Критерий устойчивости Гурвица

Свойство эффективности  показывает, насколько правильным было создание и использование модели для достижения поставленной цели. Под универсальностью модели понимается возможность её применения в других задачах и для достижения других целей. Устойчивость модели означает её правильную работу в изменяющихся внешних условиях и экстренных ситуациях. Свойство содержательности определяет количество функции модели.

Среди функций модели выделяют описательную, интерпретаторскую, объяснительную, предсказательную, измерительную функции.

Адекватность определяет соответствие модели поставленной задаче. Модель всегда отображает объект-оригинал не во всех его свойствах и функциях. Таким образом, модель является ограниченной. Под полнотой модели понимается наличие сведений об объекте-оригинале, необходимых для достижения поставленной цели. Динамичность определяет изменение модели с течением времени.

 

Критерий Рауса-Гурвица

Рассмотрим однородную систему  дифференциальных уравнений n-го порядка  с постоянными коэффициентами: где X(t) − n-мерный вектор, A − квадратная матрица размера n × n.     Нелинейную автономную систему можно также свести к такой системе, выполнив линеаризацию вблизи точки равновесия. Далее без потери общности будем считать, что точка равновесия находится в начале координат. Этого всегда можно достигнуть выбором подходящей системы координат.     Устойчивость или неустойчивость положения равновесия определяется знаками действительных частей собственных значений матрицы A. Чтобы найти собственные значения λ, необходимо решить характеристическое уравнение которое сводится к алгебраическому уравнению n-ой степени Корни такого уравнения легко вычисляются  в случае n = 2 и в некоторых случаях  при n ≥ 3. В остальных случаях  решение характеристического уравнения  представляет значительные трудности. Более того, Н.Х.Абелем (1802-1829) была доказана теорема, согласно которой при n ≥ 5 общее алгебраическое уравнение неразрешимо в радикалах, т.е. в общем случае не существует формул, выражающих корни уравнения через его коэффициенты в случае n ≥ 5.     В такой ситуации большое значение имеют методы, позволяющие, не решая само характеристическое уравнение, определить, будут ли все его корни иметь отрицательную действительную часть, т.е. установить устойчивость системы. Одним из таких методов является критерий Рауса-Гурвица, который содержит необходимые и достаточные условия устойчивости системы.     Рассмотрим снова характеристическое уравнение описывающее динамическую систему. Заметим, что необходимое условие устойчивости выполняется, если все коэффициенты уравнения ai > 0. Поэтому далее считаем, что коэффициент a0 > 0. Запишем так называемую матрицу Гурвица. Она составляется следующим образом. Главная диагональ матрицы содержит элементы a1, a2, ..., an. Первый столбец содержит числа с нечетными индексами a1, a3, a5, .... В каждой строке индекс каждого следующего числа (считая слева направо) меньше на 1 индекса предыдущего числа. Все остальные коэффициенты ai с индексами больше n или меньше 0 заменяются нулями. В результате получаем матрицу, представленную на рисунке 1: Рис.1 Главные диагональные миноры Δi матрицы Гурвица определяются формулами Сформулируем  теперь критерий устойчивости Рауса-Гурвица : Для того, чтобы все корни  характеристического уравнения  имели отрицательные действительные части, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры матрицы Гурвица были положительны при условии a0 > 0 : Δ1 > 0, Δ2 > 0, ..., Δn > 0. Поскольку Δn = an Δn −1, то последнее неравенство можно записать как an > 0.     Для наиболее распространенных систем 2-го, 3-го и 4-го порядков получаем следующие критерии устойчивости:     Для системы 2-го порядка условие устойчивости выглядит так: или то есть все коэффициенты в квадратном характеристическом уравнении должны быть положительными. Другими словами, для системы 2-го порядка необходимое  условие устойчивости является одновременно и достаточным. Подчеркнем, что речь идет об асимптотической устойчивости нулевого решения.     Для системы 3-го порядка критерий устойчивости определяется неравенствами или Аналогично, для системы 4-го порядка получаем следующую совокупность неравенств: или Если все n − 1 главных миноров  Гурвица положительны, а минор n-го порядка равен нулю: Δn = 0, то система  находится на границе устойчивости. Так как Δn = an Δn −1, то возможны два случая: Коэффициент an = 0. Это соответствует  случаю, когда один из корней характеристического  уравнения равен нулю. Система  находится на границе апериодической устойчивости. Определитель Δn −1 = 0. В этом случае существуют два комплексно-сопряженных  мнимых корня. Система находится на границе колебательной устойчивости. Критерий устойчивости Рауса-Гурвица  относится к семейству алгебраических критериев. Его удобно применять  для анализа устойчивости систем низкого порядка. С увеличением  порядка сложность вычислений заметно возрастает. В таких случаях может оказаться предпочтительным использование других критериев, например, теоремы Льенара-Шипара или частотного критерия Найквиста-Михайлова.

