Лекции по "Математической статистике"

• если сравниваемая величина больше базы сравнения в 2 раза и более, то выбирают форму коэффициента (как в вышеприведенном примере);
• если относительная величина близка к единице, то, как правило, ее выражают в процентах (например, сравнив величины экспорта России в 2006 и 2005 годах, которые составили 304,5 и 243,6 млрд. долл. соответственно, можно сказать, что экспорт в 2006 году составляет 125% от 2005 года [304,5/243,6*100%]);
• если относительная величина значительно меньше единицы (близка к нулю), ее выражают в промилле (например, в 2004 году Россия экспортировала в страны-СНГ всего 4142 тыс. т нефтепродуктов, в том числе в Грузию 10,7 тыс. т, что составляет 0,0026 [10,7/4142], или 2,6‰ от всего экспорта нефтепродуктов в страны СНГ).

Различают относительные  величины динамики, структуры, координации, сравнения и интенсивности, для  краткости именуемые в дальнейшем индексами.

Индекс динамики¹ характеризует изменение какого-либо явления во времени. Он представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины в разные периоды времени. Данный индекс определяется по формуле (2):

, (2)

где цифры означают: 1 – отчетный или анализируемый  период, 0 – прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица (или 100%), то есть если >1, то имеет место рост (увеличение) явления во времени; если =1 – стабильность; если <1 – наблюдается спад (уменьшение) явления. Еще одно название индекса динамики – индекс изменения, вычитая из которого единицу (100%), получают темп изменения (динамики) с критериальным значением 0, который определяется по формуле (3):

. (3)

Если T>0, то имеет место рост явления; Т=0 – стабильность, Т<0 – спад.

В рассмотренном выше примере  про экспорт России в 2006 и 2005 году был рассчитан именно индекс динамики по формуле (2): i_Д = 304,5/243,6*100% = 125%, что больше критериального значения 100%, что свидетельствует об увеличении экспорта. Используя формулу (3) получим темп изменения: Т = 125% – 100% = 25%, который показывает, что экспорт увеличился на 25%.

Разновидностями индекса  динамики являются индексы планового  задания и выполнения плана, рассчитываемые для планирования различных величин  и контроля их выполнения.

Индекс планового задания – это отношение планового значения признака к базисному. Он определяется по формуле (4):

,(4)

где X’₁ – планируемое значение; X₀ – базисное значение признака.

Например, таможенное управление перечислило в федеральный  бюджет в 2006 году 160 млрд.руб., а на следующий год запланировали перечислить 200 млрд.руб.,  значит по формуле (4): i_пз = 200/160 = 1,25, то есть плановое задание для таможенного управления на 2007 год составляет 125% от предыдущего года.

Для определения процента выполнения плана  необходимо рассчитать индекс выполнения плана, то есть отношение наблюдаемого значения признака к плановому (оптимальному, максимально возможному) значению по формуле (5):

.(5)

Например, на январь-ноябрь 2006 года таможенные органы запланировали  перечислить в федеральный бюджет 1,955 трлн. руб., но фактически перечислили 2,59 трлн. руб., значит по формуле (5): i_ВП = 2,59/1,955 = 1,325, или 132,5%, то есть плановое задание выполнили на 132,5%.

Индекс структуры (доля) – это отношение какой-либо части объекта (совокупности) ко всему объекту. Он определяется по формуле (6):

(6)

В рассмотренном выше примере  про экспорт нефтепродуктов в  страны СНГ, была рассчитана доля этого экспорта в Грузию по формуле (6): d=10,7/4142 = 0,0026, или 2,6‰.

Индекс координации – это отношение какой-либо части объекта к другой его части, принятой за основу (базу сравнения). Он определяется по формуле (7):

.(7)

Например, импорт России в 2006 году составил 163,9 млрд.долл., тогда, сравнив его с экспортом (база сравнения), рассчитаем индекс координации по формуле (7): i_К  = 163,9/304,5 = 0,538, который показывает соотношение между двумя составными частями внешнеторгового оборота, то есть величина импорта России в 2006 году составляет 53,8% от величины экспорта. Меняя базу сравнения на импорт, по той же формуле получим: i_К  = 304,5/163,9 = 1,858, то есть экспорт России в 2006 году в 1,858 раза больше импорта, или экспорт составляет 185,8% от импорта.

Индекс сравнения – это сравнение (соотношение) разных объектов по одинаковым признакам. Он определяется по формуле (8):

,(8)

где А, Б – сравниваемые объекты.

В рассмотренном выше примере, в котором сопоставлялись величины экспорта США и России, был рассчитан именно индекс сравнения по формуле (8): i_с = 904,383/243,569 = 3,71. Меняя базу сравнения (то есть экспорт России – объект А, а экспорт США – объект Б), по той же формуле получим: i_с = 243,569/904,383 = 0,27, то есть экспорт России составляет 27% от экспорта США.

Индекс интенсивности – это соотношение разных признаков одного объекта между собой. Он определяется по формуле (9):

.(9)

где X – один признак объекта; Y – другой признак этого же объекта

Например, показатели выработки  продукции в единицу рабочего времени, затрат на единицу продукции, цены единицы продукции и т.д.

