Математикалық ұғымдар және оларды қалыптастыру процесі

 

21. Баранов С. П. Чувственный опыт ребенка в начальном обучени. 
    М: 1963-144С.
22. Баранов Г. П. Лабараторные и практические работы VI - VII 
    классах по геометри \\ математика в школе. 1961 №6
23. Бикбаева Н. У. И др. Математика: Учебник для III класса четырех 
    летней начальной школы.-Ташкент: Укитувчи, 1991-176с.
24. Бабавский Ф. К. Оптимизация процесса обучения. М., 1977.
25. Балл    Г,А , 0   психологическом    содержание и     пониятие 
    «задач» Вопрос   психологи, 1970, №6 с. 75-85.

26. Н. Богоявленскии Орфография и творческое   письмо . Рускии 
язык в   школе, 1948,  №2

27. Богоявленскии Д.Н. Менчинская   Н. А Психология   усвоения 
знаниив школе-М.Изд-во АПН РСФСР 1959-347с

28. Бумашкина   Н.Б система   развивающих  заданий   в   процесс 
обчения.    Проблемы    методов      обучения    в    современной

общеобразовальнои     школе Под   ред     Ю.К.Бабанского, И. Д. Эверева, Э.И. Маносаона.-М. Педагогика, 1980-с. 137-143

29. Бантона М.А   Методика формирования   знаний   конкретного 
    смысла арифметических действий . Начальная школа, 1979, №1
30. Бантова М.А. К    вопросу об оценке усвоения    учащимися 
    теоретических знаний по математике . Начальная школа, 1973, №2

 

31. Грунер Дж Процесс обучөния. - М: Изд-воАПН РСФСР, 1962.
32. Л. А. Венгер, В. С. Мухина.Психология. М: Просвещениеі 988-336 с.
33. Выгодский Л.С. Умственное развитие детей в процессе обучения 
    -М. Л., 1935.

 

34. Вопросы психологии учебной деятелыности младших школьников. 
    Под. Ред. Эльконина, В.В Давыдова М. 1962.
35. Выгодский Л.С Мышление и речь. М.- Л. 1934

36. Возрастные возможности усвоения знаний (младшие классы 
школы) Под. Ред. Л.Р. Эльконина .М. 1966

37. Выгодский М.Я. Арифметика и алгебра в древнем мире. М. 1967
38. Венгер Л.А. Восприятие и обучение. М. 1969

39. Вилькеев   Л.В.   Применение   гипатезы   в   познавательной 
деятельности школьников по проблемам обучения.-Казань,1974-66

40. Выбор   методов обучения в   средней   школе. Под. Ред. Ю.К. 
    Бабанского . - М: Педагогика, 1981-176с.
41. Вапняр Н.Ф и др. Тетрадь по   математике   для 1-класс - М 
    Просвещение,1981-48 с.
42. Виленкин Н. Я. О некоторых аспектах преподавания математики в 
    младших классах. Математика в школе. - 1965 , №1

43. Виленкин Н.Я. Голубкова Н.И. Математика 1- класс-М НИИ 
    ОПАПН СССР, 1979-150 с.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Генетикалық немесе конструктивтік (ұғымның шығу тегін көрсететін)    тәсілмен, мысалы: үшбұрыш, шеңбер ұғымдарын

анықтау.

4. Индуктивтік жолмен, мысалы: арифметикалық прогрессия 
   уғымын анықтау.
5. Абстракцияның (дерексіздендірудің) көмегімен, мысалы: 
   натурал сан ұғымын эквивалентті болатын шектеулі жиындар

1 класының сипаттамасы ретінде енпзу.

4. Аксиоматикалық (ұғым бастапқы деп есептелініп, олардың 
/рарасындағы   байланыстар   аксиоматикалык   жолмен    немесе 
] аксиомалар жүйесімен түсіндіріледі) жолмен, мысалы: натурал сан

уғымын  аксиомалар  арқылы   (Пеано  аксиомаларына   негіздей : отырып) енгізу.

5. Ең жақын тегін және тұрлік айырмашылығын айқын бөліп ішрсету" бұл тәсілдің мәнісі анықталатын ұғымды негізгі және бурыннан белгіліұғымдарға келтіру болып табылады" пркьпы, мысалы: квадрат ұғымын анықтау.