Решения, принимаемые  в условиях неопределенности, занимают весомую часть всего множества решений, принимаемых менеджерами. Но, как правило, на практике решения, принимаемые в условиях полной неопределенности, не встречаются. Для принятия решений предприятие должно собрать необходимый дополнительный объем релевантной информации и проанализировать ситуацию, либо принять решение на основе суждений, интуиции, анализа накопленного опыта руководителя. Для принятия оптимальных решений необходимо использовать научный подход при использовании различных методов.

К правилам принятия решений, при которых не учитывается численное значение вероятных исходов, относятся рассмотренные ранее максимаксное и максиминное решение, а также минимаксное решение и критерий Гурвица.

Минимаксное решение - это решение, при котором минимизируются максимальные потери. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски.

Правило минимакса (минимаксное правило возможных потерь) состоит в том, чтобы для каждого решения выбрать максимально возможные потери. Затем выбирается решение, которое ведет к минимальному значению максимальных потерь.

Под потерями учитываются  не только реальные потери, но и упущенные возможности. При использовании данного правила внимание уделяется возможным потерям, чем доходам.

На основании данных предыдущего  примера по реализации пирожных составим таблицу возможных потерь, которая  дает представление о прибылях каждого исхода, потерянных в результате принятия неправильного решения (число закупленных единиц). 

 
Таблица возможных потерь за день 

Таблица заполняется  следующим образом.

Если количество закупленных  пирожных равняется спросу за день, то возможные потери равняются нулю.

Если было принято решение приобрести, например, 1 пирожное, а спрос в этот день составил 2 штуки, то упущенная выгода составит 1*(60-50)=10 руб. Это и есть возможные потери. Для 2 штук пирожных, которые могли бы продать, сумма возможных потерь составляет 20 руб., для 3-х пирожных - 30 руб.

 

В тех случаях, когда закупленная единица не была реализована, она приносит убыток 1* (50-30)=20, это тоже возможные потери.

Для каждого  решения выбирается максимальное число  возможных потерь. Это числа 30, 20, 40, 60 и определяем из них минимальное 20. Данное значение соответствует решению о закупке 2 штук. Следовательно, руководствуясь правилом минимакса, минимальная величина максимальных потерь возникает в результате закупки двух пирожных в день.

Критерий  Гурвица (Hurwicz criterion)- это компромиссный способ принятия решений.

При выборе решения  из двух крайностей: пессимистической оценкой по критерию максимина и  оптимистической оценкой максимакса рационально придерживаться промежуточной  позиции, граница которой регулируется показателем пессимизма-оптимизма µ, называемым степенью оптимизма в критерии Гурвица.

В соответствии с этим компромиссным решением будет  линейная комбинация минимального и  максимального выигрыша 

 

где 0 < µ < 1,

gnm - размер возможного  дохода, который соответствует решениям  при данных исходах.

Причем величину µ определяет исследователь или  лицо, принимающее решение, при этом значению µ=1 критерию Гурвица соответствует  правилу максимина (критерий Вальда), а значению µ =0 - правило максимакса (критерий Сэвиджа).

Критерий Гурвица  заключается в том, что минимальному и максимальному результатам  каждого решения присваивается "вес". Умножив результаты на соответствующие  веса и суммируя их, лицо, принимающее решение, получает общий результат. Далее выбирается решение с наибольшим результатом.

Вернемся к  предыдущему примеру и заполним таблицу по методу Гурвица.

Для четырех  возможных решение были ранее  получены максимаксное и максминное решения. Пусть вес минимального результата равен 0,4, следовательно, вес максимального - 0,6. 

 
Таблица возможных решений 

В данном примере  критерий Гурвица свидетельствует  в пользу решения о закупке одного пирожного, максимальная сумма составила 10. Очевидно, что при выборе других весов результат получается иным.

Поэтому к достоинству  и одновременно недостатку критерия Гурвица относится необходимость  присваивания весов возможным исходам: это позволяет учесть специфику ситуации, однако при этом всегда присутствует субъективный человеческий фактор - предпочтения аналитика.

