Критерий устойчивости Гурвица

В настоящее время в России все  большее значение приобретают вопросы  стабильности, надежности, устойчивости банковской системы в целом и  ее элементов — банков. 
 
Под устойчивостью банка следует понимать такое его динамичное состояние, которое обеспечивает необходимую степень защиты от неблагоприятного воздействия внешних и внутренних факторов. Устойчивость банка можно рассматривать как условие его прогрессирующего движения. Виды устойчивости банков можно классифицировать по ряду признаков, в том числе по характеру (экономическая, политическая, моральная устойчивость); исходя из общей ее оценки (реальная и мнимая устойчивость); по времени обеспечения (долгосрочная и краткосрочная устойчивость); по характеру сбалансированности (сбалансированная и с неустойчивым равновесием); по структуре (финансовая, организационная, кадровая, операционная, коммерческая устойчивость); по проводимой политике (постоянная или часто меняющаяся устойчивость в рамках общей концепции); с позиции равномерности развития банков (быстро развивающаяся, равномерно развивающаяся и неравномерно развивающаяся устойчивость); с позиции общественной полезности (общественно полезная и эгоистичная устойчивость). 
 
Экономическая устойчивость банка во многом определяется финансовыми результатами его деятельности, уровнем принимаемых банком рисков в сочетании с его ликвидностью и доходностью. 
 
Ликвидность (от лат. liquidus — жидкий, текучий) в буквальном смысле означает легкость реализации, продажи, превращения материальных ценностей и прочих активов в денежные средства. Ликвидность банка нередко определяют как способность банка приобретать наличные средства в центральном банке или банках-корреспондентах по разумной цене. В целом ликвидность банка предполагает возможность продавать ликвидные активы, приобретать денежные средства в центральном банке и осуществлять эмиссию акций, облигаций, депозитных и сберегательных сертификатов, других долговых инструментов. 
 
Термин платежеспособность несколько шире: подразумевается не только и не столько возможность превращения активов в быстрореализуемые, сколько способность юридического или физического лица своевременно и полностью выполнять свои платежные обязательства, вытекающие из торговых, кредитных или иных операций денежного характера. Таким образом, ликвидность выступает как необходимое и обязательное условие платежеспособности, контроль за соблюдением которой уже берет на себя не только само юридическое или физическое лицо, но и определенный внешний орган надзора и контроля. 
 
Ликвидность для коммерческого банка — это его способность обеспечить своевременное выполнение в денежной форме своих обязательств по пассиву. Ликвидность банка определяется сбалансированностью активов и пассивов его баланса, степенью соответствия сроков размещенных активов и привлеченных банком пассивов. 
 
Нормы ликвидности банка обычно устанавливаются как отношение различных статей активов баланса ко всей сумме или к определенным статьям пассивов или, наоборот, пассивов к активам. Ликвидность банка — основа его платежеспособности. 
 
Платежеспособность трактуется как способность банка в должные сроки и в полной сумме отвечать по своим обязательствам (перед вкладчиками по выплате депозитов, перед акционерами — по выплате дивидендов, перед государством — по уплате налогов, перед персоналом — по выплате заработной платы).

Банк считается устойчивым, если он располагает достаточным капиталом, имеет ликвидный баланс, является платежеспособным и удовлетворяет  ряду требований к качеству его капитала. Общая сумма баллов, подсчитанная таким способом, используется для определения рейтинга данного банка по совокупности всех факторов.

Устойчивость  является зависимой от стабильности, как процесса выражающего прочность элементов, несмотря на внешнее воздействие; она связана с равновесием, сбалансированностью частей системы, образующих целостность. «Устойчивость» банковской системы как термин в большей степени отображает анализ и взаимоотношение элементов и процессов на макроуровне, независимо от отношений на микроуровне, между отдельными субъектами. В то же время термин «надежность» банковской системы больше подходит для характеристики ее прочности с позиции взаимодействия между отдельными организациями. 
 
