Математикалық сөйлемдер

Жоспар

 

I. Кіріспе................................................................................................................3-4

 

II. Негізгі бөлім

 

1. Математикалық сөйлемдердің құрылымы..........................................5-7

2. Нақты сандар..........................................................................................7-8

3. Нақты сандардың абсолют шамасы.........................................................8

4. Функция ұғымы......................................................................................8-9

5. Математика сабақтарында оқушылардың математикалық сауаттылығын қалыптастырудың теориялық негіздері..................................9-14

6. Графикалық сауаттылық – математикалық тіл дамуының бір жолы..................................................................................................................14-17

7. Мектеп математикасының тілі..........................................................17-19

 

III. Қорытынды......................................................................................................20

 

IV. Пайдаланылған әдебиеттер  тізімі..................................................................21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кіріспе

 

«Математика» гректің  «ғылым, ілім» сөзінен алынған. Математика – жүйеленген, орнықты және мазмұны  ғасырлар бойы өзгеріске ұшырамаған ғылым. Мысалы, «Евклид геометриясы», «Пифагор теоремасы», «Пифагор сандары», «Архимед аксиомасы» т.т. математиканың  тарихи қалыптасуын сипаттайды және оның ерекше бір көрінісі болып табылады.

Математиканың заңдары мен  ережелері табиғаттан, өмірден алынған  және бүкіл адамзатқа ортақ.

Математика екі жағы бар  біртұтас ғылым. Біріншісі, санауға, есептеуге, теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуге, функцияларды зерттеуге, геометриялық фигуралардың қасиеттерін, ауданын, көлемін  есептеуге, формулаларды қорытып шығаруға арналған. Математиканың бұл жағын  әдетте «есептеу математикасы» деп  атайды. Математиканың екінші жағы «есептеу математикасына» қажетті  басқа сұрауларға жауап береді. Олар: математика қалай құрылған ғылым; анықтама, аксиома, теорема, дәлелдеу, салдар деген  не; есепті шығару үшін әрі қажетті  және әрі жеткілікті шарттар деген  не; есептің (сұраудың) бір-ақ шешуі (жауабы) болуы үшін қандай ал-ғашқы шарттар  қажет; басқа ғылым салаларының  бәрінде қолданылатын «математикалық модельдеу» деген не; алгоритм деген  не; математикалық методтар деген  не; шешуі жоқ есептер бола ма т.т.

Математикалық білімнің негізгі  мақсаты – заңға негізделген  дедуктивтік ой қорытындылауды қалыптастыру. Әдетте математиканың салаларының  барлығы алдын ала берілген аксиомаларға негізделіп құрылады. Сондықтан математиканы аксиоматикалық, дедуктивтік немесе алдын ала берілген жалпы пікірлердің  жеке пікірлерге ауысуы негізінде құрылған деп атаймыз. Ал, «аксиома» гректің  «пікір» деген ұғымын білдіретін термин. Ол басқа пікірлердің-теореманың дұрыстығын дәлелдеу үшін қолданылатын «заң», «негізгі қасиет» деген мағынаны береді.

Математиканың негізгі «құрылыс материалы» – объектісі не екендігі айтылмайтын абстракты – «сан», «нүкте», «жазықтық» сияқты ұғымдар. Олардың (объектілердің) арақатынасын көрсететін «тең», «тиісті», «рет», «арақашықтық», «қозғалыс» (физикадағы жылдамдық, үдеу, күш ұғымдарымен, байланысты қозғалыс емес) сияқты ұғымдары қолданылады. Енді осы объектілер мен олардың арақатынастарының  негізгі қасиеттерін көрсететін, өмірден алынған тиянақты ойды білдіретін сөйлемдер қабылданады. Бұлар аксиома  деп аталады.

Бұл аксиомалар (заңдар) саны шектеулі болады. Математика салаларының  аксиомалар жүйесіне үш талап қойылады: қайшылықсыз, тәуелсіз, толық болуы.