Алгоритм ұғымы. Туғанна бастап баланы тәрбиелеу олардан -әртұрлі ережелерді (ертеңгісін жуыну, киіну және шешіну, тамақ *5 ішу, жолдан өту және т.б.) меңгеруді және қатаң орындауды талап етеді. Одан әрі бала-бақшада және мектепте тәрбиеленушінің орныққан күн тәртібі болады және оларды оқыту белгілі бір реттпен өтеді, ал барлық мүмкін болатын ойындар ереже бойынпіа уйымдастырылады. Демек, кез-келғеч іс-әрекет анықта-ігаіі лха\ (уйғарым) бойынша орындалады. Адам жас кезінен бастаи-ак

28

 

күнделікті өмірде көбінесе, оның не екенін білмесе де әр алуан алгоритмді меңгереді және орындайды.

Алгоритм дегеніміз не? Бір типті (типтес) мсәселелер, айталық көп таңбалы екі санды косы, көшеден өту, кесіндінің үзындылығын өлшеу және т.б. жиі кездеседі. Берілген типтес (бір типті) мәселелерді (есептердің) кез-келген тұрін шешуде пайдалануға болатын "жеткілікті жалпы тәсіл бар ма?" деген сүрактың тууы заңды. Егер мұндай жалпы тәсіл бар болса, ыі^о. оны берілген мәселе (есеп) тұрінің алгоритмі дейді. Жоғарыда келтірілген есептердің әрқайсысының өзіне сәйкес алгоритмі болады. Мысалы, көп таңбалы екі санды қосу есебіне қатысты алғанда көп таңбалы кез-келген санды қосуға жарайтын, яғни типтес сесптердің ішінен оның кез-келген дербес тұрін шешудің "бағанмен" қосу тәсілі белгілі.

Сонымен тәжірбиеден сезіну "алгоритм" деп берілген типтес есептердің ішінен оның кез-келгеп дербсо іурін шсшуде қандаи әрекеттерді және қандай ретпен атқарудың қажеттігін анықтайтын көпшілікке түсінікті және дәл жарлықты айтады" (Формирование элементарных математических представлений у дошкольников /под ред. А.А.Столяра. - М.: Просвещение, 19898.) деуге негіз болып отыр. Бұл қатаң математакалық анықтама емес, тәжірибеде байқалғандарға сүйеніп алгоритм ұғымын түсіндіру ғана.

Алгоритм, алгорифм - математиканың негізгі ұғымдарының (категорияларьшың) бірі болғандықтан тікелей тәжірибеге сүйеніп түсіндіріледі және қарапайым ұғымдардың терминдері аркылы

29

 

оған формальді анықтама, көбінесе, берілмейді. Мәселен, бастауыш мектептен белгілі "баған тұрінде" қосу, азайту және көбейту, сондай-ақ "бұрыштап" бөлу ережелері алгоритмдер болып табылады.

Жалпы алғанда, "алгоритм деп қандай да бір бастапқы деректерден (ұсынылып отырған алгоритм үшін бастапқы деректер } болатын мүмкін жиынтықтан алынатын) басталатын және осы деректер бойынша толық анықталатын нәтижені алуға бағытталған есептеу жүргізу процесін көрсетіп беретін нақты және дәл жарлықты түсінеді" (БСЭ. Т. 1).*

Мысалы, жоғарыда келтірілген арифметикалык амалдардың | алгоритмдеріне алынатын мүмкін нәтижелер - ондық санау жүйесінде жазылған натурал сандар болуы, ал мүмкін болатын бастапқы деректер - осындай сандардың реттелген парлары болуы керек.

Сонымен, жарлықтың мазмұнында алгоритмдік процесті атқарудың нүсқауларын басқа, мыналар да кіреді.

3. Мүмкін болатын бастапқы деректердің жиынтығы.
4. Нәтиженің      алынуына      байланысты      пропестің 
   аяқталғандығын білдіретін ереже.