Категория «устойчивости» банковской системы в период реформирования включает в себя, в частности, необходимость сочетания разномасштабных банковских организаций, а также оценку уровня оптимизации государственной собственности в банковской системе и либерализации рынка банковских услуг. Эти элементы не входят в комплекс оценок, составляющих сложную категорию «надежность». 
 
Устойчивость приобретает особое значение в условиях необходимости проведения серьезных модернизационных изменений, предполагающих создание новых и изменение принципов работы существующих институтов банковской системы.  
 
Исходя из данного тезиса, сделан вывод о том, что категория "устойчивая банковская система" обозначает ее способность реагировать на внезапные изменения в окружающей среде (мировой, национальной и макрорегиональной экономической конъюнктуре, трансформациям в правовой сфере и т.п.) и сохранять приблизительно то же самое поведение (структуру) на протяжении определенного периода времени. При этом изучение устойчивости через отношения связанности предполагает разделение множества этих отношений на три основных вида: 
 
а) вертикальные внутрисистемные связи, "порожденные" сущностью двухуровневого построения банковской системы и проявляемые в форме: 
 
- нормативного (директивного или индикативного) регулирования деятельности кредитных организаций со стороны Банка России; 
 
-"материальных" (денежных) потоков (текущих расчетов и экстремальных акций: штрафы, списание средств со счетов комбанков) между Центральным банком и коммерческими кредитными организациями; 
 
б) горизонтальные внутрисистемные связи, возникающие между субъектами второго уровня. Многообразие форм этих связей включает:

•  
  взаимное кредитование друг друга;
•  
  открытие и ведение корреспондентских счетов;
•  
  сотрудничество в рамках банковских союзов (по страхованию рисков, консорциальному и поэтапному кредитованию, лизингу и т.д.);

 
- взаимодействие через учредительство (создание дочерних банков, открытое, либо завуалированное владение  акциями друг друга); 
 
в) связи опосредованного характера, обусловленные воздействием импульсов внешней среды. Государственный сектор связан с банковским через кредитование ряда отраслей экономики, через обслуживание банками бюджетно-налоговых операций и т.п.  
 
В диссертационной работе анализируется взаимосвязь стабильности, надежности, равновесного состояния банковской системы с позиций макро- и микроустойчивости (представлена на схеме 1). 
 
 
 
Схема 1. Соподчинение и взаимосвязь функциональных составляющих устойчивости банковской системы 
 
 
Необходимо учитывать также, что банковской системе присуща внутрисистемная двойственность реализации основных функций (стабилизации, стимулирования и др.), выражающаяся в противоречии макро- и микроуровней (отдельных банков) системы. Эти факторы в работе рассматриваются в комплексе, при этом делается вывод о том, что на отдельных отрезках времени определяющими для устойчивости становятся разные факторы. В качестве основных принципов устойчивости банковской системы можно выделить следующие (табл. 1.). 
 
^ Таблица 1 
 
Основные принципы устойчивости банковской системы и их оценка

Принципы	Особенности и  оценка
1. Уровень интегрированности банковской  системы в социально-экономическом комплексе страны	Банковская система должна представлять органичную часть экономики страны, однако реальный уровень ее интегрированности  оставляет желать лучшего
2. Соответствие реальным экономическим  процессам, в частности, действующей  нормативно-правовой базе страны	Должна быть реализована система  ответственности банковской системы  и определены границы реальной деятельности отдельных кредитных организаций
3. Обеспечение баланса финансовых  ресурсов (банковских пассивов) и  финансовых вложений (активов)	Обеспечение данной сбалансированности является условием эффективной реализации воспроизводственного процесса. Банки  пока недостаточно реализуют этот принцип
4. Реальная адаптация банковской  системы к социально-экономической  среде	Имеется в виду функциональная сбалансированность различных кредитных организаций с особенностями национальной экономики
5. Прозрачность банковской системы	Открытость и доступность банковской информации. Создание возможности для  эффективного надзора за системой в  целом и отдельными кредитными организациями

 
 
Данные основные принципы могут  быть реализованы только в совокупности множества условий и факторов, определяющих состояние экономической  среды внутри страны, финансовую политику государства, развитие мировой финансовой системы и др. 
 
