне, аксиоматикалық) анықтамасы бар (скаляр-аддитивті шамалар класы, векторлық шамалар класы, тензорлық шамалар класы және т.б.).

Шама ұғымыныц ор тұрлі тұрғыдшъі і^оіндірмелсрш қарастырайық.

Шама және оны өлшеу ұғымдары. Адамның тәжірибелік қызметіндегі    мүқтаждықтар    ежелден-ақ    ғылымнан    накты

46

 

; лбъектілердің әр тұрлі (бірақ біртекті) - физикалық, геометриялык және т.с.с. қасиеттерінің өлшемдес болуын тағайындауды талап етті. Бұл табиғи і үрде қарастырылып отырған жиынның әрбір элементіне осы элементті сипаттайтын санды сәйкестендірудің математикалық     конструкциясына     алып     келді.     Мұндай конструкцияларға ауданды, үзындықты, массаны, температураны өлшеу жатады. Бұл конструкцияларда қарастырылатын жиынның

қандай да бір элементі бірлік ретінде таңдап алынады да, қалған I элементтер осы бірлік элемент арқылы табиғи ережелер бойынша і өлшенеді, нәтижесінде оларды сипаттайтын сандар табылады. Бұл

айтылғанның мысалдары ретінде ұзындықты бірлік кесіндімен,

ауданды бірлік шаршымен, массаны бірлік массамен т.с.с. өлшеуді

келтіруге болады.

Келтірілген конструкциялар математикалык

дерексіздендірудің негізі ретінде алынады. Ал соңғы, математикалық ұғым-шамаға, яғни шаманың аксиоматикалық І анықтамасына келтіріледі. А.Н. Колмогоров ұсынған анықтама » осындай анықтаманың мысалы болып табылады.

Сабақтың тақырыбы: 10 саны, оның жазылуы. Дециметр.

Сабақтың мақсаты:

І.Білімділік. 10 саны, оның екі цифрмен жазылуы, бір жэне екі таңбалы сан, ұзындық - өлшеуші дециметр, оның мэні, белгіленуі туралы түсініктер қалыптастыру.

2.Дамытушылық. 10 саны мен  дециметр тақырыбын өтуде ойлауын, практикалық іс - эрекетін дамыту.

47

 

З.Тэрбиелік. Экономикалық, экологиялық, өзбетінше жұмыс істеуге тэрбиелеу.

Сабақтың көрнекілігі:

Сабақтың өту эдісі: түсіндіру, сұрақ - жауап

Сабақтың барысы:

І.Үйымдастыру. Оқушылармен амандасып, сабаққа қажетті құрал - жабдықтарын алдыртып, назарларын өзше аударту.

2. Үй тапсырмасын сұрау.

З.Жаңасабақ.

Жаңа   сабаққа   дайындык   ретінде   ауызша   жаттығулар 
орындалады. 
1. 5 6 7 8 9

4 □ 

5 П 

О 

7П

 

2*2+1 5*5 + 1 8*8+1

2. 1*1 + 1 4*4+1

7*7+1

3. 2 см * 2 см - Ісм 
4 см * 4 см - 1 см 
6 см * 6 см - 1 см 
8 см * 8 см - 1 см

4. 01       23       7Ш

0П      2П 

3*3 + 1

6*6+1

9*9+1 
3 см * 3 см - 1 см 
5 см * 5 см - 1 см 
7 см * 7 см - 1 см 
9 см * 9 см - 1 см 
5П 7ПС

9П 7ПІ

48

 

10 санын түсіндіруде 2 кестені пайдалануға болады. Кестедегі суретті пайдаланып 9 бен 1 - дің қосындысы сандар катарында 9 -дан кейін тұратын сан. ал оны жачу үшін жаца цпфр а/іыниайды^ бірақ ол белгілі екі цифр - 1 жэне 0 арқылы бейнеленетіні айтылып, жазылып көрсетіледі: 9 + 1 = 10. Осы жерде математикада барлық сан белгілі 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 цифрлары арқылы белгіленетіні туралы түсінік беріп кету де артық емес, 10 саны сияқты барлык басқа да сандар да осы цмфрлармен жазылатыны айтылады. Сол сияқты үзындығы 9 сантиметрден 1 см артық кесіндінің ұзындығы 10 см болатыны, 10 см математикада дециметр деп аталатыны туралы айтылып, дециметр үзындықтың жаңа өлшеуші ретінде қарастырылатыны туралы түсінік беріледі.

Оқулықпен жүмыс: 1 - тапсыпмадағы суреттерге қарап жаңа жыл жақындап, қалғанын, оған балалар дайындала бастау керек екенін айтып, " Жаңа жыл" кешіне арнап неше коянның маскасы жасалады, ал түлкініңкі ше? Барлык маска нешеу болады? - деген сүрақтар арқылы 9 қоянның маскасына тағы бір түлкінің маскасын қосқанда барлығы он маска болады, яғни 9+1 = 10, "10" дел санды атап, оны жазу керек. Оған кері, барлығы он маска едң, біреуі түлкінікі, қалғандары қояндардікі. Қоянның маскасы нешеу? 10-1 =9 болады.