1. Егер жүйенің аксиомаларынан  логикалық жолмен бір-біріне қарсы  пікір шығара алмайтын болсақ, жүйені қайшылықсыз дейміз.

2. Егер жүйенің аксиомаларының  бірі басқаларының салдары болмаса  жүйені тәуелсіз дейміз.

3. Егер жүйені бұрынғы  аксиомаларға қайшы келмейтін  аксиомамен толықтыруға болмаса,  жүйені толық дейміз.

Кез-келген осы салаларға  тиісті математикалық пікірлердің (теоремалардың) дұрыстығын, шындығын осы заңдарға негіздеп қана көрсетуіміз  керек. Математиканың аксиомалар жүйесіне қойылатын осы 3 талап Ата заңымыз  – Конституцияға да қойылуы қажет, яғни түрлі кодекстеріміз де Конституцияға  негізделуі қажет. Еліміздің әрбір  азаматының заңға негізделген іс-әрекеті  мен ой-қорытындылауы құқықтық мемлекет құрудың негізгі стратегиясы  болып табылады.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Математикалық сөйлемдердің құрылымы

 

Әңгіме не туралы болып жатса соны обьект дейміз. Әңгіме фигуралар немесе өрнектер туралы болып жатса, онда оны математикалық обьект дейміз. Обьектілер бір-бірімен математика амалдары арқылы өрнектелсе, онда мұны күрделі обьект дейді. Егер тәуелді және тәуелсіз сөйлемдер бірімен-бірі жалғастырылса, онда мұндағы ақпарды пайымдайтын сөйлемді математикалық сөйлем дейміз.

Математикалық сөйлемдер аксиома, анықтама, теорема, формула, ереже, заң тағы да сол сияқты атаулармен аталады. Математиканы репродуктивтік (айтқанды немесе оқығанды қайталау) әдісімен үйретіп жүрміз. Бұл тұрғыдан қарастырғанда оқушылардан математикалық табиғи тілде тұжырымдау талап етілмейді. Біздің алға қойған мақсатымыз оқушыларды ойлауға үйрету. Математикалық есептеменің маңызды бөлігін табиғи тілде оқушылардың өздеріне тұжырымдату кезінде тіл грамматикасы мен синтаксисінің заңдары пайдаланып бірнеше сөйлемдер біріктіріледі, жалпыланады, редакцияланады. Осы уақытқа дейін редакциялану проблемасы математиканы оқыту әдістемесінде қарастырмай жүр. Информатика түрғысынан сөз обьектілерінің іс-қимылдардың кодалары, ал болып жатқан құбылыстарды сипаттау кезінде бұл кодалар бір-бірімен тіл грамматикасы арқылы байланыстырады. Осы грамматиканы білмеген адам ойын басқаға жеткізе алмайды. Онда оның білімі өзіне де басқаға да пайдасы жоқ. Осыған орай керекті жерінде математика мен тіл грамматикасындагы зандылықтарды байланыстырып, ашық айтқанда, математикалық өрнектер мен тұжырымдалған ойларды табиғи тілге және керісінше аударып отырудың оқушылардың абстракциялық ойларын арттыруға бағытталған тура жол деп есептейміз. Бұл аударманы тіл проблемасын шешу үшін емес оқушылардың математикалық білімін қалыптастыруға тигізетін пайдасы мол болғандықтан да ұсынып отырамыз.

Оқушылардың тілі де, ойы да жетілмеген. Осыны ескеріп, алғашқы теоремалардың, анықтамалардың, тұжырымдамаларын бірден бере салмай лабораториялық жұмыс ұйымдастыру арқылы немесс оқыту ойындары арқылы сөйлемдердің мағынасын ашқызып, оқушының өздеріне математика тілінде жазылған ойларды тұжырымдатқызу керек. Ол үшін оқушы математикалық сөйлемдердің құрылымдары және бұлардың арасында қандай айырмашылық болатындығы туралы хабардар болуға тиіс.