Важное значение для устойчивости банковской системы имеют факторы, ее обусловливающие. ^ Факторы устойчивости банковской системы делятся на внешние (социально-политические, общеэкономические, институциональные, финансовые, инфраструктурные) и внутрисистемные (политика кредитных организаций, капитал, ликвидность, структура активных и пассивных операций, квалификация кадров, риски, менеджмент), позволяющие выделить общие принципы устойчивости банковской системы и их особенности. 
 
Данные принципы носят достаточно общий характер и практически очерчивают контур проблемы. С позиций теоретико-методологической поддержки в диссертации систематизированы признаки и факторы устойчивости. 
 
Состояние банковской системы находится под совокупным воздействием многих макроэкономических факторов, формирующих среду функционирования банковских организаций. Именно эта среда задает конкретным банкам ориентиры направлений их деятельности, формирует целевые установки банковской политики. Выявление особенностей совокупного воздействия макроэкономических и других факторов на состояние национальной банковской системы позволяет не только обеспечить надежность и устойчивость всей совокупности российских банков, но и решить ряд важнейших задач.  
 
Исходя из вышесказанного, в диссертационной работе делается вывод о том, что устойчивость включает в себя главный компонент - развитие, которое в общем аспекте трактуется в контексте эволюции, а в экономическом аспекте связано с финансовой устойчивостью и стратегическим развитием системы как целостной воспроизводящейся в расширенном масштабе системы. 
 
При рассмотрении устойчивости с позиции обеспечения безопасности банковской сферы, в диссертационной работе обосновывается тезис о том, что устойчивость банковской системы является одним из основных критериев состояния экономической безопасности страны.

Устойчивость  линейных систем с постоянными  коэффициентами. Критерии Рауса-Гурвица и Льенара-Шипара.  

 

 

 

Рассмотрим  линейную систему                   

  ,                                           (2.3.1) 
где  –  постоянная n´n- матрица. Вспомним, что в случае различных вещественных собственных значений  общее решение этой системы имеет вид  , где  – собственные векторы, соответствующие собственным значениям  .Ясно, что если , то  при . Следовательно, в этом случае состояние равновесия  асимптотически устойчиво по Ляпунову. Аналогичная ситуация имеет место и в случае кратных и комплексных собственных значений матрицы . Справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3.1. Линейная однородная система (2.3.1) с постоянными коэффициентами асимптотически устойчива тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы  имеют отрицательные вещественные части.

Для того, чтобы  пользоваться этой теоремой, нужно  уметь находить собственные значения матрицы  , что является весьма трудоемкой процедурой в случае . Избежать этой процедуры позволяет использование критерия Рауса-Гурвица.

Рассмотрим  полином             

 

 
где  – комплексная переменная, а – действительные или комплексные коэффициенты.

Определение 2.3.1.  Полином  называется  полиномом Гурвица (гурвицевым полиномом), если все его нули имеют отрицательные вещественные части .

Определение 2.3.2.  Полином  называется стандартным, если .

Теорема 2.3.2. Для того, чтобы стандартный полином  с действительными коэффициентами    был полиномом Гурвица, необходимо, чтобы выполнялось условие .

Замечание.  Легко проверить, что для полинома второго порядка  условия  являются необходимыми и достаточными условиями гурвицевости.

Рассмотрим n´n  - матрицу (матрицу Гурвица)

 

  

 

 

 

Здесь принято, что при  и  . 

