Контрольная работа по "Математике"

Задача 1. Найти область определения функции

 

Решение.

Заданная функция определена при всех , при которых выражения под квадратным корнем неотрицательны, а выражения, стоящие в знаменателе, не равны нулю.

Область определения заданной функции определяется системой неравенств:

 

 

Функция определена при 

Ответ:

Задача 2. Найти пределы функций, используя теоремы о пределах функции (свойства) или правило Лопиталя.

Решение.

 

Для раскрытия неопределенности воспользуемся правилом Лопиталя:

 

 

 

 

 

 

2.  

 

Воспользуемся эквивалентными бесконечно малыми. Известно, что при   . Соответственно, при   выполняется , и, значит, .

 

Проверим с помощью правила  Лопиталя:

 

 

Ответ:  1. ;   2.

Задача 4.

Вычислите производные следующих  функций: 

в) ;  е) р)  ;   з)

с)   э)     т)    я)   

Решение.

в)

 

 

е)

 

 

р)

 

з)

 

с)

 

э)   

 

т)

 

 

я)  

 

Ответ:

в) е) р) з)

с) э) т) я) 

Задача 7

Найти интервалы возрастания и  убывания функций:

е)

 з)

Решение.

е)

 Найдем производную:

 

Найдем нули производной:

 

 

 

Найдем знаки производной. На интервалах, где производная положительна, функция возрастает, на интервалах, где производная отрицательна, функция  убывает.

Функция возрастает при .

- седловая точка.

з)

Найдем производную:

 

Найдем нули производной:

 

 

 

Найдем знаки производной. На интервалах, где производная положительна, функция возрастает, на интервалах, где производная отрицательна, функция  убывает.

Функция возрастает при  убывает при .

- точка максимума,  - точка минимума.

Ответ:

е) Функция возрастает при .

з) Функция возрастает при убывает при

Задача 9. Найдите первообразные следующих функций:

е)

к)

Решение.

е)

 

 

 

к)

 

 

 

 

 

Ответ:

е)

к)

 

Задача 10.

Найдите неопределенные интегралы, в  каждом случае осуществив проверку правильности полученного решения.

к)

в) ;  м) ;

д) ;   п) ;

Решение.

к)

Воспользуемся приемом, который называется подведение под знак дифференциала.

 

 

Проверим дифференцированием:

 

Получили исходную функцию. Интегрирование выполнено верно.

в)

Интегрируем подведением под знак дифференциала.

 

Проверим дифференцированием:

 

Получили исходную функцию. Интегрирование выполнено верно.

м) ;

Интегрируем подведением под знак дифференциала.

 

 

Проверим дифференцированием:

 

Получили исходную функцию. Интегрирование выполнено верно.

д)

Интегрируем подведением под знак дифференциала.

 

 

Проверим дифференцированием:

 

Получили исходную функцию. Интегрирование выполнено верно.

п)

Интегрируем подведением под знак дифференциала.

 

 

Проверим дифференцированием:

 

Получили исходную функцию. Интегрирование выполнено верно.

Ответ: к) в) ; м) ;

д) ;  п) .

 

Задача 11.

Выполнить интегрирование по частям:

а)    б)    в)

Решение.

Формула интегрирования по частям:

 

а)

Обозначим:

 

Найдем:

 

 

б)

Обозначим:

 

Найдем:

 

 

в)

Обозначим:

 

Найдем:

 

 

 

 

Ответ: а)  б)  в)

 Задача 12.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

е)

к)

Решение.

е)

Построим схематический  чертеж:

Искомая фигура закрашена  на чертеже. Очевидно, так как графики  симметричны относительно начала координат, два лепестка искомой фигуры также симметричны относительно начала координат. Будем искать площадь половины фигуры, лежащей в первой четверти, затем умножим ее на 2, получим площадь всей фигуры.

Найдем абсциссы точек  пересечения графиков функций 

 

 

 

Площадь части фигуры, лежащей  в первой четверти, равна:

 

 

Тогда площадь всей фигуры

к)

Построим схематический  чертеж:

Площадь искомой фигуры равна:

 

Ответ:

е)

к)

Задача 13.

Вычислить среднее значение функции  на отрезке.