Анықтама құрылымы: анықтама құрылымы екі бөліктен тұрады. Бірінші бөлігінде шарты деп аталатын тәуелсіз сөйлем, яғни фигураның (обьектінің) қасиеті пайымдалады да, екінші бөлігінде фигураға (обьектіге) атау беріледі.

Теорема құрылымы туралы оқушыларға күдік туғызатын мәселелер баршылық. Тұжырымдалған математикалық сөйлемде оның мағынасы толық ашылуы керек. Оқулықтарда теореманы «геометриялық фигуралардың қасиетін өрнектейтін және дәлеледейтін сөйлем» делінген. Бұл анықтамада теоремаға қатысты ой тұйықталмаған. Сондықтан төмендегідей ойлар туындап жатыр. Олар дәлелденетін математикалық сөйлемдердің барлығын математикалық теорема деп неге айтамыз? Қандай теореманы фигураның қасиеті, ол қандай теореманы оның белгісі деп айтады. Осы сияқты құрылымға қатысты оқушылардың мазалайтын сұрақтар математикада жеткілікті бола тұрса да әдіскерлер мен оқулық иегерлерінің үндері шықпай жатыр. Мәселелерді ашық-айқын бермеу түсінбеушілікті туғызады. Түсінбеушілік болғанда білім қалыптаспайды. Ойлауға үйрету әдістемесінің негізгі мақсаты көмескі ойды туғызбау. Теоремаға ұқсас есептерді теорема деп айтпайтынымыз олар жаттығу есептерінде сирек пайдаланылады. Есеп шығаруға көзделіп оларға аксиома, анықтама, теорема, формула тағы сол сияқты арнайы атаулар беріліп отыр деген түсініктеме берудің пайдасы барлығын өз тәжірибемізден байқадық. Оқушыныц жадына жеткізу әдісі теореманы өзіне тұжырымдатқызу. Тұжырымдау кезінде сөйлемдерді біріктіру, қажетті редакциялық түзетулер жасау сияқты процесстер оның ой өрісін дамытуға ықпал етеді. Теореманыц құрылымы туралы толық мағлұмат болғанда ғана ол теореманы өзі тұжырымдай алады. Теорема математикалық сөйлемдерден құрастырылады. Математикалық сөйлемдерде обьектілердің арасындағы немесе олардың арасындағы байланыс және солардан жасалатын қорытынды пайымдалады. Сонымен теоремага мынадай анықтама беруге болады: «Тәуелсіз және тәуелді математикалық сөйлемдерден құрастырылған жиі пайдаланылатын күрделі сойлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. сойлемді пайдаланатын күрделі сөйлемді теорема дейді. Тәуелсіз сөйлемді теореманың шарты, ал тәуелді сөйлемді оның қорытындысы немесе талабы дейді.» Теоремадағы сөйлемдердің әрбіреуінің обьектілері әр түрлі де, бірдей болуы да мүмкін. Бұлардың бір-біріне тәуелділігіне, тәуелсіздігіне байланысты теоремаларды топқа бөлуге және құрылымдарындағы сөйлемдердің саны туралы да тиянақты пікір айтуға болады. Егер екі сөйлемнің обьектілері әр түрлі болса, онда теорема екі сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, “егер жазықтық параллель екі түзудін біріне перпендикуляр болса, онда ол екінші түзуге де перпендикуляр болады” деген теорема шартының обьектілері жазықтық және екінші түзу. Түзулер әр түрлі болуына байланысты шарт пен қортының обьектілері де әр түрлі дейміз. Дұрыс түсіну түрғысынан қарастырғанда мұндай сөйлемдерде алғашқы кезде. «Егер ..., онда....» түрінде тұжырымдап кейінде қысқартып былай тұжырымдатқызуға болады. «Параллель екі түзудің біріне перпендикуляр жазықтық, екіншісіне де перпендикуляр». Егер екі сөйлемніц обьектілері бірдей болса, онда теорема бір сөйлем арқылы тұжырымдалады. Мысалы, «Сыбайлас бұрыштардың қосындысы 180º-қа тең» - деген теореманың шартының обьектісі бұрыштар, ал қорытындысынын обьектісі де сыбайлас бұрыштар. Екі сөйлемнен құрастырылған теореманың кез-келген тәуелсіз сөйлем үшін қабылдауға болады, яғни қорытынды мен шарттың орындарын ауыстырып жаза аламыз. Онда соңғы теорема алғашқыға кері деп аталады. Мысалы, «егер төртбұрыш параллелограмм болса, онда оның диагоналдары қиылысу нүктелерінде қақ бөлінеді (қорытынды)» - деген теореманың шарты мен қорытындысының орындарын ауыстырып «Төртбұрыштардың диагоналдары қиылысу нүктесінде қақ бөлінсе, онда ол параллелограмм болады» деген біріншіге кері теорема аламыз. Теореманың екі бөлігін алмастыру арқылы әрқашанда кері теорема алынады деген ой оқушыға қалыптасуы мүмкін. Осындай теріс ойды оқушыға қалыптастырмау үшін сөйлем құрылымына талдау жасатқызу керек. Мысалы: Сыбайлас бұрыштар арқылы сипатталатын үш түзудің параллельдік белгісін алдымен математика тілінде жаздырып