Принятие решений - актуальная задача для менеджеров любого предприятия. Выбор оптимальной  альтернативы является очень ответственным процессом. Поэтому понимание всех тонкостей процесса принятия решений в различных условиях, знание и применение различных методов и моделей принятия решений играет значительную роль в повышении эффективности работы управленческого персонала.

При принятии решения  вне зависимости от применяемых  моделей существуют некоторые правила  принятия решений - критерии, по которым  выносится суждение об оптимальности  данного конкретного исхода.

К правилам принятия решений без использования  численных значений вероятностей исходов относятся:

Максимаксное  решение - максимизация максимума возможных доходов. Данный метод очень оптимистичен, то есть не учитывает возможные потери и, следовательно, самый рискованный.

Максиминное решение - максимизация минимума возможных доходов. Данный метод в большей степени учитывает отрицательные моменты различных исходов и является более осторожным подходом к принятию решений.

Минимаксное решение - минимизация максимума возможных потерь. Это наиболее осторожный подход к принятию решений и наиболее учитывающий все возможные риски.

Рассмотрим данные способы принятия решения на примере.

Предположим, что  владелец небольшой кондитерской в  начале каждого дня закупает для  реализации пирожные, спрос за день данного продукта может быть равен 1,2,3,4 штуки. Стоимость приобретения каждого пирожного - 50 руб., а цена реализации 60 руб. за единицу. Продать невостребованные пирожные на следующий день невозможно, поэтому остаток всегда распродается в конце дня по цене 30 руб. Владельцу кондитерской нужно принять решение и определить, сколько пирожных должно быть закуплено в начале каждого дня.

В нашем примере, покупатели определяют спрос, поэтому  возможный исход представляет собой "фактор неопределенности". Чтобы  определить вероятность каждого исхода, составим список возможных решений и соответствующих им исходов. 

 
Возможные доходы за день 

Таблица заполняется  следующим образом.

Предполагаем, что  количество закупаемых пирожных равняется 1, тогда сумма возможного дохода составит: 1*60-1*50=10 руб. Следовательно, в первом столбце проставляется 10 независимо от возможного спроса.

Если решение  о количестве закупаемых пирожных будет  равно 2, то сумма возможного дохода в этом случае составит для спроса 1 шт: 1*60 1*30-2*50= -10 руб, для спроса 2 пирожных и более: =2*60-2*50=20 руб. Это значения для второго возможного решения и спроса более двух пирожных.

Аналогично, рассчитывается исход события, если решения закупать составит 3 и 4 штуки пирожных. Возможный доход также учитывается с учетом реализации в конце дня непроданных пирожных.

После того, как  отдача в денежном выражении для  любой комбинации решений и исходов  определена, ответим на вопрос "сколько  пирожных должен закупать владелец каждый день", используя каждое из правил принятия решений.

На основании  полученных данных таблицы возможных  доходов, выберем максимальное и  минимальное число для каждого  столбца и составим таблицу. 

 
Максимаксное  и максиминное решения 

Руководствуясь  правилом максимакса (максимальное число 40), принимаем решение, что каждый раз надо закупать для реализации 4шт. Это подход карточного игрока - игнорируя возможные потери, рассчитывать на максимально возможный доход.

Опираясь на правило максимина (максимальное число 10), решение о закупке будет  соответствовать 1 пирожному. Это подход очень осторожного человека.

Необходимо отметить, что любое решение не может иметь чисто положительных результатов, поэтому любое организационное решение - это компромисс. И в каждом случае руководитель должен сделать выбор между неизбежными отрицательными моментами.

