Контрольная работа по "Математике"

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2

ТЕМА: Чисельне розв’язування нелінійних рівнянь.

 

МЕТА: Опанувати чисельними методами визначення коренів нелінійних рівнянь – методами Ньютона, січних, ітерацій.

 

ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Знаходження наближених значень  дійсних коренів алгебраїчного  рівняння порядку n:

(1)

або трансцендентного рівняння:

(2)

в методах обчислювальної математики виконують у два етапи:

• відокремлюють корені, тобто визначають проміжки на числовій осі Ox, на кожному з яких знаходиться єдиний (відокремлений) корінь рівняння;
• уточнюють відокремлені корені до потрібного наближення.

Метод послідовного перебору для відокремлення коренів базується на таких положеннях:

• якщо неперервна на відрізку функція приймає на його кінцях значення різних знаків (тобто ), то рівняння (1) або (2) має на цьому відрізку при наймі один корінь;
• якщо функція до того ж ще й строго монотонна, то корінь на відрізку єдиний.

Виходячи з приблизного  графіка функції  , визначають інтервал . Далі обчислюють значення , починаючи з точки , рухаючись управо з деяким кроком h (рис.1). Як тільки виявиться пара сусідніх значень , яка має різні знаки, і функція монотонна на цьому відрізку, так відповідні значення аргументу x (попереднє й наступне) можна вважати кінцями відрізку, що містить корінь.

У методі січних ділення відрізку відбувається пропорційно значенню функції в точках a та b (рис. 3). В цьому випадку точка поділу відрізка буде знаходитися на перетині хорди AB із віссю 0x, а її абсциса є першим наближеним значенням кореня. Щоб уточнити , застосуємо метод хорд до відрізка , отримаємо друге наближення - , і так далі. Нерухомим буде той кінець відрізка ізоляції кореня, в якому знак функції збігається зі знаком другої похідної.

Розрахункова формула  методу січних:

                                      (3)

де  , , якщо ;

    , , якщо .

Розрахунки продовжують  до виконання умови  .

                           

У методі Ньютона ділянка кривої послідовно замінюється її дотичною в точці A або B (рис.4). Абсциса точки перетину дотичної з віссю 0x - буде першим наближеним значенням кореня. Щоб уточнити застосуємо метод дотичних до відрізка , отримаємо друге наближення - , і так далі. Точка, в якій будується дотична, обирається з умови співпадання знаків функції та її другої похідної .

Розрахункова формула  методу Ньютона:

                                                    (4)

де  , якщо ;

    , якщо .

Розрахунки продовжують  до виконання умови  .

У методі простої ітерації для отримання ітераційної формули, рівняння представляють у вигляді . Вибравши початкове наближення , будують ітераційний процес , , …, до тих пір, поки не виконається умова . Умовою збіжності ітераційного процесу являється дотримання нерівності . Чим менше , тим швидша збіжність. Як правило,

,                                                      (5)

де  . Знак q має збігатися зі знаком на .

ЗАВДАННЯ

Відокремити корені нелінійного рівняння методом послідовного перебору. Уточнити відокремлені корені з точністю методами Ньютона, січних, простої ітерації.

Номер варіанта обирається за двома останніми цифрами залікової книжки.

Наприклад, номер залікової книжки 10589. Останні цифри – 89. В завданні 20 варіантів. Розділимо 89 на 20 і візьмемо остачу від ділення: 89/20=4 (остача 9). Ваш  варіант буде 9.

1.		11.
2.		12.
3.		13.
4.		14.
5.		15.
6.		16.
7.		17.
8.		18.
9.		19.
10.		20.

Звіт про виконання лабораторної роботи повинен містити:

• формулювання задачі;
• хід розв’язку;
• отримані чисельні результати;
• аналіз результатів;
• висновки.

КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

1. Що означає відокремити корені рівняння?
2. Які методи уточнення коренів нелінійних рівнянь Вам відомі?
3. Сутність методу половинного ділення. Пояснити на графіку.
4. Сутність методу січних. Пояснити на графіку.
5. Сутність методу Ньютона. Пояснити на графіку.
6. Сутність методу простої ітерації. Пояснити на графіку.

 

ЗРАЗОК ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ

 

Знайдемо розв’язок нелінійного рівняння з точністю :

Відокремимо корені рівняння методом послідовного перебору. Для цього протабулюємо функцію на інтервалі [-10; 10] з кроком h=1:

x	-10	-9	-8	-7	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
f(x)	-1035	-522	-265	-136	-71	-38	-21	-12	-7	-4	-2	-0,5	0,75	1,875	2,9375	3,9688	4,9844	5,9922	6,9961	7,9980	8,9990

Бачимо, що функція змінила  свій знак на інтервалі [1; 2]. Зменшимо крок до 0,1 та протабулюємо функцію на цьому інтервалі:

x	1	1,10	1,20	1,30	1,40	1,50	1,60	1,70	1,80	1,90	2,00
f(x)	-0,5	-0,3665	-0,2353	-0,1061	0,0211	0,1464	0,2701	0,3922	0,5128	0,6321	0,75

Таким чином, інтервал ізоляції кореня – [1,3; 1,4].

Бобудуємо графіки функції  за отриманими таблицями:

        

 

Маємо

a=

1,30

b=

1,40

Метод Ньютона

Обираємо початкове наближення кореня. Для цього дослідимо знаки  функції та її другої похідної на кінцях інтервалу [1,3; 1,4].

Знайдемо другу похідну  ;    .

a=	1,30		b=	1,40
f(a)=	-0,10613		f(b)=	0,021071
f''(a)=	-0,19512		f''(b)=	-0,18206		Xпоч.=	1,30

Бачимо, що знаки співпадають  в кінці а, тому за початкове наближення обрано значення 1,3.

k	0	1	2
x=	1,30000	1,382814	1,383332
f(x)=	-0,10613	-0,00066	0,00000		Відповідь:          x=		1,383332
f'(x)=	1,281505	1,265801	1,265706			кількість ітерацій:		2
e=		0,082814	0,000519

Метод січних

Обираємо початкове наближення кореня та нерухому точку a.

a=	1,30		b=	1,40
f(a)=	-0,10613		f(b)=	0,021071
f''(a)=	-0,19512		f''(b)=	-0,18206		a=	1,30		Xпоч.=	1,40

 

k	0	1	2
x=	1,40000	1,38343	1,38333
f(x)=	0,02107	0,00013	0,00000		Відповідь:        x=		1,383333
e=		0,016566	0,000102			кількість ітерацій:		2

 

 

 

Метод ітерацій

Для визначення параметра q протабулюємо функцію першої похідної:

 

x	1,3	1,31	1,32	1,33	1,34	1,35	1,36	1,37	1,38	1,39	1,40
f'(x)	1,281505	1,279561	1,27763	1,275712	1,273807	1,271916	1,270038	1,268173	1,26632	1,264481	1,262654

Побудуємо графік і визначимо  найбільше по модулю значення (але знак значення необхідно зберігти):

a=		1,30		b=		1,40		q=		2
k	0		1		2		3		4		5
x=	1,35000		1,37115		1,37887		1,38169		1,38273		1,38311			Відповідь:         x=		1,38311
f(x)=	-0,04229		-0,01544		-0,00566		-0,00208		-0,00076		-0,00028				кількість ітерацій:		5
e=			0,021146		0,007719		0,002828		0,001038		0,000381