Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Июня 2013 в 21:54, контрольная работа
ЗАДАЧА 1. Ітераційні методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь - метод Зейделя.
ЗАДАЧА 2. Чисельне інтегрування визначених однократних інтегралів за формулами лівих, правих, середніх прямокутників, трапецій, Симпсона.
ЗАДАЧА 3. Чисельне розв’язування задачі Коші для звичайного диференційного рівняння першого порядку.
ЗАДАЧА 2: Інтерполяція функцій. Поліном Лагранжа і Ньютона.
Інтерполяцію функцій застосовують, коли деяка функція задана таблично скінченою множиною x: і потрібно визначити значення для проміжних значень аргументу - . В цьому разі будують функцію (достатньо просту для обчислень), яка в точках набуває значення . В інших точках наближено представляє функцію з тою чи іншою точністю (рис. 1).
Точки називають вузлами інтерполяції, функцію - інтерполюючою функцією, а задачу побудови - задачею інтерполяції.
Поліном Лагранжа незручний у використанні тим, що при зміні кількості вузлів інтерполяції n, його треба будувати знову.
Інтерполяційний поліном Ньютона не має цього недоліку. При зміні степеня n необхідно лише тільки додати або відкинути відповідну кількість стандартних доданків:
Тут - розділена різниця першого порядку;
- розділена різниця другого порядку;
- розділена різниця n-ого порядку.
ЗАВДАННЯ
Використовуючи інтерполяційні поліноми Лагранжа (непарні варіанти) й Ньютона (парні варіанти), знайти наближене значення функції у точці .
1. |
x |
1.0 |
1.7 |
2.0 |
2.2 |
2.6 |
|
y |
0.1 |
0.53 |
0.79 |
-2.1 |
-3.2 |
2. |
x |
4.5 |
5.4 |
6.8 |
9.5 |
10.1 |
|
y |
1.5 |
1.68 |
3.2 |
8.4 |
9.8 |
3. |
x |
2.0 |
2.3 |
2.5 |
3.0 |
3.7 |
|
y |
5.8 |
6.12 |
6.3 |
6.7 |
7.05 |
4. |
x |
-2.0 |
1.0 |
2.0 |
4.0 |
5.0 |
|
y |
25 |
-8 |
15 |
-23 |
-27 |
5. |
x |
3.2 |
3.6 |
5.8 |
5.9 |
6.2 |
|
y |
5.3 |
6.0 |
2.4 |
-1.0 |
-3.2 | ||
6. |
x |
1.0 |
2.0 |
2.5 |
3.0 |
3.5 |
|
y |
-6.0 |
-1.0 |
5.6 |
16.0 |
18.0 |
7. |
x |
10 |
15 |
16 |
17 |
20 |
|
y |
3 |
7 |
10 |
17 |
19 |
8. |
x |
6.0 |
7.2 |
8.4 |
9.9 |
10.3 |
|
y |
-9.1 |
-8.3 |
-2.4 |
1.2 |
3.4 |
9. |
x |
4.0 |
5.0 |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
|
y |
6.0 |
7.0 |
8.0 |
9.0 |
10.0 |
10. |
x |
1.5 |
1.54 |
1.6 |
1.63 |
1.72 |
|
y |
3.87 |
3.92 |
3.95 |
4.0 |
4.21 |
11. |
x |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
y |
1 |
-3 |
25 |
129 |
381 |
12. |
x |
14 |
18 |
31 |
35 |
38 |
|
y |
68 |
64 |
44 |
39 |
32 |
13. |
x |
2.0 |
2.2 |
2.5 |
3.0 |
3.3 |
|
y |
1.41 |
1.48 |
1.59 |
1.79 |
1.82 |
14. |
x |
0.0 |
0.25 |
1.25 |
2.12 |
3.25 |
|
y |
2.0 |
1.6 |
2.32 |
2.02 |
2.83 |
15. |
x |
0.0 |
0.5 |
1.4 |
2.25 |
3.5 |
|
y |
2.0 |
1.7 |
2.36 |
2.33 |
3.17 |
16. |
x |
0.0 |
0.75 |
1.6 |
2.36 |
3.75 |
|
y |
3.0 |
2.8 |
3.7 |
3.5 |
4.0 |
17. |
x |
0.0 |
1.0 |
1.8 |
2.5 |
4.0 |
|
y |
3.0 |
2.9 |
3.6 |
3.8 |
4.3 |
18. |
x |
-0.25 |
0.0 |
1.0 |
2.1 |
3.0 |
|
y |
4.0 |
3.6 |
4.56 |
4.02 |
3.83 |
19. |
x |
-0.5 |
0.25 |
1.1 |
1.88 |
3.25 |
|
y |
5.0 |
4.8 |
5.7 |
5.5 |
5.0 |
20. |
x |
-2.5 |
-1.5 |
-0.7 |
0.0 |
1.5 |
|
y |
6.0 |
5.9 |
6.9 |
6.7 |
5.83 |
ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ
Функція задана таблично.
x |
-1.0 |
-0.2 |
1.8 |
2.7 |
4.0 |
|
y |
5.0 |
4.6 |
5.7 |
5.2 |
4.3 |
Сформуємо таблицю значень вузлів та функції:
i |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||
Xi |
-1 |
-0,2 |
1,8 |
2,7 |
4 |
x~= |
2 | |
Yi |
5 |
4,6 |
5,7 |
5,2 |
4,3 |
Поліном Лагранжа
Побудуємо інтерполяційний поліном Лагранжа. Для зручності обчислень сформуємо таблицю:
| |||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
|
|
| ||||
D |
Тут - добуток елементів і-ого рядка. D – добуток діагональних елементів.
Тоді значення полінома можна обчислити так: .
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
∏i |
Yi/∏i | |||
0 |
3 |
-0,8 |
-2,8 |
-3,7 |
-5 |
124,32 |
0,040219 | ||
1 |
0,8 |
2,2 |
-2 |
-2,9 |
-4,2 |
-42,8736 |
-0,10729 | ||
2 |
2,8 |
2 |
0,2 |
-0,9 |
-2,2 |
2,2176 |
2,570346 | ||
3 |
3,7 |
2,9 |
0,9 |
-0,7 |
-1,3 |
8,78787 |
0,591725 | ||
4 |
5 |
4,2 |
2,2 |
1,3 |
-2 |
-120,12 |
-0,0358 | ||
D |
1,848 |
∑= |
3,0592 | ||||||
L(2,0)= |
5,653402 |