 

ТЕМА № 4 Выборочный метод

Понятия генеральной  совокупности и выборки.

Выборка или выборочная совокупность — множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для использования в исследовании.

Характеристики  выборки:

• Качественная характеристика выборки – что именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем.
• Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

• Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.
• Существует необходимость в сборе первичной информации.

 

Генеральная совокупность, генеральная выборка (от лат. generis — общий, родовой)(в англ. терминологии — population) — совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит  из всех объектов, которые имеют  качества, свойства, интересующие исследователя. Иногда генеральная совокупность — это все взрослое население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объекты исследования. Например, женщины 10-89 лет, использующие крем для рук определённой марки не реже одного раза в неделю, и имеющие доход не ниже 5 тысяч рублей на одного члена семьи.

Вариационный ряд - последовательность x₍₁₎, x₍₂₎, x₍₃₎, ..., x_(k), ..., x_(n), полученная в результате расположения в порядке неубывания исходной последовательности независимых одинаково распределённых случайных величин x₁, x₂, x₃, ..., x_n.

Вариационный ряд обычно используется в математической статистике как  основа непараметрических методов (сам вариационный ряд и его  члены представляют собой так называемые порядковые статистики).

Вариационный ряд служит для  построения функции эмпирического  распределения 

где µ_n(x) - число членов вариационного ряда, меньших x, которая является оценкой функции распределения F(x) случайных величин x₁, x₂, x₃, ..., x_n.

Промежуток  x_набл = [x₍₁₎ - x_(n)] = [x_{min_набл} - x_{max_набл}] между крайними членами вариационного ряда называется интервалом варьирования, его длина W_n = x_(n) - x₍₁₎ = x_{max_набл} - x_{min_набл} называется размахом выборки.

Крайние члены вариационного ряда

x_{min_набл} = x₍₁₎ = min{x_k} для k=1...n

и

x_{max_набл} = x_(n) = max{x_k} для k=1...n

называются экстремальными значениями.

Величина x_(k) называется k-й порядковой статистикой.

Использование вариационного ряда для определения выборочной медианы основано на определении его центрального члена:

Me_набл = x_(m), где m=(n+1)/2 при нечетном n,

Me_набл = (x_(m)+x_(m+1))/2, где m=n/2 при четном n.

По функции распределения F(x) исходных случайных величин x₁, x₂, x₃, ..., x_n вычисляются распределения любого члена вариационного ряда и совместные распределения его членов.

Представление выборки  в виде статистического ряда, графическое  отображение статистического ряда: полигон частот, гистограмма.

Первоначально выборку представляют в виде вариационного ряда , упорядочивая выборочные значения в порядке возрастания: . Величину , называют при этом -ой порядковой статистикой. Далее результаты эксперимента записывают в виде статистического ряда.

Если  – дискретная случайная величина, число возможных значений которой невелико, и соответственно с этим выборка содержит много повторяющихся значений, то поступают следующим образом.

Выписывают все неповторяющиеся  значения в вариационном ряде . Подсчитывают частоты - количество повторов каждого из значений в выборке и определяют относительные частоты . Очевидно: . Совокупность пар чисел называют статистическим рядом абсолютных частот, а совокупность пар чисел называют статистическим рядом относительных частот. Статистические ряды отображают в виде таблицы.

 

Очевидно, что статистический ряд относительных частот приближенно  оценивает ряд распределения  дискретной случайной величины.

Пример 1. Дана выборка  . Записать статистический ряд.

Решение: Объем  выборки  . Записываем вариационный ряд: . Подсчитываем частоты и представляем выборочные данные в виде статистического ряда:

	0	1	2	3	4
	2	6	5	3	4
	0,1	0,3	0,25	0,15	0,2

 

Если же величина - непрерывная, или число возможных значений велико, то в этом случае делают группировку данных. Для этого интервал, в котором содержатся все элементы выборки, делится на равных (иногда неравных) последовательных, непересекающихся интервалов , и подсчитывают частоты - число элементов выборки, попавших в -ый интервал. При этом элемент, совпавший с границей интервала, относят к верхнему интервалу. Число интервалов группирования определяют, например, по формуле Стерджесса: . При разбивке на интервалы следует следить за тем, чтобы частоты для каждого из интервалов были одного порядка. В противном случае следует объединять соседние интервалы, добиваясь относительно равномерного распределения частот по интервалам. Далее подсчитываются относительные частоты для каждого из интервалов и плотности частот , где - длины соответствующих интервалов группирования. В результате получаем следующий статистический ряд:

 

 

Пример 2. Дана выборка  объемом 20 из некоторой генеральной  совокупности: {0,70; -0,28; 1,24; 2,28; 2,20; 2,73; -1,18; 0,77; 2,10; -0,09; 0,31; -0,69; -0,85; 0,02; 0,23; -1,12; 0,43; 0,60; 1,13; 0,63}. Представить выборку в  виде группированного статистического  ряда.