2 - ші тапсырмада кесіндінің  бойына сантиметрлік жолақша  неше рет салынатыны айқындалады, оның 10 см екені саналады. 10 см болатын ұзындық 1 дм деп аталатыны, 10 см = 1 дм тұрінде жазылатыны туралы мүғалім ақпар береді, жазып көрсетеді. 3,4 -

49

 

тапсырмаларды оқушыларға өз бетімен орындау ұсынылады. Суреттегі ойыншықтардың санын салыстыруға > немесе < таңбаларын дүрыс пайдалануға мэн беріледі. Сандар қатарындағы эйнекшелерге тиісті санды тауып қою көзделеді.

5 - тапсырмада эйнекшелерге  берілген бірнеше сан қойылуы  мүмкін. Егер оқушы 9 санының күрамын  жаксы білсе, барлык жағдайда қарастыра алады. Егер бір ғана жағдай алынса, онда тағы да қосындысының мэні 9 болатын 2 сан іздеп көру ұсынылады.

Соңғы тапсырмада әрбір суретте неше үшбұрыш, неше төртбқрыш бар екенін табу керек жэне 1,2 таяқшаны алып тастағанда олардың саны қалай өзгеретіні анықталынады.

5. - суретте 5 үшбұрыш, 6 төртбұрыш бар.
6. - суретте 3 үшбұрыш, 4 төртбұрыш бар.
7. - суретте 3 үшбұрыш, 4 төртбұрыш бар.
8. - суретте 2 үшбұрыш, 1 төртбұрыш бар.

Неге 2,3 - суретгердің нэтижесі бірдей болғанын түсіндіруді де ойлану ұсынылады.

Дәптермен жүмыс. Суретгі пайдаланып 9 + 1 қосындысының жэне 10 - 1 айырмасының мэндерін тауып жазу, 10 санын 7, 6, 1,0 сандарымен салыстырып, > немесе < таңбаларының тиістісін кою. Егер оқушы қиналса, онда қима үлестірмелі материалдардан салыстыратын сандарға тен дөңгелектерді жэпс үшСқрышіарды алып, сантиметрін койып, қайсысы артық (кем) екенін анықтау ұсынылады. Мысалы, 10 мен 7 - ні салыстыру үшін, 10 дөңгелек, 7 үшбұрыш алынады.

50

 

0000000000 

10 

10 > 7

ШІШШІШП 7        7<10

Келесі тапсырмаларда кесінділердің ұзындықтарын қосымша тапсырма өлшеп, оларды салыстыру, 10 санын жазып үйрену.

4. Қорытынды. Дидактикалық материалдармен жұмыс.

5. Үйге тапсырма беру. 
   Бағалау.

I сынып.

Сабақтың тақырыбы: Теңдеу. Сабақтың мақсаты:

1. Білімділік. Оқушыларды теңдеу ұғымымен таныстыру.
2. Дамытушылық. Оқушыларда практикалық іс - эрекетін 
   дамыту.
3. Тэрбиелік. Экономикалық, Отансүйгіштік, үлтжандылық 
   тэрбие беру.

Сабақтың көрнекілігі: геометриялық фигуралар, суреттер. Сабақтың өту эдісі: түсіндіру, баяндау. Сабак барьтсы:

І.Ұйымдастыру. Оқушылармен амандасып, сабаққа кажетгі құрал - жабдықтарын алдыртып, назарларын өзіме аударту. 2. Үй тапсырмасын сұрау. З.Жаңасабақ. І.Жаңаұғымды меңгеруге қажетті ауызша есептеу дағдысы.

• 3 пен 4 сандарының қосындысы неге тең ?
• 6 мен 4 сандарының

51

 

- Айырмасы неге тең ?

• Теңдік арқылы жаз. Сен неше теңдік жаздың ? Бірінші теңдік 
  қандай амалмен байланысты ? Екінші теңдік ше ?
• Бір сан ойла да, мынадай теңдікті жаз: 3 пен ойлаған санның 
  қосындысы 7 - ге тең. 10 мен ойлаған санның айырмасы 1 - ге тең; 
  ойлаған сан мен 2 - нің айырмасы 6 - га тең.
• Ойлаған санды а әрпімен белгіле. Сен неше теңдік жаздың ?
• Оларды санды теңдік деуге бола ма ?

3 + а = 7;      10-а=1;       а-2 = 6

II. Жаңа тэсілмен таныстырып, оны түсіндіру.

• Бұл теңдеулер.
• Осы теңдеулерді тура теңдікке айналдыратын а - ның мэндерін 
  іздейміз, яғни теңдеулерді шешеміз. 3 + 0 = 7 теңдеуіндегі а - ның 
  орнына сандарды біртінлеп койып; тексереміз:

3 + 0 =1 3 + 1 =1 3+2 =1 3+3 =7 3 + 4 =7 а = 4 теңдеудің шешімі.

III. Теңдеу ұғымын бекіту. 
Дәптермен жүмыс.

- Берілген теңдеуді жазыңдар, теңдеу шешімін табыңыздар. 
10- а= 1; а-2 = 6

52

 

4. Жаңа сабақты бекіту.Ал  балалар "Кім жылдам" ойынын  ойнайық.   Мен   карточка   көрсетемін,   сендер   алларьтнлагы цифрлардан жауабын көрсетесіңдер. а-4 = 4 5 + а=10 2-а= 1

Өз бетінше тапсырмаға "Пэтер нөмірін табыңдар"

1

 

 

[  1	7
2	6

 

 

9	1
8	2