Контрольная работа по "Математике"

Решение.

Будем считать, что случайная величина, о которой идет речь, - количество врачей, сделавших ошибку.  Возможные значения: .

Составим ряд распределения.

Найдем вероятность того, что , то есть ни один врач не ошибся.

Событие «ни один врач не ошибся» является произведением трех независимых событий: «первый врач не ошибся» (, «второй врач не ошибся» (), «третий врач не ошибся» (). Вероятность события «ни один врач не ошибся» равна произведению найденных вероятностей:

 

Далее для удобства обозначим события  A=« первый врач ошибся», B= «второй врач ошибся», C= «третий врач ошибся».

Найдем вероятность того, что , то есть ошибся ровно один врач.

Это событие можно представить  как:

 

То есть первый ошибся, а остальные  два правы, или второй ошибся, а  первый и третий правы, или третий ошибся, а первые двое правы.

 

 

 

Найдем вероятность того, что , то есть ошиблись ровно два врача.

Это событие можно представить  как:

 

 

 

 

Найдем вероятность того, что , то есть  все трое ошиблись.

Это событие можно представить  как:

 

 

Закон распределения 

X	0	1	2	3
P(X)	0.955647	0.043709	0.000641	0.000003

Составим функцию распределения.

 

если , то , т.к. случайная величина не принимает значений, меньших нуля.

если , то

если , то

 

если , то

 

если , то .

 

Задача 29. Функция распределения непрерывной случайной величины задана следующим образом:

 

Найти вероятность попадания случайной  величины в интервал .

Решение.

Вероятность попадания случайной  величины, заданной функцией распределения , в интервал , равна

 

 

Действительно, функция распределения  задана таким образом, что все  значения случайной величины расположены  на интервале . Заданный интервал включает в себя интервал , которому принадлежат все возможные значения случайной величины. Таким образом, попадание значений случайной величины в заданный интервал – достоверное событие.

Ответ: 1.

Задача 30.

Задана функция распределения  непрерывной случайной величины:

 

Найти и построить график функции  плотности распределения вероятностей.

Решение.

Функция плотности вероятности  определяется как производная функции  распределения:

 

 

 

График:

Задача 31.

Постройте графики функции плотности  вероятности случайной величины, распределенной по нормальному закону, характеризуемому следующими параметрами:

б)  

з)

Чему должна быть равна площадь  под графиками каждой из двух функций, рассчитанная для интервала  ? Ответ обосновать в соответствии со свойствами функции плотности распределения вероятности.

Решение.

Функция плотности вероятности  нормально распределенной случайной  величины с математическим ожиданием  и среднеквадратическим отклонением имеет вид:

 

б)

Функция плотности вероятности:

 

График:

з)

Функция плотности вероятности:

 

График:

Площадь под графиком функции плотности  вероятности, рассчитанная для интервала  равна

 

Согласно свойству плотности вероятности, этот интеграл равен 1, то есть площадь  под графиком функции плотности  вероятности, рассчитанная для интервала  равна 1 для любой функции плотности вероятности.

Задача 32

Найти вероятность попадания нормально  распределенной случайной величины в заданный интервал:

б) ,  если

з) ,  если

Заштрихуйте соответствующие полученным вероятностям площади под графиками  функций плотности распределения  вероятности, построенными Вами в предыдущей задаче.

Решение.

Вероятность того, что нормально  распределенная случайная величина примет значение, принадлежащее интервалу :

 

- функция Лапласа, ее значения находятся из таблицы.

Функция Лапласа нечетная, то есть

б),  если

 

 

 

 

 

з),  если