 

<1=<2  1.а||в

 

<2=<3  2.в||с

 

Шарт пен қорытындысының орындарын ауыстырып кері теорема  аламыз.

 

1.а||в  <1=<2

 

2.в||с  <2=<3

 

(Т2) - ның қорытындысының екінші бұрышты қайталандырмай жазсақ, онда мына теорема аламыз.

 

1.а||в

 

2.в||с  => <1=<3

 

Түрлендіру (ТЗ) - ші (Т2) - ші теоремага кері бола алмайды. Ендеше ол (Т1 ) - шіге де кері теорема бола алмайды (ТЗ) – шінің қорытындысын түзулердіц орналасуы арқылы жазсак, онда

 

а||в

 

в||с  => а||в

 

Түйетіні: қорытынды мен шарттардын орындарын ауыстырсақ, онда бұл екеуі бір-біріне кері теоремалар бола алады. Ал бұлардың біреуінің қорытындысын түрлендіріп құрылымын өзгертсек, онда түрленген мен түрленбеген теоремалар өзара кері теоремалар бола алмайды.

 

Нақты сандар

 

Математикада негізінен  сандармен жұмыс істейтін болғандықтан олардың кейбір түрлерін келтірейік. Бүтін және оң 1,2,3...n ... сандарды натурал  сандары деп атайды. Оң және теріс, бүтін және  бөлшек, бөлшектердің  ішінде  ақырлы немесе шексіз периодтық  ондық бөлшектер жиыны рационал  сандары болады. Шексіз периодты емес ондық  бөлшектен тұратын, яғни  рационал емес сандарды иррационал сандары  деп атаймыз. Рационал және иррационал  сандар жиынтығы бірігіп нақты сандар деп аталады.

Нақты сандары мен сандар осі бойындағы  нүктелер арасында бір мәндік сәйкестік болады. Нақты  сандар өзара  шамаларымен  реттелген, яғни әрбір  екі нақты сан арасында келесі үш қатынастың біреуі орындалады  х<у,  х=у,   х>у

Нақты сандардың негізгі  қасиетінің бір: екі кез келген нақты  сан арасында рационал немесе иррационал сан табылады. Бұл  қасиет нақты сандарының үзілісіздігі.