 

 

 

Например, для  полинома пятой степени                          

    

матрица  выглядит так: 

 

 

 

  

 

 

  

 

 

  

 

Теорема 2.3.3 (теорема  Гурвица). Для того, чтобы стандартный полином   был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы  были положительными:

.                       (2.3.2)

Легко проверить (сделать это самостоятельно), что для полинома третьей степени  условия (2.3.2) приобретают вид : , ,  а для полинома четвертой степени

 
 эти  условия  такие: .

Иногда вместо теоремы  Гурвица удобнее пользоваться равносильным ему критерием Льенара-Шипара.

Теорема 2.3.4. Для того, чтобы полином  с действительными коэффициентами был полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы все его коэффициенты были положительны  и выполнялись условия , где  те же, что и в формулах (2.3.2).

 

Алгебраические  критерии устойчивости

 
Простейшим критерием устойчивости является условие положительности коэффициентов характеристического уравнения. Положительность коэффициентов уравнения (8.4) является необходимым (но не достаточным!) условием устойчивости системы. Это означает, что если все коэффициенты положительны, то система может быть устойчивой или неустойчивой. Но если хотя бы один коэффициент уравнения отрицателен или равен нулю, то система неустойчива. 
 
Наиболее распространены в инженерной практике критерии Гурвица и Рауса. 
 
^ Критерий Гурвица был сформулирован и доказан в 1895 г. немецким математиком А. Гурвицем, который разработал свой критерий, решая чисто математическую задачу — задачу исследования устойчивости решений линейного дифференциального уравнения. Применительно к задачам теории управления критерий Гурвица можно сформулировать так: 
 
автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением 8.5 устойчива, если при а₀ > 0 положительны все определители D _i вида 
 
 
(4.9) 
 
 
(Как составляется определитель матрицы i * i). 
 
Если хотя бы один из определителей (4.9), называемых определителями Гурвица, отрицателен, то система неустойчива. 
 
Так как последний столбец главного определителя D_n содержит всегда только один элемент a _n, отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей D_n = a _n D_n-1. 
 
Если главный определитель D_n == 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учетом выражения (4.12) это условие распадается на два: a _n = 0 и D_n-1 = 0. 
 
Условию а _n. = 0 соответствует один нулевой корень, т. е. апериодическая граница устойчивости, а условию D_n-1 = 0 - пара мнимых корней, т. е. колебательная граница устойчивости. 
 
Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При п > 5 вычисление определителей становится громоздким. 
 
^ Критерий Рауса, предложенный в 1877 г. английским математиком Э. Дж. Раусом, целесообразно использовать при анализе устойчивости систем выше четвертого порядка. Для этого из коэффициентов характеристического уравнения (4.5) составляют таблицу (табл. 4.1), в первой строке (i = 1) которой записаны коэффициенты уравнения с четными индексами, во второй (i =2) — с нечетными индексами, в последующих строках (i > 3) помещены коэффициенты Рауса, полученные как комбинации коэффициентов двух вышестоящих строк по формуле 
 
r _ik = r _{i -2, k + 1} – (r _{i - 2, 1} r _{i -1, k + 1} / r _{i -1, 1}), (4.10) 
 
где i — номер строки, k — номер столбца. Сам критерий формулируется так: автоматическая система устойчива, если. положительны все коэффициенты первого столбца таблицы Рауса (включая а₀ и а₁ ).  
 
Таблица 4.1 Коэффициенты Рауса 
 
 
Если не все коэффициенты столбца положительны, то система неустойчива. При этом число перемен знака среди этих коэффициентов соответствует числу правых корней характеристического уравнения. Алгоритм вычисления коэффициентов (4.10) легко запрограммировать, поэтому критерий Рауса используют для анализа систем высокого порядка (n > 5) с помощью ЭВМ. 
 
Преимуществом критериев Гурвица и Рауса является то, что с их помощью можно оценивать устойчивость как замкнутых, так и разомкнутых систем. Вывод об устойчивости при применении этих критериев делается применительно к той системе (замкнутой или разомкнутой), уравнение которой анализируется. 
 
Недостатком является малая наглядность. 
^