е) на отрезке

з) на отрезке

Решение.

Среднее значение функции на отрезке находится по формуле:

 

е) на отрезке

 

 

з) на отрезке

 

Ответ:

е)

з)

Задача 14.

Вычислить определенные интегралы  методом замены переменных:

а) ;    е)

г) 

Решение.

а)

Сделаем замену: . Тогда . Найдем новые пределы интегрирования:  припри.

 

е)

Сделаем замену: . Тогда . Найдем новые пределы интегрирования:  припри.

 

г) 

Сделаем замену: . Тогда . Найдем новые пределы интегрирования:  припри.

 

 

Ответ:

а)   е)   г)

 

Задача 17.

Вычислить частные производные  и и полные дифференциалы для следующих функций:

б)   и)

г) ;   к) ;

е)    

Решение.

Полный дифференциал определяется по формуле:

 

б)

Найдем частные производные:

 

 

Найдем полный дифференциал заданной функции:

 

и)

Найдем частные производные:

 

 

Найдем полный дифференциал заданной функции:

 

г)

Найдем частные производные:

 

 

Найдем полный дифференциал заданной функции:

 

к)

Найдем частные производные:

 

 

Найдем полный дифференциал заданной функции:

 

е)

Найдем частные производные:

 

 

Найдем полный дифференциал заданной функции:

 

Ответ:

б)

 

и)

 

г)

 

к)

 

е)

 

Задача 19.

Найти общие решения для следующих  дифференциальных уравнений:

б) ;     и) _;    г) _;   

к)      е)

Решение.

б)

Запишем уравнение в виде:

 

Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные.

 

 

 

 

 

 

и)

Запишем уравнение в виде:

 

Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные.

 

 

 

 

 

 

г)

Запишем уравнение в виде:

 

Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные.

 

 

 

 

 

 

к)

Запишем уравнение в виде:

 

Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

 

 

 

 

е)

Запишем уравнение в виде:

 

Уравнение с разделяющимися переменными. Разделим переменные

 

 

 

 

 

 

Ответ:

б)

и)

г)

к)

е)

Задача 20.

Найти общие решения для следующих  дифференциальных уравнений:

б) и)

г)  к)

е)   

Решение.

б)

Линейное однородное уравнение  с постоянными коэффициентами.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение, решим его.

 

 

Корни характеристического уравнения  вещественны и не равны между  собой, поэтому общее решение:

 

и)

Линейное однородное уравнение  с постоянными коэффициентами.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение, решим его.

 

 

 

Корни характеристического уравнения  вещественны и равны между  собой, поэтому общее решение:

 

г)

Линейное однородное уравнение  с постоянными коэффициентами.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение, решим его.

 

 

Корни характеристического уравнения  вещественны и не равны между  собой, поэтому общее решение:

 

к)

Линейное однородное уравнение  с постоянными коэффициентами.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение, решим его.

 

 

Корни характеристического уравнения  комплексные, поэтому общее решение:

 

е)

Линейное однородное уравнение  с постоянными коэффициентами.

Запишем соответствующее характеристическое уравнение, решим его.

 

 

Корни характеристического уравнения  комплексные, поэтому общее решение:

 

Ответ:

б)

и)

г)

к)

е)

Задача 23.

В группе из 30 студентов на контрольной  работе были получены следующие оценки:

III) отлично" - 5 человек, "хорошо" - 10, "удовлетворительно" - 6, остальные получили "неудовлетворительно";

IV) отлично" - 12 человек, "хорошо" - 12, "удовлетворительно" - 3, остальные получили "неудовлетворительно";

Какова вероятность того, что  наугад выбранный студент имеет  оценку: а) "отлично"; б) "хорошо"; в) "удовлетворительно"; г) "неудовлетворительно"?

Решение.

Будем пользоваться классическим определением вероятности: Вероятность события А равна отношению количества исходов , благоприятных событию А, к общему числу исходов .

III)

а) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "отлично".

Количество благоприятных исходов, то есть количество студентов с оценкой  отлично: . Общее число исходов, то есть количество студентов в группе: . Искомая вероятность:

б) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "хорошо".

 

 

в) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "удовлетворительно".

 

 

г) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "неудовлетворительно".