Нәтиже әрдайым міндетті тұрде алынады деуге болмайды, өйткені нақты мүмкін болатын бастапқы деректерге алгоритмді қолдану процесі (яғни осы деректерден басталып өрбитін алгоритмдік процесс) нәтижесіз болуы, үзіліп қалуы немесе тіпті мүлде аяқталмауы да мүмкін. Егер процесс нәтиженің алынуымен

30

 

аяқталатын (аяқталмайтын) болса, онда қарастырмақшы мүмкін болатын бастапқы деректерге алгоритм жарамды (жарамды емес) болады.

Алгоритм ұғымы тек есептеу процесімен ғана емес, сонымен бірге есептің тұріне, типіне (тобына) немесе қандай есептің тұріне, | типіне және оның қандай топқа немесе класка тиісті екеніне сәйкес болатын есептің шешуімен байланысты.

"Алгоритм - есптің беріліп  отырған тұріне жататын кез-келген есепті шешуге арналған саны шектеулі қайсы бір әрекеттерді орындау туралы дәл және нақты нүсқаулардың жиынтығы". (Лапчик М.П. Обучение алгоритмизации. - Омск, 1977.)

"Алгоритм (алгорифм) - белгілі  бір класс күрайтын жиынтықтағы есептердің шешуге арналған нақты операциялар жүйесін ретімен орындау жайындағы дәл және накты жарлык". (Математика в понятиях, определениях и терминах, ч. 1/Под ред. Л.В. Сабинина. -М.:)

Жалпы алғанда, алгоритм бастапқы деректен ізделінеді нәтижеге қарай өрбиді де саны шектеулі қадам (әрекет) жасағаннан кейін нәтижеге жеткізеді, алайда деректердің белгілі шекарада өзгеруі мүмкін.

"Алгоритм" сөзі позициялы ондық санау  жүйесінде көп таңбалы сандармен арифметикалык амалдар орындаудыті ерсжссім алғаш рет түжырымдаған IX ғасырдағы өзбек математигі - әл-Хорезми (арабша - Хорезмнен шыққан дегенді білдіреді немесе

31

 

аяқталатын (аяқталмайтын) болса, онда қарастырмақшы мүмкін болатын бастапқы деректерге алгоритм жарамды (жарамды емес) болады.

Алгоритм ұғымы тек есептеу процесімен ғана емес, сонымен бірге есептің тұріне, типіне (тобына) немесе қандай есептің тұріне, типіне және оның қандай топқа немесе класқа тиісті екеніне сәйкес болатын есептің шешуімен байланысты.

"Алгоритм - есптщ беріліп  отырған тұріне жататын кез-келген есепті шешуге арналған саны шектеулі қайсы бір әрекеттерді орындау туралы дәл және нақты нүсқаулардың жиынтығы". (Лапчик М.П. Обучение алгоритмизации. - Омск, 1977.)

"Алгоритм   (алгорифм)   -   белгілі   бір   класс   құрайтын жиынтықтағы есептердің шешуге арналған нақты операциялар жүйесін ретімен орындау жайындағы дәл және нақты жарлык". (Математика в понятиях, определениях и терминах, ч. 1/Под ред. ; Л.В. Сабинина.-М.:)

Жалпы алғанда, алгоритм бастапқы деректен ізделінеді нәтижеге қарай өрбиді де саны шектеулі қадам (әрекет) жасағаннан кейін нәтижеге жеткізеді, алайда деректердің белгілі шекарада өзгеруі мүмкін.

"Алгоритм" сөзі позициялы ондық санау  жүйесінде көп таңбалы сандармен арифметикалык амалдар орындаудьш ерсжссін алғаш рет түжырымдаған IX ғасырдағы өзбек математигі - әл-Хорезми (арабша - Хорезмнен шыққан деғенді білдіреді немесе

31

 

латыншалағанда АІ£огііһті) есімінен шьжкан. Оның еңбектері арқылы ондық санау жүйесіндегі сандарға амалдар қолдану тәсілі Европаға тарады және бұл сесптеу тәсілдері ғалым есімінің латынша окылуына (транскршщиясына) ораи алгоритмдер деп аталып кетті.

Уақыт өткен сайын, әсіресе соңғы 100 жылдың ішінде, "алгоритм" сөзінің мәні де бірте-бірте кеңейе түсті. Бұл күнде алгоритм - типтес (бір типті) есептердің белгілі бір тұрінің кез-келген есебін қадамдардың шектеулі санын орындағанда шешуге (осы мақсатқа жетуге арналған әдіс) катысты жалпы әдіс немесе тәсіл, жарлық, нүсқау, ережелердің жинағы деп түсініледі.