 

Нақты сандардың  абсолют шамасы

 

Берілген х санының  абсолют  шамасы деп,  егер х≥0 болса, сол х санының өзі болады, егер х<0 болса абсолют шамасын анықтау  үшін

х-ке теріс таңба  қояды, яғни  

Абсолют  шамалардың қасиеттерін  келтірейік:

а) Екі санның қосындысың абсолют шамасы (модулі) олардын  абсолют шамаларының  қосындысынан аспайды: 

б) Екі саның айырымының абсолют шамасы  осы сандардың  абсолют шамалар айырымынан кем  болмайды:   

в) кез келген х және у  сандары үшін     және     теңдіктері орындалады.[kgl]

 

Функция ұғымы

 

Айталық Х және У нақты  сандардан тұратын жиындар болсын.

1-Анықтама.  Егер белгілі   бір ереже (заң) бойынша Х  жиынын құрастыратын әрбір нақты  х санына у жиынын құрастыратын  сандардың біреуі бірғана у  сәйкес келсе, онда Х жиынында  бір мәнді        функциясы  берілген дейді.

Мұнда Х жиынын функцияның анықталу  немесе берілу облысы,  ал У жиынын функцияның мәндерінің облысы, х-ті тәуелсіз  айнымалы немесе аргументі дейді.

2- Анықтама. Егер Х жиынында  анықталған  f(x) функциясы х-тің  Х жиынына енетін және х1<х2  теңсіздігін қанағаттандыратын   әр түрлі екі мәні үшін     теңсіздігі орындалса, яғни аргументің  үлкен мәніне  функцияның  үлкен  мәні сәйкес келсе, онда мұндай  функцияны үдемелі функция деп  атайды.

3- Анықтама . Егер Х жиынында  анықталған  f(x) функциясы х-тің  осы Х  жиынына енетін және  х1<х2  теңсіздігін қанағаттандыратын  әр түрлі екі мәні үшін     теңсіздігі орындалса, яғни аргументің  үлкен мәніне функцияның кіші  мәні сәйкес келсе, онда мұндай  функцияны кемімелі функция дейді.

 

 

Математика сабақтарында оқушылардың математикалық сауаттылығын қалыптастырудың теориялық негіздері

 

Білімді, өнерді, ақыл-ойды, іскерлік пен дағдыны меңгерудің қажеттілігін түсініп, талғамына қарай  таңдап тауып, игеруді өзі ұйымдастыру  сияқты іс-қимылды баланың орындауын  П.М. Эрдниевтің «Келешек тиімді математика оқулығы түсіндірілуі жүйеленген теориялар  мен жүйеленген жаттығулар негізінде  ғана құрылады» деген пікіріне сүйеніп  оқу материалы мен теорияны қолдану  әдісін, егжей-тегжейлі бірнеше санмен баяндайтын жаттығулардың кестесі  түрінде жүйелеуді жөн көрдік. П.М. Эрдниевтің тәжірибесінде есептің, санның, сызбаның, графиктің кестесі (матрица) жан-жақты қолданылған.

Материалды кестелерге жүйелеу  білімді бір мезгілде, бір орында суретпен, сөзбен, өрнекпен баяндау  мүмкіндігін береді.

Мұның өзі меңгерілген  білімнің беріктігін қамтамасыз етеді. Мате-матикалық білімнің негізін  қалайтын сандарға амалдарды орындауға  арналған кестелердің кейбіреулерінің  тақырыптарын келтіреміз. Олар:

- сандарды қосу және  азайту кестесі;

- сандарды разрядтық бірліктерден  құру кестесі;

- сандарды көбейту кестесі;

- саңдарды бөлу кестесі;

- сандарды жай көбейткіштерге  жіктеу кестесі.

Оқу материалының мазмұнын қайталауда санның, өрнектің, сөйлемнің, аралық бет орын ауыстырғанда өзгермейтін  мүшелері сыртқы қабатқа, өзгеретін  мүшелері аралық бетке таңбамен, сөзбен, белгімен, белгілеумен түсірілді. Кесте-лердегі  сан таңбасының дыбысталуы, өр-нектің ой тұжырымымен, амалдың суретпен үйлестірілуі үздіксіздіктің тұтас-тығын сақтауға ұмтылу еді.