 

 

IV)

а) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "отлично".

Количество благоприятных исходов, то есть количество студентов с оценкой  отлично: . Общее число исходов, то есть количество студентов в группе: . Искомая вероятность:

б) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "хорошо".

 

 

в) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "удовлетворительно".

 

 

г) вероятность того, что наугад выбранный студент имеет оценку "неудовлетворительно".

 

 

Ответ:

III) а)   б)  в) г)  

IV) а)   б)  в) г)  

Задача 25б).

В урне m белых и n черных шаров. Из нее извлекают подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, если шары обратно не возвращаются и при первом извлечении появился белый шар?

IV) m = 6, n = 2;

III) m = 3; n = 8;

Решение.

IV) m = 6, n = 2

Если известно, что первым извлекли белый шар, то в урне осталось 5 белых  шаров и два черных – всего 7 шаров. Вероятность того, что вторым будет извлечен тоже белый шар, равна .

Рассмотрим случай, когда  неизвестно, что при первом извлечении появился белый шар. Тогда вероятность  того, что первый шар – белый, равна , а вероятность того, что второй шар – белый, равна . Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна

III) m = 3; n = 8

Если известно, что первым извлекли белый шар, то в урне осталось 2 белых шаров и 8 черных – всего 10 шаров. Вероятность того, что вторым будет извлечен тоже белый шар, равна .

Рассмотрим случай, когда  неизвестно, что при первом извлечении появился белый шар. Тогда вероятность  того, что первый шар – белый, равна , а вероятность того, что второй шар – белый, равна . Тогда вероятность того, что оба шара белые, равна

Ответ:

IV)

III)

Задача 26

В семье шестеро детей. Считая вероятности  рождения мальчика и девочки одинаковыми  и равными 0.5, найти вероятность  того, что в семье: 
а) 3 мальчика;   

б) 4 мальчика;  

Решение.

Наступление ровно  событий в серии из испытаний определяется по формуле Бернулли:

 

- вероятность появления  события в каждом испытании, 

В нашем случае

а) найти вероятность того, что в семье 3 мальчика.

 

 

 

б) найти вероятность того, что в семье 4 мальчика.

 

 

 

Ответ:

а)    б)

Задача 27(б). Решить задачу, используя формулу Бейеса

 

где вероятность гипотезы вычисляется с помощью  вероятности события D, произошедшего при условии состоявшегося события - и полной вероятности появления события D: .

в) Радист дважды вызывает своего корреспондента. Вероятность того,

что будет принят первый вызов равна 0.2, второй — 0.3. События, состоящие в том, что вызовы будут услышаны, независимы. Найти вероятность того, что услышанный вызов был тот, что отправлен первым?

 

г) Прибор состоит из 5 узлов. Надежности (вероятности безотказной работы в течение дня) для каждого узла равны:. Узлы выходят из строя независимо один от другого. В понедельник отказал один узел. Найти вероятность того, что отказавший узел это узел с номером 3?

Решение.

в) Обозначим через D событие «услышан один вызов».

Можно сделать следующие предположения (гипотезы):

< услышан первый вызов>

< услышан второй вызов>

Вероятности этих гипотез:

 

 

Поскольку при любой из гипотез  событие D достоверно, условные вероятности:

 

Полная вероятность появления события D:

 

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что был услышан первый вызов, при условии, что был услышан один вызов, равна:

 

г) Обозначим через D событие «отказал ровно один узел».

Можно сделать следующие предположения (гипотезы):

<отказал i-ый узел>

Вероятность каждой гипотезы, то есть вероятность отказа узла, равна 

 

Поскольку при любой из гипотез  событие D достоверно, условные вероятности:

 

Полная вероятность появления события D:

 

По формуле Бейеса, искомая вероятность того, что отказал узел с номером 3, при условии, что отказал ровно один из 5 узлов, равна:

 

Ответ:   а)    б)

Задача 28.

Построить график функции распределения  для случайной величины, обсуждаемой  в задаче 25:

Вероятность того, что при независимом  осмотре больного первый врач допустит ошибку - 0.01, второй - 0.02, третий - 0.015. Какова вероятность того, что ни один из врачей не допустит ошибки?