Критерий устойчивости Рауса—Гурвица  является алгебраическим критерием, который позволяет судить об устойчивости системы по коэффициентам ее характеристического уравнения. Необходимым и достаточным условием устойчивости автоматических систем регулирования является положительность всех коэфициентов характеристических уравнений этих систем. Иными словами, АСР устойчива, если все определители составленные из коэффициентов уравнения положительны. 
Определители составляются следующим образом. Для старшего Дп выписываются по диагонали все коэффициенты от щ до яп в порядке возрастания индексов. Затем столбцы определителя вниз от главной диагонали дополняются коэффициентами с последовательно уменьшающимися индексами, а вверх с возрастающими индексами. На место коэффициентов, индексы которых больше п и меньше нуля, ставятся нули. Меньшие определители получаются путем зачеркивания в определителе строк и столбцов: 
Достоинством критерия устойчивости Рауса—Гурвица является его сравнительная простота и небольшой объем вычислений при невысоком порядке дифференциального уравнения системы. Для систем высокого порядка (п>4) использование этого критерия затруднительно ввиду значительного объема вычислений. 
Для анализа уравнений третьего порядка используется диаграмма Вышнеградского. Характеристическое уравнение третьего порядка легко преобразуется в уравнение в форме Вышнеградского: 
Затем на плоскости двух параметров А и В в области устойчивости строятся различные кривые, соответствующие тем или иным показателям расположения корней характеристического уравнения. По критерию Гурвица, условиями устойчивости являются неравенства. Граница области устойчивости определяется уравнением АВ= 1. Эти кривые на графике, называемом диаграммой Вышнеградского, определяют границы устойчивости. Если заданы коэффициенты характеристического уравнения А и В, то по диаграмме Вышнеградского можно установить, в какой из трех областей находятся корни характеристического уравнения, и тем самым определить характер протекания процесса регулирования. 
Критерий устойчивости Михайлова. Критерий устойчивости Михайлова — это частотный критерий, основанный на построении по характеристическому уравнению системы так называемой характеристической кривой, или годографа, по виду которого судят об устойчивости АСР. 
Характеристическое уравнение замкнутой системы регулирования имеет вид (7.4). Заметив в этом уравнении переменную величиной /со, получим: это уравнение при изменении частоты со от 0 до + оо позволяет построить на комплексной плоскости годограф, по виду которого можно судить об устойчивости системы. НПП ПТС - ткг 160 прямые поставки.  
Критерий Михайлова формируется следующим образом: система устойчива, если годограф Михайлова при изменении частоты со от 0 до 1, начинаясь на положительной части вещественной полуоси, огибает против часовой стрелки начало координат, нигде не обращаясь в нуль, проходя последовательно такое количество квадрантов комплексной плоскости, какова степень характеристического уравнения. 
На рис. 7.2 годограф 1, 2, 3 характеризует устойчивую, а годограф 5 — неустойчивую, 4 — «граничную» системы. Анализ устойчивости проводится следующим образом: 
1) в характеристическом уравнении замкнутой системы заменяют Р на /со; 
2) члены /со возводят в соответствующие степени, после чего группируют вещественную Q(со) и мнимую /С/(со) части многочлена, которые выписывают отдельно друг от друга; 
3) задаваясь отдельными значениями со от 0 до + 1, определяют величины и строят кривую по точкам, полученным при определенных значениях со, соответствующих точкам пересечения годографа с осями координат. Чтобы найти точки пересечения годографа с осью вещественных значений, нужно приравнять нулю мнимую часть годографа и из полученного уравнения найти значения частот со, которые затем подставить в выражение вещественной части годографа. Полученные значения являются абсциссами точек пересечения годографа с осью вещественных значений. Аналогично, приравнивая нулю вещественную часть годографа, определяют ординаты точек, в которых годограф пересекает мнимую ось. По найденным точкам строится годограф системы и производится оценка ее на устойчивость. 
Критерий устойчивости Найквиста — Михайлова. Критерий Найквиста—Михайлова позволяет судить об устойчивости замкнутой системы регулирования по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы, что дает возможность использовать для оценки устойчивости результаты экспериментальных исследований.  
Амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы находится из ее передаточной функции путем замены оператора Р на /со. \ На комплексной плоскости строится амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы путем изменения частоты со от 0 до 1. По виду этой характеристики судят об устойчивости системы в замкнутом состоянии. 
Критерий устойчивости Найквиста—Михайлова формулируется 
следующим образом: замкнутая система устойчива, если амплитудно-фазовая характеристика разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами. 
На рис. 7.3 изображены амплитудно-фазовые характеристики разомкнутых систем, которые в замкнутом состоянии устойчивы (/), неустойчивы (3) или находятся на границе устойчивости (2). На устойчивость объекта значительное влияние оказывает запаздывание. 
Запаздывание, имеющее место в реальных объектах, затрудняет работу автоматических систем регулирования, ухудшает качество процесса. Объясняется это тем, что воздействие регулятора на вход объекта зависит от значения регулируемой величины на выходе объекта в данный момент. Однако за время, обусловленное запаздыванием, состояние объекта может измениться, и воздействие регулятора, не воспринявшего еще это изменение, может быть направлено в сторону усиления возмущений на входе объекта, а не в сторону их устранения. Наличие запаздывания в объекте увеличивает отклонение регулируемой величины от заданного значения, удлиняет переходный процесс и может привести к неустойчивому состоянию. 
Ослабление вредного влияния запаздывания достигается использованием в схемах промежуточных параметров регулирования, а также применением регуляторов с предварением и схем связанного регулирования.