Магические квадраты

 

5. Содержимое каждой из 5 клеток, отмеченных знаком минус (желтый  цвет), обмениваем с содержимым  симметричной относительно горизонтальной  оси клетки.

100 99 93 4 5 6 7 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 21 22 78 77 75 26 74 73 29 30 61 32 33 67 66 65 64 38 39 40 60 52 43 44 56 55 47 48 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

 

6. Содержимое каждой из 5клеток  третьей группы, отмеченной * (розовый  цвет) обмениваем с содержимым  симметричной относительно вертикальной  оси клетки. После этих перестановок получится четно-нечетный магический квадрат с суммой, равной 505.

100 99 93 7 5 6 4 8 92 91 11 89 88 84 16 15 17 83 82 20 30 22 78 77 75 26 74 73 29 21 61 39 33 67 66 65 64 38 32 40 60 52 48 44 56 55 47 43 49 51 50 42 53 54 46 45 57 58 59 41 31 62 63 37 36 35 34 68 69 70 71 72 28 27 25 76 24 23 79 80 81 19 18 14 85 86 87 13 12 90 10 9 3 94 95 96 97 98 2 1

 

Глава 4. Латинские квадраты

Латинским квадратом называется квадрат n*n  клеток, в которых написаны числа от 1, до n, притом так, что в каждой строке и каждом столбце встречаются все эти числа по одному разу. На рис.3 изображены два таких квадрата3*3. Они обладают интересной особенностью: если один квадрат наложить на другой, то все пары получившихся чисел оказываются различными (рис.5). Такие пары латинских квадратов называются ортогональными.

1	2	3
2	3	1
3	1	2

1	2	3
3	1	2
2	3	1

1 1	2 2	3 3
2 3	3 1	1 2
3 2	1 3	2 1

 

 

 

 

 

 

Рис.5

 

Впервые задачу отыскания ортогональных латинских квадратов поставил        Л. Эйлер, причём в такой занимательной формулировке: «Среди 36 офицеров поровну уланов, драгунов, гусаров, кирасиров, кавалергардов и гренадеров и, кроме того, поровну генералов, полковников,   майоров,   капитанов,    поручиков   и   подпоручиков, причем каждый род войск представлен офицерами всех шести рангов. Можно ли выстроить всех офицеров в каре 6 * 6 так, чтобы в любой колонне и любой шеренге встречались офицеры всех рангов?»

       Эйлер не смог  найти решения этой задачи. В 1901 г. было доказано, что ортогональных  квадратов 6*6 не существует. В 1959 г. помощью  ЭВМ  были  найдены  сначала  ортогональные квадраты 10*10, потом 14*14, 18 *18, 22 *22. А затем было показано, что для любого n , кроме 6, существуют ортогональные квадраты n *n.

 

Глава 5.  Применение латинских и магических квадратов

 

1. Шифрование текстов

        Шифруемый  текст вписывали в магические  квадраты нужного размера в  соответствии с нумерацией их клеток. Если затем выписать содержимое такой таблицы по строкам, то получится шифртекст, сформированный благодаря перестановке букв исходного сообщения.

Пример магического квадрата и его заполнения сообщением показан на рисунке 6.

 

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

О	И	Р	М
Е	О	С	Ю
В	Т	А	Ь
Л	Г	О	П

ПРИЛЕТАЮ ВОСЬМОГО

 

 

 

 

 

                                                           Рис.6

Шифртекст, получаемый при считывании содержимого правой таблицы по строкам, имеет  вид: ОИРМ ЕОСЮ ВТАЬ ЛГОП.

 

2. Агротехника

 

Пусть требуется испытать 4 сорта пшеницы на урожайность в данной местности, причем нужно учесть влияние степени разреженности посевов и влияние двух видов удобрений. Для этого разобьем квадратный участок земли на 16 делянок. Первый сорт пшеницы посадили на делянках, соответствующих нижней горизонтальной полосе, следующий сорт - на четырех делянках, соответствующих следующей полосе, и т.д. (на рис. сорт обозначен цветом). При этом максимальная густота посевов будет на тех делянках, которые соответствуют левому вертикальному столбцу рисунка (на рис. этому соответствует уменьшение интенсивности цвета). Цифры, стоящие в клетках рисунка, пусть означают : первая - количество килограммов удобрения первого вида, вносимого на участок, а вторая - количество вносимого удобрения второго вида. Эти числа на 1 меньше чисел в ортогональных латинских квадратах. Заметим, что реализованы все возможные пары сочетаний как сорта и густоты посева, так и других компонентов: сорта и удобрений первого вида, удобрений первого и второго видов, густоты и удобрений второго вида.

Использование ортогональных латинских квадратов помогает учесть все возможные варианты в экспериментах в сельском хозяйстве, физике, химии, технике.

11	22	33	44
23	14	41	32
34	43	12	21
42	31	24	13

 

Практическая часть

Магический квадрат Пифагора: насколько он магический?

Великий ученый Пифагор, считал, что всем на свете управляют числа. Поэтому сущность человека заключается тоже в числе - дате рождения. Он создал метод построения квадрата, по которому можно познать характер человека, состояние его здоровья и его потенциальные возможности, раскрыть достоинства и недостатки и тем самым выявить, что следует предпринять для его совершенствования. Во времена Пифагора магические квадраты на каждого человека создавались индивидуально с помощью сложения и вычитания некоторых чисел в дате его рождения.

Для того, чтобы понять, что такое магический квадрат Пифагора и как подсчитываются его показатели, сделаю его расчет на своем примере. А чтобы убедиться, что результаты подсчета действительно соответствуют реальному характеру той или иной личности, вначале я проверю его на себе. Для этого я буду делать расчет по своей дате рождения. Итак, моя дата рождения 20.06.1992. Сложим цифры дня, месяца и года рождения (без учета нулей): 2+6+1+9+9+2=29. Далее складываем цифры результата: 2+9=11. Затем из первой суммы вычитаем удвоенную первую цифру дня рождения: 29-4=25. И вновь складываем цифры последнего числа:

2+5=7. Осталось сделать последние сложения – 1-й и 3-й и 2-й и 4-й сумм: 29+25=54, 11+7=18. Получили числа 20.06.1992,29,11,25, 54,18.

и составляем магический квадрат так, чтобы все единицы этих чисел вошли в ячейку 1, все двойки – в ячейку 2 и т. д. Нули при этом во внимание не принимаются. В результате мой квадрат будет выглядеть следующим образом:

4	999	2222
-	55	-
8	1111	6