Магические квадраты

 

2. Полученная на шаге 1 фигура заполняется по косым рядам сверху – вниз - направо целыми числами от 1 до 25 в натуральном порядке. Результат заполнения показан на следующем рисунке:

1               6 * 2           11 0 7 0 3       16 0 12 0 8 0 4   21 * 17 0 13 0 9 * 51   22 0 18 0 14 0 10       23 0 19 0 15           24 * 20               25

 

3. Каждое число, расположенное в фигуре шага 2 вне исходного (закрашенного) квадрата, переносится по вертикали или горизонтали внутрь исходного (закрашенного) квадрата на число клеток, равное порядку квадрата – в данном случае на 5 клеток. Таблица переносов имеет следующий вид:

1 - вниз под 13	2 - вниз под 14	6 - вниз под 18
21 - вправо за 13	22 - вправо за 14	16 - вправо за 8
5 - влево перед 13	4 - влево перед 12	10 - влево перед 18
25 - вверх над 13	24 - вверх над12	20 - вверх над 8

4). Освободившиеся  ячейки,  заполненные  символом  *,  должны  быть  исключены. Оставшиеся  внутренние  ячейки, заполненные натуральными  числами, образуют магический квадрат, представленный  следующей  таблицей  5x5: Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.

11 24 7 20 3 4 12 25 8 16 17 5 13 21 9 10 18 1 14 22 23 6 19 2 15

3.1.2. Метод А. де ла Лубера  (французского геометра 17 в.)

Рассмотрим этот метод на примере квадрата 5-го порядка

Число 1 помещается в центральную клетку верхней строки. Все натуральные числа располагаются в естественном порядке циклически снизу вверх в клетках диагоналей справа налево. Дойдя до верхнего края квадрата (как в случае числа 1), продолжаем заполнять диагональ, начинающуюся от нижней клетки следующего столбца. Дойдя до правого края квадрата (число 3), продолжаем заполнять диагональ, идущую от левой клетки строкой выше. Дойдя до заполненной клетки (число 5) или угла (число 15), траектория спускается на одну клетку вниз, после чего процесс заполнения продолжается.

Сумма чисел в столбцах, строках, диагоналях равна 65.

17	24	1	8	15
23	5	7	14	16
4	6	13	20	22
10	12	19	21	3
11	18	25	2	9

 

 

 

3.2.    Магические квадраты четного порядка

3.2.1 Четно четные

1. Порядок которого равен  степени числа 2

 

*	2	3	*	*	6	7	*
9	*	*	12	13	*	*	16
17	*	*	20	21	*	*	24
*	26	27	*	*	30	31	*
*	34	35	*	*	38	39	*
41	*	*	44	45	*	*	48
49	*	*	52	53	*	*	56
*	58	59	*	*	62	63	*

Этот метод удобно рассмотреть на примере магического квадрата 8-го порядка из натуральных чисел от 1 до 64. Метод включает следующую последовательность шагов.

 

1. Исходный  квадрат  делится  на     соответствующее число квадратов порядка 4. В данном случае таких квадратов будет 4. В каждом подквадрате отмечаются диагональные элементы (например, символом *). Остальные элементы построчно заполняются порядковыми целыми числами в направлении слева - направо и сверху - вниз. Числа, приходящиеся на выделенные диагональные элементы, должны быть пропущены. Результат заполнения недиагональных элементов квадрата 8-го порядка показан на следующем рисунке:

 

64	2	3	61	60	6	7	57
9	55	54	12	13	51	50	16
17	47	46	20	21	43	42	24
40	26	27	37	36	30	31	33
32	34	35	29	28	38	39	25
41	23	22	44	45	19	18	48
49	15	14	52	53	11	10	56
8	58	59	5	4	62	63	1

2. Отмеченные на шаге 1 диагональные  элементы квадрата заполняют  пропущенными целыми числами  в порядке возрастания в направлении справа - налево и снизу-вверх, а числа, приходящиеся на недиагональные элементы, должны быть пропущены.

Сумма чисел по строкам, столбцам и диагоналям равна 260.

 

 

 

 

 

 

2. Метод Раус  – Бола

 

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64

      Он начинается  с того, что квадрат заполняется  слева направо и сверху вниз  числами от 1 до n2 в их естественном порядке. Затем выполняются перестановки чисел в некоторых клетках, после чего квадрат становится магическим. Сначала рассмотрим случай, когда после деления квадрата на четыре равные части, каждая из них становится квадратом четного порядка. Такой квадрат называется «четный – четный», Для примера возьмем квадрат 8го порядка. Правила построения четно-четного магического квадрата таковы:

1	2	3	4	5	6	7	8
9	10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23	24
25	26	27	28	29	30	31	32
33	34	35	36	37	38	39	40
41	42	43	44	45	46	47	48
49	50	51	52	53	54	55	56
57	58	59	60	61	62	63	64