Ұзак уақыт бойы алгоритм ұғымының дәл анықтамасы математикада болмады. Мүны осы ұғымның көлемін анықтаудағы қиындықпен қатар кейбір есептерді шешу алгоритімнің  жоқ екендігі ашылғаннан кейін ғана осы ұғымның анықтамасын берудің қажеттілігі айқындаоа түскендігінен деуге болады. Алгоритмнің нақты   анықтамасын   бірнеше   математиктер   тек   қана   XX ғасырдаберді.     Бұл    анықтамалардың     формалары     әртұрлі болғанымен кейінірек олардың эквивалентті екендігі анықталады. Және де XX ғасырдың 20-30 жылдарында алгоритмдердің жалпы (ортақ) қасиетін зерттейтін математиканың бір бөлімі - алгоитмдер теориясы қалыптаса бастады.

Алгоритм - математиканың және әр тұрлі автоматгы құрылғылардың, соның ішінде қазіргі электорнды есептеу машиналарының (ЭЕМ) көмегімен информацияны (мәліметгерді)

 

сақтау,    турлендіру    және    ұсыну    тәсілдерін    зерттейтін, математикадан     бөлініп     шыққан     жас     ғылым     саласы информатиканың іргелі ұғымдарының бірі.  Кейбір іс-әрекетті I орындауға қатысты алгоритмнің болуы осындай іс-әрекеттің әр I турлі автоматты құрылғыларға, роботтарға, ЭЕМ-ға беріп коюдың қажетті шартты болып табылады.

2.3 Натурал сан мен 

нөл ұғымдары

Сан - баста заттарды санаудың мұқтаждығынан пайда болған негізгі математикалық ұғымдардың бірі. Ол кейін математикалык ^білімдердің дамуына қарай жетілдірілді.  Бұл ұғым өте ерте I заманда,   күллі    математика    ғылымы    сияқты    адамдардың шірактикалық қызметінің қажеттігінен келіп туды.   Ол өте баяу ^қалыптасты,   сөйтіп   барған   сайын   күрделепе   тускен   с>ус;лі |практикалық, ал онан соң теориялық сипаттағы мәселелерді шешу барысында көптеген  ғасырлар бойы  біртіндеп  кеңейіп  және рсалпыланып отырды.

Бұл ұғымның маңыздылығы туралы ғалымдар мынандай шіукірлер айтқан. Мәселен, Э.Борель (1871-1956): "Адамдардың рбілімі онда санның қандай рол атқаратынына байланысты Ғылым атына ие болуға лайық", - деп жазды. С.Стевин (1548-1620) былай |еп жазды:  "Сандардың  арасыида  гажайъш  келісшділік  пен ^йлесімділіктің бары соншалық, біз олардың керемет заңдылығы уралы күндер мен түндер бойы ойлануымыз керек...".

33

 

"Біз, - деп жазды Н.Н:Лузин (1883-1950) - бірлік ұғымын жасағаны (ашқаны емес, нақ сол жасағаны) үшін адамның данышпандылығы алдында бас июге тиіспіз. Сан пайда болды, ал сонымен біргс Маіематика да лаида Оолды. Сан идеясынан - ең үлы ғылымдардың бірінің тарихы, міне, содан басталада".

Натурал сан ұғымының дамуы ерте заманда адамның заттар жиынтығының саньш оларды санамай-ак, яғни өзара бір мәнді сәйкстікті тағайындау негізінде қабылдануымен сипатталады. Өте ұзақ дамудың нәтижесінде адам натурал сандарды жасаудың келесі кезеңіне жетгі - жиынды салыстыру үшін аралық жиындарды қолдана бастады. Бұл кезеңде сан саналатын жиындарлан ерекшеленген жоқ. Адам аралық жиындарДЫ қолдаиуға үйренгеннбн кейін барып қана объектілер мея йралық ■- жиьгііДар; арасындағы ортақ нәрсені анықтады. Аралық - жиындарды, онын, элемен'пері табиғатынан дерексіздендіру мүмкін болғаннан кейіи натурал саіі туралы түсінік пайда болды.